一、选择题
1. 若 $a$ 是方程 $x^{2}-2x-1=0$ 的一个根,则 $a^{2}-2a+7$ 的值为 （）

A.6
B.7
C.8
D.9

1. C 解析:由题意可知,$a^{2}-2a-1=0$,$\therefore a^{2}-2a=1$,$\therefore a^{2}-2a+7=1+7=8$.

【分析】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式求值，解题思路是利用方程根的性质，将根代入方程得到关于$a$的代数式的值，再通过整体代入法计算所求代数式的值，无需直接求解方程的根，简化运算过程。
【解析】
因为$a$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根，将$x=a$代入方程可得：
$a^2 - 2a - 1 = 0$
移项得：$a^2 - 2a = 1$
将$a^2 - 2a = 1$代入$a^2 - 2a + 7$，可得：
$1 + 7 = 8$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值（整体代入法）
【点评】
本题属于基础题，核心是运用一元二次方程根的定义，结合整体代入的思想求解代数式的值，避免了求解方程根的复杂运算，考查学生对基础知识点的掌握和基本运算能力。
【难度系数】
0.8

2. 若点 $A(a,b)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,则代数式 $ab-4$ 的值为（）

A.0
B.$-2$
C.2
D.$-1$

2. D 解析:$\because$ 点 $A(a,b)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore ab=3$,$\therefore ab-4=3-4=-1$.

【分析】
要解决本题，需利用反比例函数图像上点的坐标特征：若点在反比例函数图像上，则点的坐标满足该函数的解析式。先将点A(a,b)代入反比例函数解析式，求出ab的值，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A(a,b)在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴将点坐标代入函数解析式得：$b=\dfrac{3}{x}$，即$ab=3$（a≠0，反比例函数中x不能为0）。
将$ab=3$代入代数式$ab-4$，得：$3 - 4 = -1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图像上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题，核心考查反比例函数图像上点的坐标与解析式的对应关系，解题关键是利用点在图像上快速求出ab的值，进而计算代数式，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8

3. 对于一组数据$-1,2,-1,4$，下列结论不正确的是（）

A.平均数是1
B.众数是$-1$
C.中位数是$1.5$
D.方差是$4.5$

3. C 解析:这组数据的平均数是 $\dfrac{-1+2-1+4}{4}=1$,众数是 $-1$,中位数是 $\dfrac{-1+2}{2}=0.5$,方差是 $\dfrac{1}{4}×[2×(-1-1)^2+(2-1)^2+(4-1)^2]=4.5$,故 A、B、D 选项不符合题意,C 选项符合题意.

【分析】
要找出结论不正确的选项，需依次计算给定数据的平均数、众数、中位数、方差，再与各选项对比判断。具体步骤为：先对数据排序，再根据各统计量的定义分别计算，最后核对选项。
【解析】
将数据$-1,2,-1,4$排序得：$-1,-1,2,4$。
1. 平均数：$\frac{-1+2-1+4}{4}=\frac{4}{4}=1$，故A选项正确；
2. 众数：出现次数最多的数是$-1$，故B选项正确；
3. 中位数：数据个数为偶数，取中间两个数的平均值，即$\frac{-1+2}{2}=0.5$，故C选项错误；
4. 方差：$\frac{1}{4}×[2×(-1-1)^2+(2-1)^2+(4-1)^2]=\frac{1}{4}×(8+1+9)=4.5$，故D选项正确。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平均数、众数、中位数、方差
【点评】
本题考查基础统计量的计算，需准确掌握各统计量的定义，尤其注意偶数个数据的中位数计算方法，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在半径为 2 的圆形纸片中剪一个圆心角为$90°$的扇形(图中阴影部分),则这个扇形的面积为（）




A.$2π$
B.$\dfrac{3}{2}π$
C.$π$
D.$\dfrac{1}{2}π$

4. A 解析:如图,连接 $BC$. $\because ∠ BAC=90°$,$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore BC=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because AB^2+AC^2=BC^2$,且 $AB=AC$,$\therefore AB=AC=2\sqrt{2}$,$\therefore S_{\mathrm{扇形}ABC}=\dfrac{90}{360}×π×(2\sqrt{2})^2=2π$.

【分析】
要计算扇形ABC的面积，需先确定扇形的半径。首先根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，得出BC是圆O的直径，从而得到BC的长度；再利用勾股定理，结合AB=AC的条件求出扇形的半径AB；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接BC，
∵ ∠BAC=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ BC为⊙O的直径，
∵ ⊙O的半径为2，
∴ BC=2×2=4。
在Rt△ABC中，AB=AC（扇形半径相等），由勾股定理得：
AB² + AC² = BC²，即2AB² = 4²=16，
解得AB²=8，AB=2√2。
扇形面积公式为：$ S = \frac{nπ r^2}{360} $（n为圆心角度数，r为扇形半径），
代入n=90°，r=AB=2√2，得：
$ S_{扇形ABC} = \frac{90×π×(2\sqrt{2})^2}{360} = \frac{90×π×8}{360} = 2π $。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆周角定理和勾股定理求出扇形半径，再运用扇形面积公式计算，考查了圆的相关性质和扇形面积的计算，属于基础题型，需熟练掌握相关定理和公式。
【难度系数】
0.7

5. 已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象如图所示,当$1≤ x≤ 2$时,$y$的取值范围是 （）

A.$1≤ y≤ 2$
B.$0≤ y≤ 4$
C.$1≤ y≤ 4$
D.$2≤ y≤ 4$

5. D 解析:$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象过点 $(1,4)$,$\therefore k=1×4=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$. 当 $x=2$ 时,$y=2$. 由图象可知,当 $1≤ x≤ 2$ 时,$y$ 的取值范围是 $2≤ y≤ 4$.

