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10.(9分)(常州中考)先化简,再求值:$(x+1)^2 - x(x+1)$,其中$x=\sqrt{3}-1$.
答案
10. 解:原式=$x^2 +2x +1 -x^2 -x =x +1$. 当$x=\sqrt{3}-1$时,原式=$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先根据完全平方公式展开$(x+1)^2$，再根据单项式乘多项式的法则计算$x(x+1)$，随后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将$x$的取值代入化简后的式子计算最终结果，先化简再代入可以避免直接代入计算高次项的繁琐，减少计算错误。
【解析】
解：先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2+2x+1-(x^2+x)\\&=x^2+2x+1-x^2-x\\&=x+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式运算的相关法则，熟练掌握完全平方公式、整式加减的运算规则是解题的核心，先化简后代入的运算思路能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.85
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先根据完全平方公式展开$(x+1)^2$，再根据单项式乘多项式的法则计算$x(x+1)$，随后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将$x$的取值代入化简后的式子计算最终结果，先化简再代入可以避免直接代入计算高次项的繁琐，减少计算错误。
【解析】
解：先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2+2x+1-(x^2+x)\\&=x^2+2x+1-x^2-x\\&=x+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式运算的相关法则，熟练掌握完全平方公式、整式加减的运算规则是解题的核心，先化简后代入的运算思路能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.85
11.(12分)张老师在黑板上布置了一道题：
化简：$2(x+1)^2 - (4x -5)$，当$x=\frac{1}{2}$和$x=-\frac{1}{2}$时，分别求出该式的值。
小亮和小红展开了如图所示的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由。
化简：$2(x+1)^2 - (4x -5)$，当$x=\frac{1}{2}$和$x=-\frac{1}{2}$时，分别求出该式的值。
小亮和小红展开了如图所示的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由。
答案
11. 解:小亮说得对. 理由如下:原式=$2x^2 +4x +2 -4x +5=2x^2 +7$. 当$x=\frac{1}{2}$时,原式=$2×(\frac{1}{2})^2 +7=\frac{15}{2}$;当$x=-\frac{1}{2}$时,原式=$2×(-\frac{1}{2})^2 +7=\frac{15}{2}$. $\therefore$小亮说得对.
解析
【分析】
要判断小亮和小红谁说得对，需先化简原式，再分别代入两个x的值计算结果对比。解题思路如下：首先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，接着去括号、合并同类项得到最简整式，再将$x=\frac{1}{2}$和$x=-\frac{1}{2}$分别代入最简式求值，最后对比两个结果即可判断两人说法的正误。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2 - (4x -5)&=2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5\\&=2x^2 + 4x + 2 - 4x + 5\\&=2x^2 + 7\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}$时，代入最简式得：
原式$=2×(\frac{1}{2})^2 +7=2×\frac{1}{4}+7=\frac{1}{2}+7=\frac{15}{2}$
当$x=-\frac{1}{2}$时，代入最简式得：
原式$=2×(-\frac{1}{2})^2 +7=2×\frac{1}{4}+7=\frac{1}{2}+7=\frac{15}{2}$
两个不同的x值代入后计算结果相等，因此小亮的说法正确。
【答案】
小亮说得对。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，解题关键是正确运用完全平方公式展开、合并同类项得到最简结果，再代入数值计算，通过本题可进一步理解互为相反数的偶次幂相等的性质。
【难度系数】
0.8
要判断小亮和小红谁说得对，需先化简原式，再分别代入两个x的值计算结果对比。解题思路如下：首先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，接着去括号、合并同类项得到最简整式，再将$x=\frac{1}{2}$和$x=-\frac{1}{2}$分别代入最简式求值，最后对比两个结果即可判断两人说法的正误。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2 - (4x -5)&=2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5\\&=2x^2 + 4x + 2 - 4x + 5\\&=2x^2 + 7\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}$时，代入最简式得：
原式$=2×(\frac{1}{2})^2 +7=2×\frac{1}{4}+7=\frac{1}{2}+7=\frac{15}{2}$
当$x=-\frac{1}{2}$时，代入最简式得：
原式$=2×(-\frac{1}{2})^2 +7=2×\frac{1}{4}+7=\frac{1}{2}+7=\frac{15}{2}$
两个不同的x值代入后计算结果相等，因此小亮的说法正确。
【答案】
小亮说得对。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，解题关键是正确运用完全平方公式展开、合并同类项得到最简结果，再代入数值计算，通过本题可进一步理解互为相反数的偶次幂相等的性质。
【难度系数】
0.8
12.(14分)现有长为a、宽为b的长方形卡片(图①)若干张,某同学用4张这样的卡片拼出了一个大正方形(不重叠、无缝隙,如图②).
