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1.已知函数$$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 1 , x ＜ 0 , } \\ { x ^ { 2 } - 1 , x \geq 0 , } \end{array} \right.$则$f ( 0 ) + f ( - 1 ) = $$()
A.1
B.0
C.-1
D.-2
A.1
B.0
C.-1
D.-2
答案
D f(0)=0²−1=−1,f(−1)=2×(−1)+1=−1,故f(0)+f(−1)=−1−1=−2.
2.函数$$f ( x ) = | 1 - x |$$的图象大致是()
答案
B 由题意,知f(x)={1−x,x≤1,
x−1,x＞1,则f(x)在(−∞,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且最小值f(1)=0.根据各选项的图象知，选项B符合题意.
x−1,x＞1,则f(x)在(−∞,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且最小值f(1)=0.根据各选项的图象知，选项B符合题意.
3.(多选)如图所示的在$$x \in [ 0 , 2 ]$$时的图象所表示的函数的解析式为()
$A.y = \frac { 3 } { 2 } $| x - 1 |
$B.y = \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } $| x - 1 |
$C.y = \frac { 3 } { 2 } - $| x - 1 |
$A.y = \frac { 3 } { 2 } $| x - 1 |
$B.y = \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } $| x - 1 |
$C.y = \frac { 3 } { 2 } - $| x - 1 |
答案
BD 由题图可知，当0≤x≤1时，该段函数为正比例函数，可设为y=kx,代入(1,$\frac{3}{2}$),得k=$\frac{3}{2}$,所以y=$\frac{3}{2}$x;当1＜x≤2时，该段函数为一次函数，可设为y=mx+n,代入(1,$\frac{3}{2}$),(2,0),得
{m+n=$\frac{3}{2}$,
2m+n=0,解得{m=−$\frac{3}{2}$,
n=3,
所以y=−$\frac{3}{2}$x+3,所以y={$\frac{3}{2}$x,0≤x≤1,
−$\frac{3}{2}$x+3,1＜x≤2.
因为y=$\frac{3}{2}$−$\frac{3}{2}$|x−1|={$\frac{3}{2}$x,0≤x≤1,
−$\frac{3}{2}$x+3,1＜x≤2,所以BD正确.
{m+n=$\frac{3}{2}$,
2m+n=0,解得{m=−$\frac{3}{2}$,
n=3,
所以y=−$\frac{3}{2}$x+3,所以y={$\frac{3}{2}$x,0≤x≤1,
−$\frac{3}{2}$x+3,1＜x≤2.
因为y=$\frac{3}{2}$−$\frac{3}{2}$|x−1|={$\frac{3}{2}$x,0≤x≤1,
−$\frac{3}{2}$x+3,1＜x≤2,所以BD正确.
4.已知$$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } , x \leq 0 , } \\ { 2 x - 2 , x ＞ 0 , } \end{array} \right.$则$f ( - 2 ) = $$____;若$$f ( a ) = 4$$,则$$a = $$____.
答案
4 −2或3 因为f(x)={x²,x≤0,
2x−2,x＞0,所以f(−2)=(−2)²=4.
因为f(a)=4,所以当a≤0时,f(a)=a²=4,解得a=2(舍去)或a=−2;当a＞0时,f(a)=2a−2=4,解得a=3.
综上,a=−2或a=3.
2x−2,x＞0,所以f(−2)=(−2)²=4.
因为f(a)=4,所以当a≤0时,f(a)=a²=4,解得a=2(舍去)或a=−2;当a＞0时,f(a)=2a−2=4,解得a=3.
综上,a=−2或a=3.
5.定义函数$$f ( x ) = [ x ]$的函数值表示不超过$x$$的最大整数.例如,$$[ - 3.5 ] = - 4$$,$$[ 2.1 ] = 2$$.当$$x \in ( - 2.5 , 0 )$$时,函数$$f ( x )$$的解析式为____.
答案
f(x)={−3,−2.5＜x＜−2,
−2,−2≤x＜−1,
−1,−1≤x＜0.当x∈(−2.5,−2)时,f(x)=−3;当x∈[−2,−1)时,f(x)=−2;当x∈[−1,0)时,f(x)=−1.综上,f(x)={−3,−2.5＜x＜−2,
−2,−2≤x＜−1,
−1,−1≤x＜0.
