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1. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,$∠ BAC=30°$,$BC=2$,则$\odot O$的直径为（
A.2
B.3
C.4
D.6
C
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
连接 OB,OC. 由圆周角定理,得$∠ BOC=2∠ BAC=60°.\because OB=OC,\therefore △ OBC$ 是等边三角形. $\therefore BO=BC=2$,即$\odot O$ 的半径为 2. $\therefore \odot O$ 的直径为 4.
解析
【分析】
我们可以按如下思路解题：首先已知圆周角∠BAC=30°，它对应弧BC，我们可以连接圆心O与点B、C，借助圆周角定理得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，它是圆周角∠BAC的2倍，也就是60°。又因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，由此就能推出半径长度等于BC的长度2，最后根据直径是半径的2倍，即可算出圆的直径，选出正确答案。
【解析】
解：连接OB、OC，
1. 由圆周角定理：同弧所对的圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，已知∠BAC=30°，∠BAC是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×30°=60°$
2. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，结合$∠ BOC=60°$，可得$△ OBC$是等边三角形。
3. 根据等边三角形三边相等的性质，得$OB=BC=2$，即$\odot O$的半径为2。
4. 圆的直径为半径的2倍，因此$\odot O$的直径为$2×2=4$。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形判定；圆的直径半径关系
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是利用圆周角定理完成角度转化，通过连接半径构造等边三角形快速求出半径，也可以通过作辅助线构造直径所对的直角三角形，利用30°直角三角形的性质直接求解，方法灵活，适合巩固圆的基础性质。
【难度系数】
0.8
我们可以按如下思路解题：首先已知圆周角∠BAC=30°，它对应弧BC，我们可以连接圆心O与点B、C，借助圆周角定理得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，它是圆周角∠BAC的2倍，也就是60°。又因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，由此就能推出半径长度等于BC的长度2，最后根据直径是半径的2倍，即可算出圆的直径，选出正确答案。
【解析】
解：连接OB、OC，
1. 由圆周角定理：同弧所对的圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，已知∠BAC=30°，∠BAC是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×30°=60°$
2. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，结合$∠ BOC=60°$，可得$△ OBC$是等边三角形。
3. 根据等边三角形三边相等的性质，得$OB=BC=2$，即$\odot O$的半径为2。
4. 圆的直径为半径的2倍，因此$\odot O$的直径为$2×2=4$。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形判定；圆的直径半径关系
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是利用圆周角定理完成角度转化，通过连接半径构造等边三角形快速求出半径，也可以通过作辅助线构造直径所对的直角三角形，利用30°直角三角形的性质直接求解，方法灵活，适合巩固圆的基础性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在劣弧$AB$上.若$∠ ABC=19^{ \circ }$,则$∠ BAC$等于（
A.$21^{ \circ }$
B.$25^{ \circ }$
C.$26^{ \circ }$
D.$27^{ \circ }$
C
）A.$21^{ \circ }$
B.$25^{ \circ }$
C.$26^{ \circ }$
D.$27^{ \circ }$
答案
连接 OC. $\because ∠ ABC=19^{\circ },\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=38^{\circ }. \because$ 半径 $OA,OB$ 互相垂直, $\therefore ∠ AOB = 90°.\therefore ∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 38° = 52°.\therefore ∠ BAC=\dfrac{1}{2}∠ BOC=26°.$
解析
【分析】
