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9. 如图,$A$是$\overset{\frown}{MN}$上的一个三等分点(靠近点$M$),$B$是$\overset{\frown}{AM}$的中点,$P$是直径$MN$上的一个动点,连接$OA$,$AP$,$BP$.若$\odot O$的直径为$2$,则$AP+BP$的最小值为
$\sqrt{2}$
.答案
9. $\sqrt{2}$ 作点 $B$ 关于 $MN$ 的对称点 $E$,连接 $AE$ 交 $MN$ 于点 $P$,此时 $AP+BP$ 的值最小,且等于 $AE$ 的长. $\because A$ 是$\overgroup{MN}$ 上的一个三等分点(靠近点 $M$),$\therefore ∠ AOM=60^{\circ }.$连接 $OB,OE. \because B$ 是$\overgroup{AM}$ 的中点, $\therefore ∠ BOM =\frac{1}{2}∠ AOM=30^{\circ }. \therefore ∠ MOE=∠ BOM=30^{\circ }. \therefore ∠ AOE=$$∠ AOM+∠ MOE=90^{\circ }.$ 又 $\because \odot O$ 的直径为 $2,\therefore OA=OE=1. \therefore$ 易得 $AE=\sqrt{2}$,即 $AP+BP$ 的最小值为$\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这是圆背景下的线段和最小值问题，属于典型的将军饮马模型。解题思路如下：首先点A、B都在直径MN的同侧，要让MN上的动点P满足AP+BP最小，我们可以利用轴对称的性质，作其中一个点关于MN的对称点，将AP+BP转化为两点之间的线段长度，依据两点之间线段最短，该连线的长度就是所求的最小值。接下来推导对应圆心角的度数：半圆MN对应的圆心角是180°，A是弧MN靠近M的三等分点，可得∠AOM=60°；B是弧AM的中点，可得∠BOM=30°。点B关于MN的对称点E落在圆上，因此∠MOE=∠BOM=30°，进而得到∠AOE=90°，结合圆的半径为1，用勾股定理即可算出AE的长度，也就是AP+BP的最小值。
【解析】
1. 转化最短路径：作点B关于直径MN的对称点E，由轴对称性质得BP=EP，因此AP+BP=AP+EP。根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，AP+EP取得最小值，即AE的长度，此时AP+BP最小。
2. 计算圆心角度数：
因为A是$\overset{\frown}{MN}$上靠近点M的三等分点，半圆对应的圆心角为180°，所以$∠ AOM = \frac{180°}{3}=60°$。
又因为B是$\overset{\frown}{AM}$的中点，所以$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ AOM=30°$。
由B、E关于MN对称，得$∠ MOE=∠ BOM=30°$，因此$∠ AOE=∠ AOM+∠ MOE=60°+30°=90°$。
3. 计算AE的长度：
已知$\odot O$的直径为2，因此半径$OA=OE=1$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
即AP+BP的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆心角性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的经典题型，核心是利用轴对称将同侧动点的线段和问题转化为两点间线段长度问题，再通过弧的等分关系推导圆心角的度数，最终借助勾股定理求解。解题时要注意准确计算各圆心角的大小，避免角度推导错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
这是圆背景下的线段和最小值问题，属于典型的将军饮马模型。解题思路如下：首先点A、B都在直径MN的同侧，要让MN上的动点P满足AP+BP最小，我们可以利用轴对称的性质，作其中一个点关于MN的对称点，将AP+BP转化为两点之间的线段长度，依据两点之间线段最短，该连线的长度就是所求的最小值。接下来推导对应圆心角的度数：半圆MN对应的圆心角是180°，A是弧MN靠近M的三等分点，可得∠AOM=60°；B是弧AM的中点，可得∠BOM=30°。点B关于MN的对称点E落在圆上，因此∠MOE=∠BOM=30°，进而得到∠AOE=90°，结合圆的半径为1，用勾股定理即可算出AE的长度，也就是AP+BP的最小值。
【解析】
1. 转化最短路径：作点B关于直径MN的对称点E，由轴对称性质得BP=EP，因此AP+BP=AP+EP。根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，AP+EP取得最小值，即AE的长度，此时AP+BP最小。
2. 计算圆心角度数：
因为A是$\overset{\frown}{MN}$上靠近点M的三等分点，半圆对应的圆心角为180°，所以$∠ AOM = \frac{180°}{3}=60°$。
又因为B是$\overset{\frown}{AM}$的中点，所以$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ AOM=30°$。
由B、E关于MN对称，得$∠ MOE=∠ BOM=30°$，因此$∠ AOE=∠ AOM+∠ MOE=60°+30°=90°$。
3. 计算AE的长度：
已知$\odot O$的直径为2，因此半径$OA=OE=1$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
即AP+BP的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆心角性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的经典题型，核心是利用轴对称将同侧动点的线段和问题转化为两点间线段长度问题，再通过弧的等分关系推导圆心角的度数，最终借助勾股定理求解。解题时要注意准确计算各圆心角的大小，避免角度推导错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
10. ⭐ 如图,以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心、$AB$长为半径作$\odot A$,分别交$BC$,$AD$于
$E,F$两点,交$BA$的延长线于点$G$,连接$EG$.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.
