1.母题:(教材 P118 习题 T7 原题呈现)已知$a+b=5$,$ab=3$,求$a^2+b^2$的值.

解:$\because a+b=5,ab=3,\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=19.$

【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的展开形式，已知a+b的和与ab的乘积，不需要分别求出a、b的具体值。观察完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对公式变形即可得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，刚好可以将已知的两个条件整体代入计算，快速得到结果。
【解析】
$\because a+b=5,ab=3$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=25-6=19$。
【答案】
19
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是掌握完全平方公式的变形技巧，运用整体代入思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85

【延伸问】$(a-b)^2$的值为。

13

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两个核心展开式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。观察要求的式子是$(a-b)^2$，我们可以将其变形为与已知条件相关的形式，常见变形为$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，或者$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，只要代入题干给出的对应已知量，用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体值，计算更简便。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
结合本题前置已知条件（常见已知$a+b=5$，$ab=3$），进一步转化为：
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
代入数值计算：
原式$=5^2 - 4×3 = 25 - 12 = 13$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，整式运算
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两类变形，灵活运用整体代入思想，可避免拆分计算的繁琐，有效提升整式运算的效率。
【难度系数】
0.7

【变式题1】已知$(a+b)^2=5$，$ab=-2$，则$(a-b)^2$的值为。

13

【分析】
首先回忆完全平方公式的两种展开形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。观察两个公式的结构可知，二者都包含$a^2+b^2$和$ab$项，因此可以通过变形建立$(a-b)^2$与已知条件$(a+b)^2$、$ab$的关系：将$(a+b)^2$的展开式减去$4ab$，即可得到$(a-b)^2$的展开式，即$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=(a+b)^2-4ab\end{aligned}$
将$(a+b)^2=5$，$ab=-2$代入上式：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=5-4×(-2)\\&=5+8\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征、熟记常见的变形公式是解题的核心，计算时要注意符号运算规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

【变式题2】已知$x^2 + y^2 =25$，$x+y=7$，则$xy$的值为，$x-y$的值为。

12，±1

【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$、$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$；已知$x^2+y^2$和$x+y$的取值，先代入第一个展开式即可求出$xy$的值；再将$x^2+y^2$和求得的$xy$代入第二个展开式，计算后开平方即可得到$x-y$的取值。
【解析】
1. 计算$xy$的值：
根据完全平方公式可得：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2+y^2=25$，$x+y=7$代入上式：
$7^2 = 25 + 2xy$
即$49 = 25 + 2xy$
移项计算得：$2xy = 49 - 25 = 24$，因此$xy = 12$。
2. 计算$x-y$的值：
根据完全平方公式可得：$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
将$x^2+y^2=25$，$xy=12$代入上式：
$(x-y)^2 = 25 - 2×12 = 25 - 24 = 1$
对等式两边开平方得：$x-y = \pm\sqrt{1} = \pm1$。
【答案】
$12$，$\pm1$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
3. 开平方运算
【点评】
本题属于完全平方公式变形应用的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，结合已知条件灵活选择变形公式代入计算，注意计算$x-y$时开平方不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7

【变式题3】(教材P121复习题T8变式)已知$(a+b)^2=5,(a-b)^2=3$,求下列式子的值：
(1)$a^2+b^2$；
(2)$6ab.$

解:(1)$\because (a+b)^2=5,(a-b)^2=3,\therefore a^2+2ab+b^2=5,a^2-2ab+b^2=3. \therefore a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)=8. \therefore a^2+b^2=4.$ (2)$\because a^2+b^2=4,(a+b)^2=5,\therefore a^2+2ab+b^2=4+2ab=5. \therefore ab=\frac{1}{2}. \therefore 6ab=3.$

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式，将已知的两个等式分别展开，观察两个展开式的结构特点：若将两个展开式相加，含ab的项会相互抵消，即可直接求出$a^2+b^2$的值；再将求出的$a^2+b^2$的值代入任意一个展开式，即可求出ab的值，进而计算得到6ab的结果，解题过程中用到整体代入的思想简化计算。
【解析】
解:(1)$\because (a+b)^2=5,(a-b)^2=3$，
$\therefore a^2+2ab+b^2=5$，$a^2-2ab+b^2=3$，
将两个等式相加得：$a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)=8$，
$\therefore a^2+b^2=4$。
(2)$\because a^2+b^2=4,(a+b)^2=5$，
$\therefore a^2+2ab+b^2=4+2ab=5$，
解得$ab=\frac{1}{2}$，
$\therefore 6ab=6×\frac{1}{2}=3$。
【答案】
(1)$4$；(2)$3$
【知识点】
完全平方公式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的典型题型，核心考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握两个完全平方公式相加、相减推导得到的常用变形结论，结合整体代入思想可快速求解，能有效考查对完全平方公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