这道题的核心是利用圆周角定理建立已知角和待求角的联系。首先观察图形，已知OA⊥OB，可直接得到圆心角∠AOB=90°；已知圆周角∠ABC=19°，它对应的弧是弧AC，我们需要先构造弧AC对应的圆心角，因此连接辅助线OC，根据圆周角定理就能算出∠AOC的度数；接着用∠AOB减去∠AOC，得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后待求的∠BAC是弧BC对应的圆周角，再次应用圆周角定理，就能算出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OC，
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是弧AC所对的圆周角，对应的圆心角为∠AOC，已知∠ABC=19°，因此：
$∠ AOC = 2∠ ABC = 2×19° = 38°$
2. 由半径OA、OB互相垂直，可得：
$∠ AOB = 90°$
3. 计算弧BC对应的圆心角∠BOC：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 38° = 52°$
4. 再次应用圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×52° = 26°$
【答案】C（$26°$）
【知识点】
圆周角定理，圆心角计算
【点评】
本题属于圆章节的常规基础题型，解题突破口是连接辅助线OC构造对应圆心角，核心要求是准确识别不同圆周角所对应的弧，理清同弧下圆周角和圆心角的2倍关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用圆周角定理建立已知角和待求角的联系。首先观察图形，已知OA⊥OB，可直接得到圆心角∠AOB=90°；已知圆周角∠ABC=19°，它对应的弧是弧AC，我们需要先构造弧AC对应的圆心角，因此连接辅助线OC，根据圆周角定理就能算出∠AOC的度数；接着用∠AOB减去∠AOC，得到弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后待求的∠BAC是弧BC对应的圆周角，再次应用圆周角定理，就能算出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OC，
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是弧AC所对的圆周角，对应的圆心角为∠AOC，已知∠ABC=19°，因此：
$∠ AOC = 2∠ ABC = 2×19° = 38°$
2. 由半径OA、OB互相垂直，可得：
$∠ AOB = 90°$
3. 计算弧BC对应的圆心角∠BOC：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 38° = 52°$
4. 再次应用圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×52° = 26°$
【答案】C（$26°$）
【知识点】
圆周角定理，圆心角计算
【点评】
本题属于圆章节的常规基础题型，解题突破口是连接辅助线OC构造对应圆心角，核心要求是准确识别不同圆周角所对应的弧，理清同弧下圆周角和圆心角的2倍关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$，$D$在$\odot O$上，$CD// AB$，$∠ ADC=25^{\circ }$，则$∠ DCO$的度数为
50
$^{\circ }$。答案
由圆周角定理,得$∠ AOC=2∠ ADC=50°.\because CD// AB,\therefore ∠ DCO=∠ AOC=50°.$
解析
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步，已知圆周角∠ADC的度数，先找到它对应的弧AC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；第二步，已知CD平行于AB，OC是两条平行线的截线，∠DCO和∠AOC是一组内错角，结合平行线内错角相等的性质，就能直接得到所求∠DCO的度数，无需额外构造辅助线。
【解析】
1. 依据圆周角定理：同一段弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍。
∠ADC是弧AC对应的圆周角，∠AOC是弧AC对应的圆心角，已知∠ADC=25°，因此：
$$∠AOC = 2∠ADC = 2×25°=50°$2. 已知$CD// AB$，直线OC分别交CD、AB于点C、O，∠DCO和∠AOC是一组内错角，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得： $$∠DCO=∠AOC=50°$
【答案】50
【知识点】圆周角定理，平行线性质
【点评】本题是圆与平行线结合的基础题型，直接考察圆周角定理和平行线性质的基础应用，解题逻辑清晰，不需要添加辅助线，能够帮助学生巩固圆中基础角度的计算方法。
【难度系数】0.7
我们可以分两步梳理解题思路：第一步，已知圆周角∠ADC的度数，先找到它对应的弧AC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；第二步，已知CD平行于AB，OC是两条平行线的截线，∠DCO和∠AOC是一组内错角，结合平行线内错角相等的性质，就能直接得到所求∠DCO的度数，无需额外构造辅助线。
【解析】
1. 依据圆周角定理：同一段弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍。