(2) 若$\overset{\frown}{EG}$的度数为$140°$,求$∠ EGB$的度数.
$E,F$两点,交$BA$的延长线于点$G$,连接$EG$.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.
(2) 若$\overset{\frown}{EG}$的度数为$140°$,求$∠ EGB$的度数.
答案
10. (1) 连接 $AE. \because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD// BC. \therefore ∠ EAF=∠ AEB,∠ GAF=∠ B. \because AE=AB,$$\therefore ∠ AEB=∠ B. \therefore ∠ EAF=∠ GAF. \therefore \overgroup{EF}=\overgroup{FG}.$
(2) $\because \overgroup{EG}$ 的度数为 $140^{\circ },\therefore ∠ EAG=140^{\circ }. \because AG=AE,$$\therefore ∠ EGB=∠ AEG=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ EAG)=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-140^{\circ })=20^{\circ }.$
(2) $\because \overgroup{EG}$ 的度数为 $140^{\circ },\therefore ∠ EAG=140^{\circ }. \because AG=AE,$$\therefore ∠ EGB=∠ AEG=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ EAG)=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-140^{\circ })=20^{\circ }.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明同圆中的两段弧相等，我们的思路是：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要证明两段弧对应的圆心角相等即可。首先连接辅助线AE，利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出两组角的等量关系，再结合AE和AB都是圆的半径长度相等，由等腰三角形等边对等角得到∠AEB=∠B，等量代换就能得到两个圆心角∠EAF=∠GAF，即可证得两段弧相等。第二问已知弧EG的度数，首先明确弧的度数等于它所对的圆心角的度数，得到圆心角∠EAG=140°，再结合AG和AE都是圆A的半径，△AEG是等腰三角形，利用三角形内角和公式就能计算出底角∠EGB的度数。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EAF = ∠AEB，∠GAF = ∠B，
又
∵ AE=AB（都是⊙A的半径），
∴ ∠AEB = ∠B，
通过等量代换可得：∠EAF = ∠GAF，
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
(2) 解：
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{EG}$的度数为$140°$，
∴ ∠EAG = 140°，
又
∵ AG=AE（都是⊙A的半径），
∴ △AEG为等腰三角形，∠EGB=∠AEG，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠EGB = $\frac{1}{2}(180° - ∠EAG)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 140°)$ = 20°。
【答案】
(1) 已证得$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$；(2) $∠ EGB=20°$
【知识点】
平行四边形性质；同圆弧与圆心角关系；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础几何题，解题的核心突破口是连接半径AE构造等腰三角形，利用平行的性质完成角的等量代换，考察的都是几何核心基础定理，适合巩固圆的基本性质相关知识点，整体逻辑清晰，没有复杂的变形。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问要证明同圆中的两段弧相等，我们的思路是：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要证明两段弧对应的圆心角相等即可。首先连接辅助线AE，利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出两组角的等量关系，再结合AE和AB都是圆的半径长度相等，由等腰三角形等边对等角得到∠AEB=∠B，等量代换就能得到两个圆心角∠EAF=∠GAF，即可证得两段弧相等。第二问已知弧EG的度数，首先明确弧的度数等于它所对的圆心角的度数，得到圆心角∠EAG=140°，再结合AG和AE都是圆A的半径，△AEG是等腰三角形，利用三角形内角和公式就能计算出底角∠EGB的度数。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EAF = ∠AEB，∠GAF = ∠B，
又
∵ AE=AB（都是⊙A的半径），
∴ ∠AEB = ∠B，
通过等量代换可得：∠EAF = ∠GAF，
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
(2) 解：
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{EG}$的度数为$140°$，
∴ ∠EAG = 140°，
又
∵ AG=AE（都是⊙A的半径），
∴ △AEG为等腰三角形，∠EGB=∠AEG，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠EGB = $\frac{1}{2}(180° - ∠EAG)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 140°)$ = 20°。
【答案】
(1) 已证得$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$；(2) $∠ EGB=20°$
【知识点】
平行四边形性质；同圆弧与圆心角关系；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础几何题，解题的核心突破口是连接半径AE构造等腰三角形，利用平行的性质完成角的等量代换，考察的都是几何核心基础定理，适合巩固圆的基本性质相关知识点，整体逻辑清晰，没有复杂的变形。
【难度系数】
0.8