【分析】要确定当$1≤ x≤ 2$时$y$的取值范围，需先根据反比例函数图像上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数在$x＞0$时的单调性（$k＞0$时，$y$随$x$增大而减小），代入$x$的端点值计算对应$y$值，进而确定$y$的范围。
【解析】因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图像经过点$(1,4)$，将$x=1$，$y=4$代入解析式得：$k=1×4=4$，所以反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。由于$k=4＞0$，且$x＞0$，因此在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=1$时，$y=\dfrac{4}{1}=4$；当$x=2$时，$y=\dfrac{4}{2}=2$。所以当$1≤ x≤ 2$时，$y$的取值范围是$2≤ y≤ 4$。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】本题考查反比例函数的基础应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，再结合函数单调性求解取值范围，属于初中数学的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

二、填空题
6. 某农场的粮食产量在两年内从 3 000 t 增加到 3 630 t,若设这两年粮食产量的年平均增长率为 $x$,则所列方程为.

6. 3 000(1+x)² = 3 630

【分析】解决这类增长率问题，需牢记“初始量×(1+增长率)^年数=最终量”的公式。本题中，初始粮食产量为3000t，年平均增长率为x，经过2年增长到3630t，直接代入公式即可列出对应方程。
【解析】设年平均增长率为x，第一年的粮食产量为初始量乘以(1+x)，即3000(1+x)；第二年的产量是在第一年的基础上再次增长x，因此为3000(1+x)·(1+x)=3000(1+x)²。已知两年后产量为3630t，据此可列方程：3000(1+x)² = 3630。
【答案】3000(1+x)² = 3630
【知识点】一元二次方程应用，增长率问题
【点评】本题是一元二次方程的基础应用题，考查年平均增长率的实际应用，核心是明确“两年增长需乘方”的逻辑，属于常见的基础题型。
【难度系数】0.8

7. 如图，$△ OAB$ 是等边三角形，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上，$△ OAB$ 的面积为 $\sqrt{3}$. 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 图象的一支经过点 $A$，则 $k$ 的值为.

7. $\sqrt{3}$ 解析:如图,过点 $A$ 作 $AC⊥ OB$,垂足为 $C$. $\because △ OAB$ 是等边三角形,$△ OAB$ 的面积为 $\sqrt{3}$,$\therefore k=2S_{△ AOC}=S_{△ AOB}=\sqrt{3}$.

【分析】
要解决本题，需结合等边三角形的性质和反比例函数k的几何意义。首先，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形三线合一的性质，可知C是OB的中点，因此△AOC的面积是等边△OAB面积的一半；其次，根据反比例函数的几何意义，反比例函数图象上的点向x轴作垂线形成的直角三角形面积为|k|/2，结合点A所在象限确定k的符号，最后通过面积关系计算k的值。
【解析】
解：过点A作AC⊥OB，垂足为C。
∵△OAB是等边三角形，AC⊥OB，
∴C为OB的中点（等边三角形三线合一），
∴$S_{△AOC} = \frac{1}{2}S_{△OAB}$。
已知$S_{△OAB}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△AOC} = \frac{1}{2}×\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，且AC⊥x轴，
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△AOC} = \frac{|k|}{2}$，
∵点A在第一象限，
∴k＞0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{k}{2}$，
解得$k=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等边三角形的性质
【点评】
本题将等边三角形的性质与反比例函数的几何意义结合，考查数形结合思想的应用，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 如图，$\odot O$ 的半径为 5，弦 $AB$ 的长为 8，$P$ 是 $AB$ 的延长线上一点，$BP=2$，则 $OP$ 的长为.

8. $3\sqrt{5}$ 解析:如图,过点 $O$ 作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$,则$∠ OCP=∠ ACO=90°$,由题意可知,$AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8=4$,$\because BP=2$,$\therefore PC=BC+BP=6$, 在 $\mathrm{Rt}△ ACO$ 中, $OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$, 在 $\mathrm{Rt}△ PCO$ 中, $OP=\sqrt{PC^2+OC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$.