∠ADC是弧AC对应的圆周角，∠AOC是弧AC对应的圆心角，已知∠ADC=25°，因此：
$$∠AOC = 2∠ADC = 2×25°=50°$2. 已知$CD// AB$，直线OC分别交CD、AB于点C、O，∠DCO和∠AOC是一组内错角，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得： $$∠DCO=∠AOC=50°$
【答案】50
【知识点】圆周角定理，平行线性质
【点评】本题是圆与平行线结合的基础题型，直接考察圆周角定理和平行线性质的基础应用，解题逻辑清晰，不需要添加辅助线，能够帮助学生巩固圆中基础角度的计算方法。
【难度系数】0.7
4. 教材变式题 如图,点 A,C,B 在$\odot O$上,$∠ AOB=∠ ACB=α$,则$α$的值为
120
$°$.答案
$\because ∠ ACB=α ,\therefore$ 优弧 $AB$ 所对的圆心角为 $2α$.$\therefore 2α +α =360^{\circ }$,解得 $α =120^{\circ }.$
解析
【分析】
这道题的核心是理清圆周角和对应圆心角的匹配关系：如果直接默认∠AOB是∠ACB对应的圆心角，会得到α=2α的矛盾结果，说明找错了对应弧。观察图形可知，圆周角∠ACB所对的弧是不包含点C的优弧AB，根据圆周角定理，优弧AB对应的圆心角是∠ACB的2倍也就是2α。而整个圆周对应的总圆心角是周角360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=α，两者相加刚好等于360°，列方程即可求解出α的值。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半。
已知∠ACB=α，它作为圆周角所对的弧是优弧AB，因此优弧AB对应的圆心角的度数为2α。
由于圆周对应的总圆心角为周角360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=α，因此可得等式：
$α + 2α = 360°$
整理得$3α=360°$，解得$α=120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆周角定理，周角性质
【点评】
本题的易错点是容易错误将劣弧AB对应的圆心角∠AOB当成∠ACB的同弧对应圆心角，得到矛盾的错误结论。解题关键是准确识别圆周角对应的弧段，区分优弧、劣弧对应的圆心角，利用周角为360°建立等量关系求解，很好地考察了圆周角定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
这道题的核心是理清圆周角和对应圆心角的匹配关系：如果直接默认∠AOB是∠ACB对应的圆心角，会得到α=2α的矛盾结果，说明找错了对应弧。观察图形可知，圆周角∠ACB所对的弧是不包含点C的优弧AB，根据圆周角定理，优弧AB对应的圆心角是∠ACB的2倍也就是2α。而整个圆周对应的总圆心角是周角360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=α，两者相加刚好等于360°，列方程即可求解出α的值。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半。
已知∠ACB=α，它作为圆周角所对的弧是优弧AB，因此优弧AB对应的圆心角的度数为2α。
由于圆周对应的总圆心角为周角360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=α，因此可得等式：
$α + 2α = 360°$
整理得$3α=360°$，解得$α=120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆周角定理，周角性质
【点评】
本题的易错点是容易错误将劣弧AB对应的圆心角∠AOB当成∠ACB的同弧对应圆心角，得到矛盾的错误结论。解题关键是准确识别圆周角对应的弧段，区分优弧、劣弧对应的圆心角，利用周角为360°建立等量关系求解，很好地考察了圆周角定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
5. 如图,点 $A,B,C,D$ 都在 $\odot O$ 上,$OC⊥ AB$,$∠ ADC=30°$,连接 $BC,OB,OA,AC$.
(1) 求$∠ BOC$ 的度数.
(2) 求证:四边形 $AOBC$ 是菱形.
(1) 求$∠ BOC$ 的度数.
(2) 求证:四边形 $AOBC$ 是菱形.
答案
(1) $\because$ 点 $A,B,C,D$ 都在 $\odot O$ 上,$OC⊥ AB,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}.\therefore ∠ AOC=∠ BOC.\because ∠ ADC=30^{\circ },\therefore ∠ AOC=2∠ ADC=60^{\circ }.\therefore ∠ BOC=60^{\circ }.$
(2) 由(1)知,$∠ AOC=∠ BOC=60^{\circ }.\because OB=OC=OA,\therefore △ BOC$ 和 $△ AOC$ 都是等边三角形. $\therefore BC=OB=OC=OA=AC. \therefore$ 四边形 $AOBC$ 是菱形.
(2) 由(1)知,$∠ AOC=∠ BOC=60^{\circ }.\because OB=OC=OA,\therefore △ BOC$ 和 $△ AOC$ 都是等边三角形. $\therefore BC=OB=OC=OA=AC. \therefore$ 四边形 $AOBC$ 是菱形.