−2,−2≤x＜−1,
−1,−1≤x＜0.当x∈(−2.5,−2)时,f(x)=−3;当x∈[−2,−1)时,f(x)=−2;当x∈[−1,0)时,f(x)=−1.综上,f(x)={−3,−2.5＜x＜−2,
−2,−2≤x＜−1,
−1,−1≤x＜0.
6.(教材改编题)分别作出下列分段函数的图象,并写出其定义域及值域.
(1)$$y = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } , 0 ＜ x ＜ 1 , } \\ { x , x \geq 1 ; } \end{array} \right.$(2)$$y = \left\{ \begin{array} { l } { 3 , x ＜ - 2 , } \\ { - 3 x , - 2 \leq x ＜ 2 , } \\ { - 3 , x \geq 2 . } \end{array} \right.$
(1)$$y = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } , 0 ＜ x ＜ 1 , } \\ { x , x \geq 1 ; } \end{array} \right.$(2)$$y = \left\{ \begin{array} { l } { 3 , x ＜ - 2 , } \\ { - 3 x , - 2 \leq x ＜ 2 , } \\ { - 3 , x \geq 2 . } \end{array} \right.$
答案
解:(1)函数对应的图象如图1所示.由图象知，函数的定义域是(0,+∞),值域是[1,+∞).
(2)函数对应的图象如图2所示.由图象知，函数的定义域是(−∞,+∞),值域是(−6,6].
7.(多选)已知$$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } , x \geq 5 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } f ( x + 1 ) , x ＜ 5 , } \end{array} \right.$$则()
A.2 f ( 4 ) = f ( 5 )
B.2 f ( 5 ) = f ( 6 )
$C.f ( 1 ) = \frac { 15 } { 32 }$
D.当$x \in [ 4 , 5 )$时$,f ( x ) = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } } { 2 }$
A.2 f ( 4 ) = f ( 5 )
B.2 f ( 5 ) = f ( 6 )
$C.f ( 1 ) = \frac { 15 } { 32 }$
D.当$x \in [ 4 , 5 )$时$,f ( x ) = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } } { 2 }$
答案
AD对于A,因为f(x)={x²,x≥5,
$\frac{1}{2}$f(x+1),x＜5,
所以f(4)=$\frac{1}{2}$f(5),即2f(4)=f(5),故该选项正确;
对于B,因为f(5)=25,f(6)=36,2f(5)≠f(6),故该选项错误;
对于C,因为f(1)=$\frac{1}{2}$f(2)=$\frac{1}{4}$f(3)=$\frac{1}{8}$f(4)=$\frac{1}{16}$f(5)=$\frac{25}{16}$≠$\frac{15}{32}$，故该选项错误;
对于D,当x∈[4,5)时,x+1∈[5,6),所以f(x)=$\frac{1}{2}$f(x+1)=$\frac{(x+1)²}{2}$,故该选项正确.
$\frac{1}{2}$f(x+1),x＜5,
所以f(4)=$\frac{1}{2}$f(5),即2f(4)=f(5),故该选项正确;
对于B,因为f(5)=25,f(6)=36,2f(5)≠f(6),故该选项错误;
对于C,因为f(1)=$\frac{1}{2}$f(2)=$\frac{1}{4}$f(3)=$\frac{1}{8}$f(4)=$\frac{1}{16}$f(5)=$\frac{25}{16}$≠$\frac{15}{32}$，故该选项错误;
对于D,当x∈[4,5)时,x+1∈[5,6),所以f(x)=$\frac{1}{2}$f(x+1)=$\frac{(x+1)²}{2}$,故该选项正确.
8.(浙江卷)已知函数f ( x ) =
.$则$
____;若当
时,
,则b - a的最大值是____.
.$则$ ____;若当时,,则b - a的最大值是____.答案
$\frac{37}{28}$ 3+√3 ∵函数f(x)={−x²+2,x≤1,
x+$\frac{1}{x}$−1,x＞1,
∴f($\frac{1}{2}$)=−$\frac{1}{4}$+2=$\frac{7}{4}$,
∴f(f($\frac{1}{2}$))=f($\frac{7}{4}$)=$\frac{7}{4}$+$\frac{4}{7}$−1=$\frac{37}{28}$.
作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b−a的最大值是2+√3−(−1)=3+√3.