【分析】要计算OP的长度，需构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解。首先过圆心O作OC⊥AB于C，根据垂径定理，OC平分弦AB，可求出AC、BC的长度；再结合BP的长度得到PC的长度；接着在Rt△ACO中用勾股定理算出OC的长度，最后在Rt△PCO中再次用勾股定理求出OP的长度。
【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，AB是⊙O的弦，根据垂径定理，得AC=BC=$\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8=4$。
已知BP=2，
∴PC=BC + BP=4 + 2=6。
在Rt△ACO中，OA是⊙O的半径，OA=5，AC=4，由勾股定理得：
OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=3$。
在Rt△PCO中，OC=3，PC=6，由勾股定理得：
OP=$\sqrt{PC^2 + OC^2}=\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{36 + 9}=3\sqrt{5}$。
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题关键是作辅助线OC⊥AB构造直角三角形，利用垂径定理平分弦的性质结合勾股定理逐步计算，属于圆中弦长相关的基础计算题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6

9. 已知反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$ , 当 $1≤ x≤ 4$ 时 , 函数值 $y$ 的最大值和最小值之差为 3 , 则 $k$ 的值为.

9. $-4$ 解析:$\because k＜0$,$\therefore$ 在每一象限内,函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大. $\because$ 当 $1≤ x≤ 4$ 时,函数 $y$ 的最大值和最小值之差为 $3$,$\therefore \dfrac{k}{4}-\dfrac{k}{1}=3$,解得 $k=-4$.

【分析】
首先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $在每个象限内y随x的增大而增大。本题中x的范围是1≤x≤4，均为正数，因此函数在该区间位于第四象限，y随x增大而增大，故x取最小值1时y最小，x取最大值4时y最大。再根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于k的方程求解。
【解析】
解：
∵反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $中$ k＜0 $，
∴在$ x＞0 $的象限内，函数值$ y $随$ x $的增大而增大。
∵当$ 1≤x≤4 $时，$ x $均为正数，
∴当$ x=1 $时，$ y $取得最小值，$ y_{最小}=\dfrac{k}{1}=k $；
当$ x=4 $时，$ y $取得最大值，$ y_{最大}=\dfrac{k}{4} $。
根据题意，最大值与最小值之差为3，可得：
$ \dfrac{k}{4} - k = 3 $
化简得：$ -\dfrac{3k}{4}=3 $
解得：$ k=-4 $
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的最值
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，核心是根据k的符号判断函数在给定区间内的增减性，进而确定最值对应的自变量取值，是反比例函数的基础题型，需熟练掌握其增减性规律。
【难度系数】
0.6

10. 如图,$\odot O$的半径长为$4$,弦$AB$的长为$\sqrt{2}$,点$C$在$\odot O$上.若$∠ BAC=135^{ \circ }$,则$AC$的长为.

10. $\sqrt{31}-1$ 解析:如图,作$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BDC$,作$BH⊥ AC$交$CA$的延长线于点$H$,连接$OB$、$OC$、$BC$. $\because ∠ BAC=135°$,$\therefore ∠ BAH=45°$. $\because ∠ BHA=90°$,$\therefore △ BAH$ 为等腰直角三角形,$\therefore AH=BH$. 又$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AHB$ 中,$AH^2+BH^2=AB^2=2$,$\therefore AH=BH=1$. 又由圆内接四边形的性质得$∠ BAC+∠ D=180°$,$\therefore ∠ D=45°$,$\therefore ∠ BOC=2∠ D=90°$,$\therefore △ BOC$ 为等腰直角三角形. $\because OB=OC=4$,$\therefore BC=4\sqrt{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BHC$ 中,$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{31}$,$\therefore AC=CH-AH=\sqrt{31}-1$.

【分析】
要解决本题，需通过构造辅助线，结合圆的性质与直角三角形知识逐步推导：首先由∠BAC=135°得邻补角∠BAH=45°，作BH⊥AC构造等腰直角△ABH，算出AH、BH的长度；再利用圆内接四边形的对角互补和圆周角定理求出BC的长度；最后在Rt△BHC中用勾股定理算出CH，通过CH与AH的差得到AC的长。
【解析】
1. 作辅助线：过点B作BH⊥AC，交CA的延长线于点H，连接OB、OC、BC。
2. 求AH、BH的长度：
∵∠BAC=135°，
∴∠BAH=180°-135°=45°，又BH⊥AC，
∴△ABH为等腰直角三角形，即AH=BH。
在Rt△ABH中，AB=√2，由勾股定理得：AH²+BH²=AB²，即2AH²=(√2)²=2，解得AH=BH=1。
3. 求BC的长度：
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，则∠BDC=180°-135°=45°。
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠BOC=2∠BDC=90°。
又OB=OC=⊙O半径=4，
∴△BOC为等腰直角三角形，由勾股定理得BC=√(OB²+OC²)=√(4²+4²)=4√2。
4. 求AC的长度：
在Rt△BHC中，BH=1，BC=4√2，由勾股定理得CH=√(BC²-BH²)=√[(4√2)²-1²]=√31。
∵CH=AC+AH，
∴AC=CH-AH=√31-1。
【答案】
√31 -1
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的应用，需构造辅助线转化角度和边长，关键是利用圆的相关定理求出BC的长度，再结合勾股定理计算，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5