三、解答题
11. 解下列方程：
(1)$x^{2}+2x-3=0$;
(2)$3x(x-1)=2(1-x)$.

11. (1)原方程可变形为$(x-1)(x+3)=0$,$\therefore x-1=0$ 或 $x+3=0$,$\therefore x_1=1$,$x_2=-3$. (2)移项,得 $3x(x-1)-2(1-x)=0$,提公因式,得$(x-1)(3x+2)=0$,$\therefore x-1=0$ 或 $3x+2=0$,$\therefore x_1=1$,$x_2=-\dfrac{2}{3}$.

【分析】
解一元二次方程时，优先选用因式分解法，该方法步骤简洁易操作。第(1)题是标准二次三项式，可通过十字相乘法分解因式；第(2)题需先移项，将含$(1-x)$的项转化为$(x-1)$的形式，再提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解。
【解析】
(1) 对原方程$x^2+2x-3=0$，用十字相乘法分解因式得：$(x-1)(x+3)=0$，
则$x-1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
(2) 对原方程$3x(x-1)=2(1-x)$，先移项得：$3x(x-1)-2(1-x)=0$，
注意到$1-x=-(x-1)$，变形后提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(3x+2)=0$，
则$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=1$，$x_2=-3$；(2)$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法
【点评】
本题为一元二次方程的基础求解题，主要考察因式分解法在解方程中的应用，第(2)题需注意移项后符号的转化，避免公因式提取错误，整体难度较低，属于学生需掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8

12. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3.随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球.
(1)第二次摸到1号小球的概率是.
(2)求两次摸出的小球标号和为3的概率.

12. (1) $\dfrac{1}{3}$ (2)列表如下,由表可知,共有9种等可能的结果,其中两次摸出的小球标号和为3的结果有$(1,2)$,$(2,1)$,共2种,$\therefore$ 两次摸出的小球标号和为3的概率为$\dfrac{2}{9}$.
| | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |

【分析】
这是一道关于有放回摸球的概率计算题，解题思路如下：
1. 明确摸球规则：题目为“放回”摸球，因此每次摸球时口袋始终有1、2、3三个小球，每次摸球结果相互独立，总共有3种等可能情况。
2. 第(1)问：第二次摸球时球的数量和标号不变，每个标号被摸到的概率相等，直接计算即可。
3. 第(2)问：用列表法列出所有等可能结果，再找出“两次标号和为3”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数/总结果数）计算概率。
【解析】
(1) 因为是放回摸球，第二次摸球时，口袋中仍有标号为1、2、3的三个小球，每个小球被摸到的可能性相等，所以第二次摸到1号小球的概率为$\dfrac{1}{3}$。
(2) 用列表法列出所有等可能的结果：
| | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号和为3的结果有$(1,2)$、$(2,1)$，共2种。根据概率公式，两次摸出的小球标号和为3的概率为$\dfrac{2}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{2}{9}$
【知识点】
古典概型、列表法求概率
【点评】
本题是初中概率基础题型，考察有放回抽样的概率计算，核心是通过列表法清晰呈现所有等可能结果，帮助学生理解古典概型的计算方法，需注意区分“放回”与“不放回”抽样的差异，避免结果错误。
【难度系数】
0.7

13. 某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数关系如图所示(恒温系统开启前的温度是$10\ °\mathrm{C}$),$AB$段为开启恒温系统后,温度升高阶段,此时大棚内温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间满足的关系式为$y=5x+10$,$BC$段是恒温阶段,关闭恒温系统后,大棚内温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的关系是某反比例函数图象的一部分($CD$段),请根据图中信息解答下列问题:
(1)求$a$的值.
(2)若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为$12\ °\mathrm{C}$到$20\ °\mathrm{C}$的条件下最适合生长,则这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长?