解析
【分析】
先梳理第一问的解题思路：已知OC垂直弦AB，首先联想到垂径定理，垂直于弦的直径会平分弦所对的弧，由此可得弧AC和弧BC相等，那么两条等弧对应的圆心角也必然相等。已知∠ADC=30°，它是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，结合之前得到的∠BOC=∠AOC，即可求出∠BOC的度数。
第二问要证明四边形AOBC是菱形，优先选择四条边相等的四边形是菱形这个判定方法：OA、OB、OC都是圆的半径，天然相等，结合第一问得到的∠AOC=∠BOC=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可推出△AOC和△BOC都是等边三角形，进而得到AC=OA、BC=OB，最终得到四边形AOBC四条边全部相等，即可完成菱形的证明。
【解析】
(1) 解：
∵ 点 $A,B,C,D$ 都在 $\odot O$ 上，$OC⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ 等弧对应的圆心角相等，即 $∠ AOC=∠ BOC$。
∵ $∠ ADC=30^{\circ }$，∠ADC是弧AC所对的圆周角，
根据圆周角定理可得 $∠ AOC=2∠ ADC=60^{\circ }$，
∴ $∠ BOC=60^{\circ }$。
(2) 证明：
由(1)知，$∠ AOC=∠ BOC=60^{\circ }$，
∵ $OB$、$OC$、$OA$ 都是$\odot O$的半径，即 $OB=OC=OA$，
∴ $△ BOC$ 和 $△ AOC$ 都是有一个内角为60°的等腰三角形，二者均为等边三角形，
∴ $BC=OB=OC=OA=AC$，四边形AOBC四条边全部相等，
∴ 四边形 $AOBC$ 是菱形。
【答案】
(1) $∠ BOC=60°$；(2) 证明过程如上，四边形AOBC是菱形得证。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，菱形判定
【点评】
本题是圆的基础性质与菱形判定的常规综合题，没有复杂的辅助线和变形，核心考点就是基础几何定理的串联运用，先通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角定理完成角度计算，最后利用等边三角形的性质推导出四边相等完成证明，适合巩固圆相关基础概念的练习。
【难度系数】
0.8
先梳理第一问的解题思路：已知OC垂直弦AB，首先联想到垂径定理，垂直于弦的直径会平分弦所对的弧，由此可得弧AC和弧BC相等，那么两条等弧对应的圆心角也必然相等。已知∠ADC=30°，它是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，结合之前得到的∠BOC=∠AOC，即可求出∠BOC的度数。
第二问要证明四边形AOBC是菱形，优先选择四条边相等的四边形是菱形这个判定方法：OA、OB、OC都是圆的半径，天然相等，结合第一问得到的∠AOC=∠BOC=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可推出△AOC和△BOC都是等边三角形，进而得到AC=OA、BC=OB，最终得到四边形AOBC四条边全部相等，即可完成菱形的证明。
【解析】
(1) 解：
∵ 点 $A,B,C,D$ 都在 $\odot O$ 上，$OC⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ 等弧对应的圆心角相等，即 $∠ AOC=∠ BOC$。
∵ $∠ ADC=30^{\circ }$，∠ADC是弧AC所对的圆周角，
根据圆周角定理可得 $∠ AOC=2∠ ADC=60^{\circ }$，
∴ $∠ BOC=60^{\circ }$。
(2) 证明：
由(1)知，$∠ AOC=∠ BOC=60^{\circ }$，
∵ $OB$、$OC$、$OA$ 都是$\odot O$的半径，即 $OB=OC=OA$，
∴ $△ BOC$ 和 $△ AOC$ 都是有一个内角为60°的等腰三角形，二者均为等边三角形，
∴ $BC=OB=OC=OA=AC$，四边形AOBC四条边全部相等，
∴ 四边形 $AOBC$ 是菱形。
【答案】
(1) $∠ BOC=60°$；(2) 证明过程如上，四边形AOBC是菱形得证。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，菱形判定
【点评】
本题是圆的基础性质与菱形判定的常规综合题，没有复杂的辅助线和变形，核心考点就是基础几何定理的串联运用，先通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角定理完成角度计算，最后利用等边三角形的性质推导出四边相等完成证明，适合巩固圆相关基础概念的练习。
【难度系数】
0.8
6. 易错题 如图，将$\odot O$沿弦$AB$折叠，圆弧恰好经过圆心$O$，$P$是优弧$\overset{\frown}{AMB}$上一点，则$∠ APB$的度数为（
A.$45°$
B.$30°$
C.$75°$
D.$60°$
D
）A.$45°$
B.$30°$
C.$75°$
D.$60°$
答案
如图,作半径 $OC⊥ AB$ 于点 $D$,连接 $OA,OB. \because$ 将$\odot O$ 沿弦 $AB$ 折叠,圆弧恰好经过圆心 $O,\therefore OD=CD. \therefore OD=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{1}{2}OA. \therefore$ 易得$∠ OAD=30^{\circ }$.又$\because OA=OB,\therefore ∠ OBA = ∠ OAB = 30°. \therefore ∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - 30° - 30° = 120°. \therefore ∠ APB=\dfrac{1}{2}∠ AOB=60°.$