11. 小明在完成作业“如图①，$∠ AOB = 90°$，$C$，$D$ 是$\overgroup{AB}$的三等分点，连接 $CD$，$OC$，$OD$，弦 $AB$ 分别交$OC$，$OD$ 于点 $E$，$F$，求证：$AE = BF = CD$”的基础上，做了如下尝试：把$∠ AOB = 90°$改为$∠ AOB = 120°$，其他条件不变，证明成功后，大胆猜想“如图②，$∠ AOB = n°$，$C$，$D$ 是$\overgroup{AB}$的三等分点，连接 $CD$，$OC$，$OD$，弦 $AB$ 分别交$OC$，$OD$ 于点 $E$，$F$，求证：$AE = BF = CD$”。请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程。
答案
11. 尝试:连接 $AC,BD. \because ∠ AOB=120^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = \frac{1}{3} × 120^{\circ } = 40^{\circ }.$$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=30^{\circ }. \because ∠ AOC=40^{\circ },\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30^{\circ }+40^{\circ }=70^{\circ }. \because OA=OC,∠ AOC=40^{\circ },$$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=70^{\circ }. \therefore ∠ ACE=∠ AEC.$$\therefore AC=AE.$ 同理,可得 $BF=BD. \because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore AC=CD=BD. \therefore AE=BF=CD.$
猜想:连接$AC,BD. \because$ 在$\odot O$中,$∠ AOB=n^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = ( \frac{n}{3} )^{\circ }. \because OA = OB,$$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=( \frac{180-n}{2} )^{\circ }.$$\because ∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=$$( \frac{180-n}{2} + \frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }. \because OA=OC,∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },$$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=\frac{1}{2}( 180-\frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }. \therefore ∠ ACE = ∠ AEC.$$\therefore AC=AE.$ 同理,可得 $BF=BD. \because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore AC=CD=BD. \therefore AE=BF=CD.$
猜想:连接$AC,BD. \because$ 在$\odot O$中,$∠ AOB=n^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = ( \frac{n}{3} )^{\circ }. \because OA = OB,$$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=( \frac{180-n}{2} )^{\circ }.$$\because ∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=$$( \frac{180-n}{2} + \frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }. \because OA=OC,∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },$$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=\frac{1}{2}( 180-\frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }. \therefore ∠ ACE = ∠ AEC.$$\therefore AC=AE.$ 同理,可得 $BF=BD. \because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,$\therefore AC=CD=BD. \therefore AE=BF=CD.$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 要证明AE=BF=CD，首先利用C、D是弧AB三等分点的条件，根据同圆中等弧对等弦，可直接得到AC=CD=BD，因此问题转化为证明AE=AC、BF=BD即可，要证线段相等可通过等角对等边实现。2. 先处理∠AOB=120°的特殊尝试场景：先连接辅助线AC、BD，先算出三等分后每个小圆心角的度数，再利用等腰三角形OAB的性质算出底角∠OAB的度数，接着用三角形外角性质算出∠AEC的度数，再通过等腰三角形OAC的内角和算出∠ACE的度数，两角相等即可得到AE=AC，同理可得BF=BD，结合等弧对等弦的结论就完成特殊情况证明。3. 推广到∠AOB=n°的一般猜想场景，只需要把特殊场景的数值替换为含n的代数式，沿用完全相同的角度推导逻辑，依然可以得到两角相等，最终证得结论，体会从特殊到一般的数学推导逻辑。
【解析】
尝试部分（∠AOB=120°的证明）
连接 $AC,BD$。
$\because ∠ AOB=120^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = \frac{1}{3} × 120^{\circ } = 40^{\circ }.$
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=30^{\circ }.$
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30^{\circ }+40^{\circ }=70^{\circ }.$
$\because OA=OC,∠ AOC=40^{\circ },$
$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=70^{\circ }.$
