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【典例1】已知$f(x)$为二次函数,且$f(x+1)+f(x-1)= 2x^{2}-4x$,求函数$f(x)$的解析式。
答案
解题指导 设出$f(x)$的解析式,代入$f(x+1)+f(x-1)= 2x^{2}-4x$中,根据等式求出系数即可。
答案 解：设$f(x)= ax^{2}+bx+c(a≠0)$。
$\because f(x+1)+f(x-1)= 2x^{2}-4x$,
$\therefore a(x+1)^{2}+b(x+1)+c+a(x-1)^{2}+b(x-1)+c= 2x^{2}-4x$。
整理,得$2ax^{2}+2bx+2a+2c= 2x^{2}-4x$,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 2a= 2,\\ 2b= -4,\\ 2a+2c= 0,\end{array}\right. 解得\left\{\begin{array}{l} a= 1,\\ b= -2,\\ c= -1,\end{array}\right. $
$\therefore f(x)= x^{2}-2x-1$。
答案 解：设$f(x)= ax^{2}+bx+c(a≠0)$。
$\because f(x+1)+f(x-1)= 2x^{2}-4x$,
$\therefore a(x+1)^{2}+b(x+1)+c+a(x-1)^{2}+b(x-1)+c= 2x^{2}-4x$。
整理,得$2ax^{2}+2bx+2a+2c= 2x^{2}-4x$,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 2a= 2,\\ 2b= -4,\\ 2a+2c= 0,\end{array}\right. 解得\left\{\begin{array}{l} a= 1,\\ b= -2,\\ c= -1,\end{array}\right. $
$\therefore f(x)= x^{2}-2x-1$。
【变式1】已知一次函数$f(x)满足条件f(x+1)+f(x)= 2x$,则函数$f(x)$的解析式为____。
答案
$ f(x)=x-\frac{1}{2} $ 设 $ f(x)=k x+b(k \neq 0) $.
$ \because f(x+1)+f(x)=2 x, \therefore k(x+1)+b+k x+b=2 x $, 即 $ 2 k x+k+2 b=2 x, \therefore\left\{\begin{array}{l}2 k=2, \\ k+2 b=0,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}k=1, \\ b=-\frac{1}{2},\end{array}\right. $
$ \therefore f(x)=x-\frac{1}{2} $.
$ \because f(x+1)+f(x)=2 x, \therefore k(x+1)+b+k x+b=2 x $, 即 $ 2 k x+k+2 b=2 x, \therefore\left\{\begin{array}{l}2 k=2, \\ k+2 b=0,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l}k=1, \\ b=-\frac{1}{2},\end{array}\right. $
$ \therefore f(x)=x-\frac{1}{2} $.
【典例2】(一题多解)已知$f(\sqrt {x}+1)= x+2\sqrt {x}$,求函数$f(x)$的解析式。
答案
解题指导 根据$f(\sqrt {x}+1)求f(x)$。方法1：换元,将括号中的式子看作$t$,进而求得$f(t)$。方法2：配凑,将括号中的式子看作一个整体,将等号右边的式子变形并用这个整体表示出来。
答案 (一题多解)解：方法1(换元法)：令$t= \sqrt {x}+1$,则$x= (t-1)^{2}$,$t≥1$,所以$f(t)= (t-1)^{2}+2(t-1)= t^{2}-1(t≥1)$,所以函数$f(x)的解析式为f(x)= x^{2}-1(x≥1)$。
方法2(配凑法)：因为$f(\sqrt {x}+1)= x+2\sqrt {x}= x+2\sqrt {x}+1-1= (\sqrt {x}+1)^{2}-1$,$\sqrt {x}+1≥1$,所以函数$f(x)的解析式为f(x)= x^{2}-1(x≥1)$。
答案 (一题多解)解：方法1(换元法)：令$t= \sqrt {x}+1$,则$x= (t-1)^{2}$,$t≥1$,所以$f(t)= (t-1)^{2}+2(t-1)= t^{2}-1(t≥1)$,所以函数$f(x)的解析式为f(x)= x^{2}-1(x≥1)$。
方法2(配凑法)：因为$f(\sqrt {x}+1)= x+2\sqrt {x}= x+2\sqrt {x}+1-1= (\sqrt {x}+1)^{2}-1$,$\sqrt {x}+1≥1$,所以函数$f(x)的解析式为f(x)= x^{2}-1(x≥1)$。
【变式2】(1)(一题多解)已知$f(\frac {1+x}{x})= \frac {1+x^{2}}{x^{2}}+\frac {1}{x}$,则$f(x)$的解析式为____；
答案
(1)$ f(x)=x^{2}-x+1(x \neq 1) $ (2)$ \pm 2 $ (1)(一题多解)方法1(换元法):设$ \frac{1+x}{x}=t(t \neq 1) $, 则 $ x=\frac{1}{t-1} $, 所以 $ f(t)=\frac{1+\frac{1}{(t-1)^{2}}}{\frac{1}{(t-1)^{2}}}+\frac{1}{\frac{1}{t-1}}=t^{2}-t+1 $, 所以 $ f(x)=x^{2}-x+1(x \neq 1) $.
方法2(配凑法):因为$ \frac{1+x}{x}=1+\frac{1}{x}, f\left(\frac{1+x}{x}\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x} $, 所以 $ f\left(1+\frac{1}{x}\right)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(1+\frac{1}{x}\right)+1 $, 所以 $ f(x)=x^{2}-x+1(x \neq 1) $.
方法2(配凑法):因为$ \frac{1+x}{x}=1+\frac{1}{x}, f\left(\frac{1+x}{x}\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x} $, 所以 $ f\left(1+\frac{1}{x}\right)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(1+\frac{1}{x}\right)+1 $, 所以 $ f(x)=x^{2}-x+1(x \neq 1) $.
(2)已知函数$f(x-1)= x^{2}-2x$,且$f(a)= 3$,则实数$a$的值为____。
答案
(2)令 $ x-1=t $, 则 $ x=t+1 $,
则 $ f(t)=(t+1)^{2}-2(t+1) $,
所以 $ f(x)=(x+1)^{2}-2(x+1) $.
又因为 $ f(a)=(a+1)^{2}-2(a+1)=3 $,
所以 $ a=\pm 2 $.
则 $ f(t)=(t+1)^{2}-2(t+1) $,
所以 $ f(x)=(x+1)^{2}-2(x+1) $.
又因为 $ f(a)=(a+1)^{2}-2(a+1)=3 $,
所以 $ a=\pm 2 $.
【典例3】(1)已知$f(x)+2f(-x)= x^{2}-x$,求函数$f(x)$的解析式；
答案
(1)$f(x)=\frac{x^{2}}{3}+x$；
(2)已知$2f(x)+f(\frac {1}{x})= x(x≠0)$,求函数$f(x)$的解析式。
答案
(2)$f(x)=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3x}(x\neq0)$