解析
【分析】
我们可以按清晰的逻辑逐步推导解题：1. 看到“沿AB折叠后圆弧过圆心O”的条件，首先联想到折叠的性质：折痕AB到两个对称点的距离相等，因此过O作AB的垂线，结合垂径定理得到垂足D，就能推出OD的长度等于半径的一半；2. 在直角三角形OAD中，直角边OD是斜边OA（半径）的一半，可直接得到∠OAB=30°；3. 结合OA=OB的等腰三角形性质，算出弦AB对应的圆心角∠AOB的度数；4. 最后利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，直接求出∠APB的度数，选出正确选项。
【解析】
解：作半径 $OC⊥ AB$ 于点 $D$，连接 $OA,OB$。
1. 由折叠的性质可知：折叠后圆弧恰好经过圆心$O$，因此点$O$关于弦$AB$的对称点落在圆上，可得$OD=CD$。
2. 因为$OC$和$OA$都是$\odot O$的半径，因此$OD=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{1}{2}OA$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，直角边$OD=\dfrac{1}{2}OA$，可推出$∠ OAD=30°$。
4. 又因为$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，因此$∠ OBA = ∠ OAB = 30°$。
5. 由三角形内角和公式计算得：$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - 30° - 30° = 120°$。
6. 根据圆周角定理，同弧$AB$对应的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ APB=\dfrac{1}{2}∠ AOB=60°$。
最终选择选项D。
【答案】
【知识点】
折叠性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合易错题，核心难点是通过折叠条件推导出圆心到弦AB的距离为半径的一半，辅助线的构造是解题突破口，同时需要注意区分圆周角对应的弧段，避免错用优弧对应的圆心角导致计算错误，综合考查了多个圆的基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6
我们可以按清晰的逻辑逐步推导解题：1. 看到“沿AB折叠后圆弧过圆心O”的条件，首先联想到折叠的性质：折痕AB到两个对称点的距离相等，因此过O作AB的垂线，结合垂径定理得到垂足D，就能推出OD的长度等于半径的一半；2. 在直角三角形OAD中，直角边OD是斜边OA（半径）的一半，可直接得到∠OAB=30°；3. 结合OA=OB的等腰三角形性质，算出弦AB对应的圆心角∠AOB的度数；4. 最后利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，直接求出∠APB的度数，选出正确选项。
【解析】
解：作半径 $OC⊥ AB$ 于点 $D$，连接 $OA,OB$。
1. 由折叠的性质可知：折叠后圆弧恰好经过圆心$O$，因此点$O$关于弦$AB$的对称点落在圆上，可得$OD=CD$。
2. 因为$OC$和$OA$都是$\odot O$的半径，因此$OD=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{1}{2}OA$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，直角边$OD=\dfrac{1}{2}OA$，可推出$∠ OAD=30°$。
4. 又因为$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，因此$∠ OBA = ∠ OAB = 30°$。
5. 由三角形内角和公式计算得：$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - 30° - 30° = 120°$。
6. 根据圆周角定理，同弧$AB$对应的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ APB=\dfrac{1}{2}∠ AOB=60°$。
最终选择选项D。
【答案】
【知识点】
折叠性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合易错题，核心难点是通过折叠条件推导出圆心到弦AB的距离为半径的一半，辅助线的构造是解题突破口，同时需要注意区分圆周角对应的弧段，避免错用优弧对应的圆心角导致计算错误，综合考查了多个圆的基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6
7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$DC$,$AB$的延长线相交于点$P$.若$∠ CAB=α$,$∠ BPC=β$,则$α$和$β$之间的数量关系为（
A.$α=β$
B.$α+β=45°$
C.$2α+β=60°$
D.$3α+2β=90°$
D
）A.$α=β$
B.$α+β=45°$
C.$2α+β=60°$
D.$3α+2β=90°$
答案