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC.$
$\therefore AC=AE.$
同理,可得 $BF=BD.$
$\because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,由等弧对等弦得 $AC=CD=BD.$
$\therefore AE=BF=CD.$
猜想部分（∠AOB=n°的证明）
连接$AC,BD.$
$\because$ 在$\odot O$中,$∠ AOB=n^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = ( \frac{n}{3} )^{\circ }.$
$\because OA = OB,$
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=( \frac{180-n}{2} )^{\circ }.$
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=( \frac{180-n}{2} + \frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }.$
$\because OA=OC,∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },$
$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=\frac{1}{2}( 180-\frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }.$
$\therefore ∠ ACE = ∠ AEC.$
$\therefore AC=AE.$
同理,可得 $BF=BD.$
$\because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,由等弧对等弦得 $AC=CD=BD.$
$\therefore AE=BF=CD.$
【答案】
通过上述推导，可证得∠AOB=120°和任意∠AOB=n°的场景下，均满足AE=BF=CD。
【知识点】
等弧对等弦，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的探究型几何证明题，核心突破口是通过连接辅助线AC、BD，将待证的线段相等问题转化为等角对等边的等腰三角形判定问题，先通过特殊角度熟悉推导逻辑，再将推导过程推广到一般情况，既考察了圆的基础性质、等腰三角形相关知识的综合运用，也引导学生掌握从特殊案例归纳通用结论的数学探究方法。
【难度系数】
0.45
解题思路如下：1. 要证明AE=BF=CD，首先利用C、D是弧AB三等分点的条件，根据同圆中等弧对等弦，可直接得到AC=CD=BD，因此问题转化为证明AE=AC、BF=BD即可，要证线段相等可通过等角对等边实现。2. 先处理∠AOB=120°的特殊尝试场景：先连接辅助线AC、BD，先算出三等分后每个小圆心角的度数，再利用等腰三角形OAB的性质算出底角∠OAB的度数，接着用三角形外角性质算出∠AEC的度数，再通过等腰三角形OAC的内角和算出∠ACE的度数，两角相等即可得到AE=AC，同理可得BF=BD，结合等弧对等弦的结论就完成特殊情况证明。3. 推广到∠AOB=n°的一般猜想场景，只需要把特殊场景的数值替换为含n的代数式，沿用完全相同的角度推导逻辑，依然可以得到两角相等，最终证得结论，体会从特殊到一般的数学推导逻辑。
【解析】
尝试部分（∠AOB=120°的证明）
连接 $AC,BD$。
$\because ∠ AOB=120^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = \frac{1}{3} × 120^{\circ } = 40^{\circ }.$
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=30^{\circ }.$
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30^{\circ }+40^{\circ }=70^{\circ }.$
$\because OA=OC,∠ AOC=40^{\circ },$
$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=70^{\circ }.$
$\therefore ∠ ACE=∠ AEC.$
$\therefore AC=AE.$
同理,可得 $BF=BD.$
$\because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,由等弧对等弦得 $AC=CD=BD.$
$\therefore AE=BF=CD.$
猜想部分（∠AOB=n°的证明）
连接$AC,BD.$
$\because$ 在$\odot O$中,$∠ AOB=n^{\circ },C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,
$\therefore ∠ AOC = \frac{1}{3} ∠ AOB = ( \frac{n}{3} )^{\circ }.$
$\because OA = OB,$
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOB)=( \frac{180-n}{2} )^{\circ }.$
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=( \frac{180-n}{2} + \frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }.$
$\because OA=OC,∠ AOC=( \frac{n}{3} )^{\circ },$
$\therefore ∠ ACE=∠ OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠ AOC)=\frac{1}{2}( 180-\frac{n}{3} )^{\circ }=( 90-\frac{n}{6} )^{\circ }.$
$\therefore ∠ ACE = ∠ AEC.$
$\therefore AC=AE.$
同理,可得 $BF=BD.$
$\because C,D$ 是$\overgroup{AB}$ 的三等分点,由等弧对等弦得 $AC=CD=BD.$
$\therefore AE=BF=CD.$
【答案】
通过上述推导，可证得∠AOB=120°和任意∠AOB=n°的场景下，均满足AE=BF=CD。
【知识点】
等弧对等弦，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的探究型几何证明题，核心突破口是通过连接辅助线AC、BD，将待证的线段相等问题转化为等角对等边的等腰三角形判定问题，先通过特殊角度熟悉推导逻辑，再将推导过程推广到一般情况，既考察了圆的基础性质、等腰三角形相关知识的综合运用，也引导学生掌握从特殊案例归纳通用结论的数学探究方法。
【难度系数】
0.45
