【变式5】函数$f(x)$的图象如图所示,则函数$f(x)$的解析式为____。

$ f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2} x-\frac{7}{2},-3 \leqslant x \leqslant-1, \\ \frac{3}{2} x-\frac{1}{2},-1＜x \leqslant 1, \\ 1,1＜x＜2\end{array}\right. $ 当 $ -3 \leqslant x \leqslant-1 $ 时, 设 $ f(x)=a x+b $, 则 $ \left\{\begin{array}{l}f(-3)=1, \\ f(-1)=-2,\end{array}\right. $ 即 $ \left\{\begin{array}{l}-3 a+b=1, \\ -a+b=-2,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}, \\ b=-\frac{7}{2},\end{array}\right. $
此时 $ f(x)=-\frac{3}{2} x-\frac{7}{2} $;
当 $ -1＜x \leqslant 1 $ 时, 设 $ f(x)=m x+n $, 则 $ \left\{\begin{array}{l}f(-1)=-2, \\ f(1)=1,\end{array}\right. $ 即 $ \left\{\begin{array}{l}-m+n=-2, \\ m+n=1,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}, \\ n=-\frac{1}{2},\end{array}\right. $ 此时 $ f(x)=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} $;
当 $ 1＜x＜2 $ 时, $ f(x)=1 $.
综上, $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2} x-\frac{7}{2},-3 \leqslant x \leqslant-1, \\ \frac{3}{2} x-\frac{1}{2},-1＜x \leqslant 1, \\ 1,1＜x＜2.\end{array}\right. $

1. 若函数$f(x)满足f(2x-1)= 6x-5$,则$f(x)$的解析式为()
A. $f(x)= 6x-5$
B. $f(x)= 2x-1$
C. $f(x)= 3x-2$
D. $f(x)= 3x+4$

C $ f(2 x-1)=3(2 x-1)-2 $.
令 $ t=2 x-1 $, 则 $ f(t)=3 t-2 $,
所以 $ f(x) $ 的解析式为 $ f(x)=3 x-2 $.

2. 已知$f(\frac {1}{x})= \frac {1}{x+1}(x≠0$,且$x≠-1)$,则$f(x)$的解析式为()
A. $f(x)= \frac {1}{x+1}$
B. $f(x)= \frac {x+1}{x}$
C. $f(x)= \frac {x}{x+1}$
D. $f(x)= x+1$

C 令 $ t=\frac{1}{x} $, 则 $ x=\frac{1}{t}(t \neq 0) $,
$ \therefore f(t)=\frac{1}{\frac{1}{t}+1}=\frac{t}{t+1} $,
$ \therefore f(x)=\frac{x}{x+1}(x \neq 0 $, 且 $ x \neq-1) $.

3. 已知函数$f(x)$的图象如图所示,其中$y$轴的左侧为一条线段,右侧为某抛

物线的一部分,则函数$f(x)= $____。

$ \left\{\begin{array}{l}x+2,-2 \leqslant x \leqslant 0, \\ x^{2}-4 x+2,0＜x \leqslant 3\end{array}\right. $ 当 $ x \in[-2,0] $ 时, 设 $ f(x)=k x+b(k \neq 0) $. 将 $ (-2,0),(0,2) $ 代入, 得 $ \left\{\begin{array}{l}-2 k+b=0, \\ b=2,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}k=1, \\ b=2,\end{array}\right. \therefore f(x)=x+2 $;
当 $ x \in(0,3] $ 时, 设 $ f(x)=a(x-2)^{2}-2 $. 将 $ (3,-1) $ 代入, 得 $ -1=a(3-2)^{2}-2 $, 解得 $ a=1, \therefore f(x)=(x-2)^{2}-2=x^{2}-4 x+2 $.
综上所述, $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2,-2 \leqslant x \leqslant 0, \\ x^{2}-4 x+2,0＜x \leqslant 3.\end{array}\right. $

4. 已知$f(x)$是一次函数,若$f(f(x))= 4x+9$,则$f(x)$的解析式为____。

$ f(x)=2 x+3 $ 或 $ f(x)=-2 x-9 $ 设 $ f(x)=k x+b(k \neq 0) $, 则 $ f(f(x))=f(k x+b)=k(k x+b)+b=k^{2} x+k b+b=4 x+9 $,
即 $ \left\{\begin{array}{l}k^{2}=4, \\ k b+b=9,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}k=2, \\ b=3\end{array}\right. $ 或 $ \left\{\begin{array}{l}k=-2, \\ b=-9,\end{array}\right. $ 所以 $ f(x) $ 的解析式为 $ f(x)=2 x+3 $ 或 $ f(x)=-2 x-9 $.