如图,连接 $OC,OD$,设 $OD$ 交 $AC$ 于点 $E. \because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}. \therefore AD=CD$. 又$\because OA=OC$,$\therefore OD$ 垂直平分 $AC. \therefore ∠ AED=90^{\circ }. \because AD=CD$,$∠ CAB=α$,$∠ BPC=β$,$\therefore ∠ DAC=∠ DCA=∠ CAB+∠ BPC=α +β . \because OD=OA$,$\therefore ∠ ODA=∠ OAD=∠ CAB+∠ DAC=α +α +β =2α +β . \because ∠ DAC + ∠ ODA=90^{\circ }$,$\therefore α +β +2α +β =90^{\circ }. \therefore 3α +2β =90^{\circ }.$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“D是$\overset{\frown}{AC}$的中点”入手，联想到垂径定理的推论，优先连接OD，利用弧中点的性质得到OD垂直平分AC，构造出直角三角形。接下来结合三角形外角的性质，把∠DCA转化为α+β，再利用等腰三角形等边对等角的性质，将∠ODA也用α和β的代数式表示，最后借助直角三角形两锐角互余的关系建立等式，整理后就能得到α和β的数量关系。
【解析】
解：连接OC、OD，设OD交AC于点E。
1. 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，可得$AD=CD$。
2. 又因为$OA=OC$，因此OD是线段AC的垂直平分线，即$OD⊥ AC$，$∠ AED=90°$。
3. 根据三角形外角的性质，在$△ ACP$中，$∠ DCA = ∠ CAB + ∠ BPC = α + β$。
由$AD=CD$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠ DAC = ∠ DCA = α + β$。
4. 因为$OA=OD$，所以$△ OAD$为等腰三角形，$∠ ODA = ∠ OAD$。
其中$∠ OAD = ∠ CAB + ∠ DAC = α + (α+β) = 2α + β$，即$∠ ODA=2α+β$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，两锐角互余，因此$∠ DAC + ∠ ODA = 90°$，代入角的表达式得：
$(α+β)+(2α+β)=90°$
整理后可得$3α + 2β = 90°$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；三角形外角性质；等腰三角形性质
【点评】
本题的核心是通过圆的弧中点性质构造垂直关系，将分散的角通过等腰三角形性质、外角性质逐步转化为用α、β表示的形式，最终利用直角三角形的角的关系建立等式，考察了学生对圆的基础性质的掌握和角的代换推导能力，属于圆中角度推导的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“D是$\overset{\frown}{AC}$的中点”入手，联想到垂径定理的推论，优先连接OD，利用弧中点的性质得到OD垂直平分AC，构造出直角三角形。接下来结合三角形外角的性质，把∠DCA转化为α+β，再利用等腰三角形等边对等角的性质，将∠ODA也用α和β的代数式表示，最后借助直角三角形两锐角互余的关系建立等式，整理后就能得到α和β的数量关系。
【解析】
解：连接OC、OD，设OD交AC于点E。
1. 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，可得$AD=CD$。
2. 又因为$OA=OC$，因此OD是线段AC的垂直平分线，即$OD⊥ AC$，$∠ AED=90°$。
3. 根据三角形外角的性质，在$△ ACP$中，$∠ DCA = ∠ CAB + ∠ BPC = α + β$。
由$AD=CD$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠ DAC = ∠ DCA = α + β$。
4. 因为$OA=OD$，所以$△ OAD$为等腰三角形，$∠ ODA = ∠ OAD$。
其中$∠ OAD = ∠ CAB + ∠ DAC = α + (α+β) = 2α + β$，即$∠ ODA=2α+β$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，两锐角互余，因此$∠ DAC + ∠ ODA = 90°$，代入角的表达式得：
$(α+β)+(2α+β)=90°$
整理后可得$3α + 2β = 90°$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；三角形外角性质；等腰三角形性质
【点评】
本题的核心是通过圆的弧中点性质构造垂直关系，将分散的角通过等腰三角形性质、外角性质逐步转化为用α、β表示的形式，最终利用直角三角形的角的关系建立等式，考察了学生对圆的基础性质的掌握和角的代换推导能力，属于圆中角度推导的典型题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,其中$∠ CAE=60^{\circ }$,则$∠ B+∠ F$的度数是
240
$^{\circ }$.答案