13. (1)设 $CD$ 段对应函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,把 $D(24,10)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,得 $k=24×10=240$,$\therefore CD$ 段对应函数表达式为 $y=\dfrac{240}{x}$,当 $y=20$ 时,$20=\dfrac{240}{x}$,解得 $x=12$,即 $a=12$. (2)将 $y=12$ 分别代入 $y=5x+10$ 和 $y=\dfrac{240}{x}$,得 $12=5x+10$,$12=\dfrac{240}{x}$,解得 $x=0.4$,$x=20$,$\therefore$ 这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 $20-0.4=19.6(\mathrm{h})$. 答:这种蔬菜一天内最适合生长的时间 $19.6\ \mathrm{h}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用CD段为反比例函数图象的特点，先求出反比例函数解析式，再代入y=20求出对应x值，即为a的值；第(2)问需找到温度为12℃时在AB段和CD段对应的时间，两者差值就是蔬菜最适合生长的时间。解题时要先明确各段函数类型，通过代入已知点求解析式，再利用函数值求自变量。
【解析】
(1) 设CD段对应的反比例函数表达式为 $ y = \dfrac{k}{x} (k ≠ 0) $，将点 $ D(24,10) $ 代入得：
$ 10 = \dfrac{k}{24} $，解得 $ k = 24 × 10 = 240 $，
因此CD段函数表达式为 $ y = \dfrac{240}{x} $。
当 $ y = 20 $ 时，代入得 $ 20 = \dfrac{240}{x} $，解得 $ x = 12 $，即 $ a = 12 $。
(2) 求AB段温度为12℃的时间：AB段函数为 $ y = 5x + 10 $，令 $ y = 12 $，则：
$ 12 = 5x + 10 $，解得 $ x = 0.4 $；
求CD段温度为12℃的时间：CD段函数为 $ y = \dfrac{240}{x} $，令 $ y = 12 $，则：
$ 12 = \dfrac{240}{x} $，解得 $ x = 20 $；
所以蔬菜最适合生长的时间为 $ 20 - 0.4 = 19.6 \, \mathrm{h} $。
【答案】
(1) $ a = 12 $；(2) 这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 $ 19.6 \, \mathrm{h} $
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、函数图像实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数与反比例函数的应用，需掌握函数解析式的求法及函数值与自变量的转换，是常见的函数实际应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径作$\odot O$交$BC$于点$D$,交$CA$的延长线于点$E$,连接$BE$,过点$D$作$DF ⊥ AC$,垂足为$F$.
(1)求证:$DF$是$\odot O$的切线.
(2)已知$DF=6$,$AE=5$,求$\odot O$的半径.

14. (1)如图,连接 $OD$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ C$. $\because OB=OD$,$\therefore ∠ ABC=∠ ODB$,$\therefore ∠ C=∠ ODB$,$\therefore OD// AC$. $\because DF⊥ AC$,$\therefore DF⊥ OD$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore DF$ 是 $\odot O$ 的切线. (2)如图,连接 $AD$. $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BEA=∠ ADB=90°$, $\therefore ∠ BEA=∠ DFC$,$\therefore BE// DF$. $\because AB=AC$,$\therefore BD=CD$,$\therefore DF$ 是 $△ BCE$ 的中位线,$\therefore BE=2DF=2×6=12$. $\because AE=5$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=13$,$\therefore \odot O$ 的半径为 $\dfrac{13}{2}$.

【分析】
第(1)问要证明DF是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证OD⊥DF。结合AB=AC得∠ABC=∠C，OB=OD得∠ABC=∠ODB，推出OD//AC，再由DF⊥AC即可证OD⊥DF，完成切线判定；第(2)问求⊙O半径，利用AB是直径得∠BEA=90°，结合AB=AC得D为BC中点，由BE//DF推出DF是△BCE的中位线算出BE，再在Rt△ABE中用勾股定理求AB，进而得半径。
【解析】
(1) 连接OD。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C。
∵ OB=OD，
∴ ∠ABC=∠ODB，
∴ ∠ODB=∠C，
∴ OD//AC。
∵ DF⊥AC，
∴ DF⊥OD。
又OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线。
(2) 连接AD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠BEA=∠ADB=90°，
∴ BE⊥AC，又DF⊥AC，
∴ BE//DF。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD，即D为BC中点，
∴ DF是△BCE的中位线，
∴ BE=2DF=2×6=12。
在Rt△ABE中，AE=5，BE=12，由勾股定理得：
AB=√(BE²+AE²)=√(12²+5²)=13，
∴ ⊙O的半径为$\dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\dfrac{13}{2}$
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角性质及勾股定理的应用，需通过辅助线建立几何关系，熟练运用相关定理推导，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6