5. 已知函数$f(x)满足f(x)+2f(-\frac {1}{x})= \frac {2}{x}(x≠0)$,则$f(x)$的解析式为____。

$ f(x)=-\frac{4}{3} x-\frac{2}{3 x}(x \neq 0) $ 已知 $ f(x)+2 f\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x} $, ①
$ \therefore f\left(-\frac{1}{x}\right)+2 f(x)=-2 x $. ②
由①-②$ \times 2 $, 得 $ -3 f(x)=4 x+\frac{2}{x} $,
$ \therefore f(x) $ 的解析式为 $ f(x)=-\frac{4}{3} x-\frac{2}{3 x}(x \neq 0) $.

6. 定义在$\mathbf{R}上的函数f(x)对任意实数x$,$y满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy$,$f(1)= 2$,则$f(3)= $____。

12 $ \because $ 函数 $ f(x) $ 对任意实数 $ x, y $ 满足 $ f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y $,
$ \therefore $ 令 $ x=y=1 $, 则 $ f(1+1)=f(1)+f(1)+2 $.
又 $ \because f(1)=2, \therefore f(2)=6 $.
令 $ x=2, y=1 $, 则 $ f(2+1)=f(2)+f(1)+2 \times 2 \times 1 $,
$ \therefore f(3)=12 $.

7. 已知二次函数$f(x)满足f(x+1)-f(x)= 2x$,且$f(0)= 1$。
(1)求$f(x)$的解析式：
(2)求$y= f(x)在区间[-1,1]$上的值域。

解:(1)设二次函数 $ f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) $.
$ \because f(0)=1, \therefore c=1, \therefore f(x)=a x^{2}+b x+1 $.
又 $ \because f(x+1)-f(x)=\left[a(x+1)^{2}+b(x+1)+1\right]-\left(a x^{2}+b x+1\right)=2 a x+a+b=2 x $,
$ \therefore 2 a=2, a+b=0 $,
$ \therefore a=1, b=-1, \therefore f(x)=x^{2}-x+1 $.
(2)由(1), 得 $ y=f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} $.
在区间 $ [-1,1] $ 上, 当 $ x=\frac{1}{2} $ 时, 函数 $ y=f(x) $ 取最小值, $ y_{\min }=\frac{3}{4} $, 当 $ x=-1 $ 时, 函数 $ y=f(x) $ 取最大值, $ y_{\max }=3 $,
$ \therefore y=f(x) $ 在区间 $ [-1,1] $ 上的值域是 $ \left[\frac{3}{4}, 3\right] $.

8. 已知$f(x)$是一次函数,且$f(f(x)-2x)= 3$恒成立,则$f(3)= $()
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

D 已知 $ f(x) $ 是一次函数, 且 $ f(f(x))-2 x=3 $ 恒成立, 则 $ f(x)-2 x $ 是一个常数.
设 $ f(x)-2 x=t $, 则 $ f(x)=2 x+t $,
所以 $ f(t)=2 t+t=3 $, 解得 $ t=1 $,
所以 $ f(x)=2 x+1 $, 所以 $ f(3)=2 \times 3+1=7 $.

9. 已知对于任意实数$x$,函数$f(x)都满足f(x)+2f(2-x)= x$,则$f(x)$的解析式为____。

$ f(x)=\frac{4}{3}-x $ $ \because f(x)+2 f(2-x)=x $, ①
$ \therefore f(2-x)+2 f(x)=2-x $. ②
联立①②, 解得 $ f(x)=\frac{4}{3}-x $.

10. 已知函数$f(x)对一切实数x$,$y都满足2f(x+y)-f(x-y)= x^{2}+y^{2}+6xy+x+3y-2$,且$f(0)= -2$。
(1)求$f(2)$的值；
(2)求$f(x)$的解析式；
(3)求$f(x)在[-3,1)$上的值域。
(提示：(1)对$x$,$y$分别取特值,将已知关系式化为含$f(2)和f(0)$的式子；(2)要求$f(x)$的解析式,故令$y= 0即可令关系式中只有f(x)$；(3)判断二次函数$f(x)$图象的开口方向和对称轴,数形结合即可分析出函数$f(x)在[-3,1)$上的值域)

解:(1)令 $ x=1, y=1 $, 得 $ 2 f(2)-f(0)=1+1+6+1+3-2=10 $,
$ \therefore f(2)=4 $.
(2)令 $ y=0 $, 可得 $ 2 f(x)-f(x)=x^{2}+x-2 $,
则 $ f(x)=x^{2}+x-2 $.
(3)$ \because f(x)=x^{2}+x-2 $ 的图象开口向上, 对称轴为 $ x=-\frac{1}{2}, \therefore f(x)_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{4} $.
又 $ f(-3)=4, f(1)=0, \therefore f(x)_{\max }=4, \therefore f(x) $ 在 $ [-3,1) $ 上的值域为 $ \left[-\frac{9}{4}, 4\right] $.