【变式3】已知函数$f(x)的定义域为(0,+∞)$,且$f(x)= 2f(\frac {1}{x})\cdot \sqrt {x}-1$,求函数$f(x)$的解析式。

解:因为 $ f(x)=2 f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \sqrt{x}-1 $, ①
所以 $ f\left(\frac{1}{x}\right)=2 f(x) \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}-1 $. ②
将②代入①中, 得 $ f(x)=\left(4 f(x) \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}-2\right) \cdot \sqrt{x}-1 $,
解得 $ f(x)=\frac{2}{3} \sqrt{x}+\frac{1}{3}(x＞0) $.

【典例4】(一题多解)已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的函数,$f(0)= 1$,且对任意的实数$x$,$y都有f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1)$,求函数$f(x)$的解析式。

解题指导 由条件“$f(0)= 1$”,可考虑赋值。令$y= x或x= 0$,即可令题干中的式子出现$f(0)$。
答案 (一题多解)解：方法1：令$y= x$,则$f(x-y)= f(0)= f(x)-x(2x-x+1)= 1$,所以$f(x)= x^{2}+x+1$。
方法2：令$x= 0$,则$f(0-y)= f(0)-y(-y+1)$,即$f(-y)= y^{2}-y+1$。
令$x= -y$,则$f(x)= x^{2}+x+1$。

【变式4】已知函数$f(x)对一切实数x$,$y都有f(x+y)-f(y)= x(x+2y+1)$,且$f(1)= 0$。
(1)求$f(0)$的值；
(2)求$f(x)$的解析式。

解:(1)令 $ x=-1, y=1 $, 得 $ f(0)-f(1)=-1 \times(-1+2+1) $. 由 $ f(1)=0 $, 得 $ f(0)=-2 $.
(2)令 $ y=0 $, 得 $ f(x)-f(0)=x(x+1) $.
由(1), 得 $ f(0)=-2 $, 所以 $ f(x)=x^{2}+x-2 $.

【典例5】如图,某函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求该函数的解析式。

解题指导 根据图象可知,将函数分成三部分去求解析式,即求两个一次函数和一个二次函数的解析式,注意各段区间端点的值要做到不重不漏。
答案 解：设左侧射线对应的函数的解析式为$y= kx+b(x≤1)$。
$\because点(1,1)$,$(0,2)$在此射线上,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} k+b= 1,\\ b= 2,\end{array}\right. 解得\left\{\begin{array}{l} k= -1,\\ b= 2,\end{array}\right. $
$\therefore左侧射线对应的函数的解析式为y= -x+2(x≤1)$。
同理,当$x≥3$时,函数的解析式为$y= x-2(x≥3)$。
设抛物线对应的二次函数的解析式为$y= a(x-2)^{2}+2(1＜x＜3,a＜0)$。
$\because点(1,1)$在抛物线上,$\therefore a+2= 1$,$\therefore a= -1$,
$\therefore抛物线对应的二次函数的解析式为y= -x^{2}+4x-2(1＜x＜3)$。
综上所述,该函数的解析式为
$y= \left\{\begin{array}{l} -x+2,x≤1,\\ -x^{2}+4x-2,1＜x＜3,\\ x-2,x≥3.\end{array}\right. $