【变式题4】已知$x+2y=3$，$xy=1$，则$x^2 - xy + 4y^2$的值为。

4

【分析】
观察所求代数式的结构，发现x²和4y²可与已知条件x+2y=3结合，借助完全平方公式变形处理。我们可以将所求代数式凑成含有(x+2y)²和xy的形式，再整体代入已知数值计算，无需单独求解x、y的值，简化运算过程。
【解析】
根据完全平方公式可得：$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，因此对所求代数式变形：
$x^2 - xy + 4y^2$
$=(x^2+4xy+4y^2)-5xy$
$=(x+2y)^2-5xy$
将$x+2y=3$，$xy=1$代入上式：
原式$=3^2 - 5×1=9-5=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题核心是通过凑项将待求式转化为与已知条件匹配的形式，利用整体代入思想简化计算，是整式求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7

2.【问题情景】
数学活动课上，老师出了一道题，阅读下列解题过程.
若 $ x $ 满足 $ xy=4, x-y=5 $，求 $ x^2+y^2 $ 的值.
解：$\because (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，
$\therefore x^2+y^2=(x-y)^2 + 2xy=5^2 + 2×4=33.$
【实践探究】
根据以上解题方法，解答下列问题：
已知 $ x $ 满足 $ (x-3)(x-8)=6 $.
(1) $(x-3)-(x-8)$ 的值为 ______；
(2) 求 $(x-3)^2 + (x-8)^2$ 的值；
(3) 将正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ EFGH $ 按如图所示的方式摆放，点 $ F $ 在边 $ BC $ 上，$ EH $ 与 $ CD $ 交于点 $ I $，且 $ ID=1, CG=2 $，长方形 $ EFCI $ 的面积为15，以 $ CF $ 为边作正方形 $ CFMN $. 设 $ AD=x $.
① $ EF $ 的长为 ______，$ CF $ 的长为 ______；（用含 $ x $ 的式子表示）
② 求图中阴影部分的面积.

2.解:(1)5 (2)$\because (x-3)(x-8)=6,(x-3)-(x-8)=5,\therefore (x-3)^2+(x-8)^2=[(x-3)-(x-8)]^2+2(x-3)(x-8)=5^2+2×6=37.$ (3)①$x-1$ $x-3$ ②$EM=EF-FM=EF-CF=(x-1)-(x-3)=2.$ $\because$ 长方形 $EFCI$ 的面积为 15,$\therefore EF· CF=(x-1)(x-3)=15. \therefore S_{阴影}=S_{长方形EMNI}+S_{长方形CGHI}=2(x-3)+2(x-1)=2[(x-3)+(x-1)]. \because [(x-3)+(x-1)]^2=[(x-3)-(x-1)]^2+4(x-3)(x-1)=(-2)^2+4×15=64,\therefore (x-3)+(x-1)=8(负值已舍去). \therefore S_{阴影}=2[(x-3)+(x-1)]=2×8=16.$

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时采用整体思想，无需单独求解x的值即可快速计算结果：
1. 第(1)问直接对$(x-3)-(x-8)$去括号合并同类项即可得到结果；
2. 第(2)问参照题干给出的例题思路，将$(x-3)$和$(x-8)$分别看作完全平方公式中的两个整体，结合第(1)问的差，以及已知的两式乘积，代入变形公式$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$计算即可；
3. 第(3)问①根据正方形边长相等、长方形对边相等的性质，结合已知的ID和CG的长度，用含x的式子表示对应线段长度；②先得到$EF· CF$的乘积以及$EF-CF$的差值，再利用完全平方公式的变形$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$求出$EF+CF$的值，最后代入阴影部分的面积表达式计算即可。
【解析】
(1) 计算$(x-3)-(x-8)$，去括号得：$x-3-x+8=5$。
(2) 已知$(x-3)(x-8)=6$，由(1)得$(x-3)-(x-8)=5$，根据完全平方公式变形可得：
$(x-3)^2+(x-8)^2=[(x-3)-(x-8)]^2+2(x-3)(x-8)$
代入数值计算：$=5^2+2×6=25+12=37$。
(3) ①
∵ 正方形ABCD的边长$AD=x$，
∴ $CD=AD=x$，又$ID=1$，
∴ $CI=CD-ID=x-1$，
∵ 四边形EFCI是长方形，四边形EFGH是正方形，
∴ $EF=CI=x-1$，正方形EFGH的边长$FG=EF=x-1$，
又$CG=2$，
∴ $CF=FG-CG=x-1-2=x-3$。
② 由题意可知长方形EFCI的面积为15，即$EF· CF=(x-1)(x-3)=15$，
$EF-CF=(x-1)-(x-3)=2$，
阴影部分的面积可表示为：$S_{阴影}=2× CF + 2× EF=2×(EF+CF)$，
先求$EF+CF$的值：根据完全平方公式变形$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
代入$a=EF$，$b=CF$得：$(EF+CF)^2=(EF-CF)^2+4EF· CF=2^2+4×15=4+60=64$，
∵ 线段长度为正数，
∴ $EF+CF=\sqrt{64}=8$，
则$S_{阴影}=2×8=16$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) $\boxed{37}$
(3) ①$\boxed{x-1}$，$\boxed{x-3}$；②$\boxed{16}$
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入求值，列代数式
【点评】
本题重点考查整体思想在代数运算中的应用，熟练掌握完全平方公式的各类变形，无需单独求解未知数即可快速算出结果，是化简求值类题型常用的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65