连接 $OC,OE. \because ∠ CAE=60^{\circ },\therefore ∠ COE=2∠ CAE=2× 60^{\circ }=120^{\circ }. \therefore ∠ B+∠ F$ 的度数$=\dfrac{1}{2}(\overset{\frown}{AEC}$的度数$+\overset{\frown}{ABE}$的度数$)=\dfrac{1}{2}($周角$+∠ COE)=\dfrac{1}{2}× (360^{\circ }+120^{\circ })=240^{\circ }.$
解析
【分析】
我们的解题思路是这样的：已知六边形内接于圆，给出了圆周角∠CAE=60°，要求∠B+∠F的和，不需要分别求出两个角的具体值，可以利用圆周角和对应弧的度数关系整体计算。第一步先根据圆周角定理，连接OC、OE，将已知的圆周角∠CAE转化为它所对的弧CE对应的圆心角∠COE，得到弧CE的度数为120°。第二步分析∠B和∠F作为圆上的圆周角，分别对应弧AEC和弧ABE，两个角的度数和就等于这两段弧的度数和的一半。第三步观察两段弧的总和：弧AEC加弧ABE刚好是整个圆周360°再加上重复的弧CE的度数，代入数值计算就能直接得到结果。
【解析】
解：连接$OC,OE$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\because ∠ CAE=60^{\circ }$，它对应的弧为$\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ COE=2∠ CAE=2× 60^{\circ }=120^{\circ }$，即$\overset{\frown}{CE}$的度数为$120^{\circ }$。
又因为圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半：
$∠B$是圆周角，对应所对的弧为$\overset{\frown}{AEC}$，故$∠B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AEC}$的度数；
$∠F$是圆周角，对应所对的弧为$\overset{\frown}{ABE}$，故$∠F=\frac{1}{2}\overset{\frown}{ABE}$的度数。
因此：
$∠ B+∠ F=\dfrac{1}{2}(\overset{\frown}{AEC}的度数+\overset{\frown}{ABE}的度数)$
观察两段弧的和：$\overset{\frown}{AEC}+\overset{\frown}{ABE}$刚好覆盖整个圆周，且重复包含了$\overset{\frown}{CE}$，因此两段弧的总度数等于周角$360^{\circ }$加上$\overset{\frown}{CE}$的度数$120^{\circ }$，代入得：
$∠ B+∠ F=\dfrac{1}{2}× (360^{\circ }+120^{\circ })=240^{\circ }$
【答案】
240
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题采用整体思想求解，不需要分别计算∠B和∠F的具体数值，直接将两个角的和转化为对应两段弧的度数和的一半，简化了计算过程，考察学生对圆周角和对应弧的关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们的解题思路是这样的：已知六边形内接于圆，给出了圆周角∠CAE=60°，要求∠B+∠F的和，不需要分别求出两个角的具体值，可以利用圆周角和对应弧的度数关系整体计算。第一步先根据圆周角定理，连接OC、OE，将已知的圆周角∠CAE转化为它所对的弧CE对应的圆心角∠COE，得到弧CE的度数为120°。第二步分析∠B和∠F作为圆上的圆周角，分别对应弧AEC和弧ABE，两个角的度数和就等于这两段弧的度数和的一半。第三步观察两段弧的总和：弧AEC加弧ABE刚好是整个圆周360°再加上重复的弧CE的度数，代入数值计算就能直接得到结果。
【解析】
解：连接$OC,OE$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\because ∠ CAE=60^{\circ }$，它对应的弧为$\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ COE=2∠ CAE=2× 60^{\circ }=120^{\circ }$，即$\overset{\frown}{CE}$的度数为$120^{\circ }$。
又因为圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半：
$∠B$是圆周角，对应所对的弧为$\overset{\frown}{AEC}$，故$∠B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AEC}$的度数；
$∠F$是圆周角，对应所对的弧为$\overset{\frown}{ABE}$，故$∠F=\frac{1}{2}\overset{\frown}{ABE}$的度数。
因此：
$∠ B+∠ F=\dfrac{1}{2}(\overset{\frown}{AEC}的度数+\overset{\frown}{ABE}的度数)$
观察两段弧的和：$\overset{\frown}{AEC}+\overset{\frown}{ABE}$刚好覆盖整个圆周，且重复包含了$\overset{\frown}{CE}$，因此两段弧的总度数等于周角$360^{\circ }$加上$\overset{\frown}{CE}$的度数$120^{\circ }$，代入得：
$∠ B+∠ F=\dfrac{1}{2}× (360^{\circ }+120^{\circ })=240^{\circ }$
【答案】
240
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题采用整体思想求解，不需要分别计算∠B和∠F的具体数值，直接将两个角的和转化为对应两段弧的度数和的一半，简化了计算过程，考察学生对圆周角和对应弧的关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$\odot O$的半径为1，弦$AB$，$CD$的长度分别为$\sqrt{2}$，1，则弦$AC$，$BD$所夹的锐角$α =$
75°
.答案
如图,连接 $OA,OB,OC,OD. \because OA=OB=OC=OD=1$,$AB=\sqrt{2}$,$CD=1$,$\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$,$OC=OD=CD. \therefore △ AOB$ 是等腰直角三角形,$△ COD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45^{\circ }$,$∠ ODC=∠ OCD=60^{\circ }. \because ∠ CDB=∠ CAB$,$∠ ODB=∠ OBD$,$\therefore α =180^{\circ }-∠ CAB-∠ OBA-∠ OBD=180^{\circ }-∠ OBA-(∠ CDB+∠ ODB)=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }.$
解析
【分析】
我们的解题思路是：已知圆的半径和两条弦的长度，优先连接圆心与两条弦的端点，构造以半径为边的三角形，通过边长关系判断三角形的特殊类型，直接得到对应的特殊角度。首先验证△AOB的三边满足勾股定理逆定理，得到它是等腰直角三角形，得到底角45°；再验证△COD三边相等，得到它是等边三角形，内角为60°。接下来利用同弧所对圆周角相等的性质，将所求的夹角α通过三角形内角和转化为这两个特殊角的组合，代入数值即可算出α的度数。
【解析】
解：连接OA、OB、OC、OD，
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OB=OC=OD=1，
① 处理弦AB：已知AB=√2，可得$OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 = AB^2$，由勾股定理逆定理可知△AOB为直角三角形，又OA=OB，因此△AOB是等腰直角三角形，得∠OBA=45°。
② 处理弦CD：已知CD=1，OC=OD=1，因此OC=OD=CD，△COD是等边三角形，得∠ODC=60°。
③ 根据同弧所对的圆周角相等，弧BC对应的圆周角∠CAB=∠CDB；又OD=OB，故△ODB为等腰三角形，∠ODB=∠OBD。
④ 由三角形内角和为180°，对AC、BD的交点所在的三角形可得：
$α = 180° - ∠ CAB - ∠ OBA - ∠ OBD$
将∠CAB替换为∠CDB，∠OBD替换为∠ODB，整理得：
$α = 180° - ∠ OBA - (∠ CDB + ∠ ODB) = 180° - ∠ OBA - ∠ ODC$
代入∠OBA=45°，∠ODC=60°，计算得$α=180°-45°-60°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，解题核心是通过作辅助线连接半径，构造出等腰直角三角形和等边三角形这两类特殊三角形，快速得到已知特殊角，再利用圆周角的性质将所求夹角转化为已知角的和差，整体思路清晰，侧重考察学生对圆基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
我们的解题思路是：已知圆的半径和两条弦的长度，优先连接圆心与两条弦的端点，构造以半径为边的三角形，通过边长关系判断三角形的特殊类型，直接得到对应的特殊角度。首先验证△AOB的三边满足勾股定理逆定理，得到它是等腰直角三角形，得到底角45°；再验证△COD三边相等，得到它是等边三角形，内角为60°。接下来利用同弧所对圆周角相等的性质，将所求的夹角α通过三角形内角和转化为这两个特殊角的组合，代入数值即可算出α的度数。
【解析】
解：连接OA、OB、OC、OD，
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OB=OC=OD=1，
① 处理弦AB：已知AB=√2，可得$OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 = AB^2$，由勾股定理逆定理可知△AOB为直角三角形，又OA=OB，因此△AOB是等腰直角三角形，得∠OBA=45°。
② 处理弦CD：已知CD=1，OC=OD=1，因此OC=OD=CD，△COD是等边三角形，得∠ODC=60°。
③ 根据同弧所对的圆周角相等，弧BC对应的圆周角∠CAB=∠CDB；又OD=OB，故△ODB为等腰三角形，∠ODB=∠OBD。
④ 由三角形内角和为180°，对AC、BD的交点所在的三角形可得：
$α = 180° - ∠ CAB - ∠ OBA - ∠ OBD$
将∠CAB替换为∠CDB，∠OBD替换为∠ODB，整理得：
$α = 180° - ∠ OBA - (∠ CDB + ∠ ODB) = 180° - ∠ OBA - ∠ ODC$
代入∠OBA=45°，∠ODC=60°，计算得$α=180°-45°-60°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，解题核心是通过作辅助线连接半径，构造出等腰直角三角形和等边三角形这两类特殊三角形，快速得到已知特殊角，再利用圆周角的性质将所求夹角转化为已知角的和差，整体思路清晰，侧重考察学生对圆基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