(1)图②中,大正方形的边长是
(2)用两种方法表示图②中阴影正方形的面积(不化简),并用一个等式表示$(a+b)^2$,$(a-b)^2$,$ab$三者之间的数量关系;
(3)已知$a+b=8$,$ab=7$,求图②中阴影正方形的边长.
(1)图②中,大正方形的边长是
a+b
,阴影正方形的边长是a-b
;(用含a,b的式子表示)(2)用两种方法表示图②中阴影正方形的面积(不化简),并用一个等式表示$(a+b)^2$,$(a-b)^2$,$ab$三者之间的数量关系;
(3)已知$a+b=8$,$ab=7$,求图②中阴影正方形的边长.
答案
12. 解:(1)$a+b$ $a-b$ (2)方法一:$S_{阴影}=(a+b)^2 -4ab$;方法二:$S_{阴影}=(a-b)^2$. $\therefore (a+b)^2 -4ab=(a-b)^2$. (3)由(2),得$(a+b)^2 -4ab=(a-b)^2$. $\because a+b=8$,$ab=7$,$\therefore 8^2 -4×7=(a-b)^2$. $\therefore (a-b)^2=36$. $\because a-b＞0$,$\therefore a-b=6$. $\therefore$阴影正方形的边长为6.
解析
【分析】
(1) 观察图②的大正方形，其边长由长方形的长a和宽b拼接而成，可直接得到大正方形边长；阴影正方形的边长可通过大正方形边长减去2个长方形的宽推导得出。
(2) 求阴影面积可采用两种思路：第一种是“整体减空白”，用大正方形面积减去4个小长方形的总面积；第二种是“直接计算”，用阴影正方形的边长直接求面积，两个表示同一块面积的式子相等，即可得到三个代数式的数量关系。
(3) 将已知的$a+b$和$ab$的值代入第(2)问得到的等式，求出$(a-b)^2$的值，结合正方形边长为正数，开方即可得到阴影正方形的边长。
【解析】
(1) 大正方形的边长为长方形的长与宽之和，即$a+b$；阴影正方形的边长为$a+b-2b=a-b$。
(2) 方法一：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的面积，因此$\boldsymbol{S_{阴影}=(a+b)^2 -4ab}$；
方法二：阴影部分是边长为$a-b$的正方形，因此$\boldsymbol{S_{阴影}=(a-b)^2}$。
两个式子均表示阴影正方形的面积，因此可得等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 -4ab=(a-b)^2}$。
(3) 把$a+b=8$，$ab=7$代入$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，得：
$(a-b)^2=8^2 -4×7=64-28=36$
∵正方形边长为正数，即$a-b＞0$，
∴$a-b=\sqrt{36}=6$，即阴影正方形的边长为6。
【答案】
(1) $a+b$；$a-b$
(2) $S_{阴影}=(a+b)^2 -4ab$，$S_{阴影}=(a-b)^2$；$(a+b)^2 -4ab=(a-b)^2$
(3) 6
【知识点】
完全平方公式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过几何拼图的形式考查完全平方公式的推导与应用，利用图形面积的不同表示方法建立代数恒等式，体现了数形结合的思想，掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 观察图②的大正方形，其边长由长方形的长a和宽b拼接而成，可直接得到大正方形边长；阴影正方形的边长可通过大正方形边长减去2个长方形的宽推导得出。
(2) 求阴影面积可采用两种思路：第一种是“整体减空白”，用大正方形面积减去4个小长方形的总面积；第二种是“直接计算”，用阴影正方形的边长直接求面积，两个表示同一块面积的式子相等，即可得到三个代数式的数量关系。
(3) 将已知的$a+b$和$ab$的值代入第(2)问得到的等式，求出$(a-b)^2$的值，结合正方形边长为正数，开方即可得到阴影正方形的边长。
【解析】
(1) 大正方形的边长为长方形的长与宽之和，即$a+b$；阴影正方形的边长为$a+b-2b=a-b$。
(2) 方法一：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的面积，因此$\boldsymbol{S_{阴影}=(a+b)^2 -4ab}$；
方法二：阴影部分是边长为$a-b$的正方形，因此$\boldsymbol{S_{阴影}=(a-b)^2}$。
两个式子均表示阴影正方形的面积，因此可得等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 -4ab=(a-b)^2}$。
(3) 把$a+b=8$，$ab=7$代入$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，得：
$(a-b)^2=8^2 -4×7=64-28=36$
∵正方形边长为正数，即$a-b＞0$，
∴$a-b=\sqrt{36}=6$，即阴影正方形的边长为6。
【答案】
(1) $a+b$；$a-b$
(2) $S_{阴影}=(a+b)^2 -4ab$，$S_{阴影}=(a-b)^2$；$(a+b)^2 -4ab=(a-b)^2$
(3) 6
【知识点】
完全平方公式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过几何拼图的形式考查完全平方公式的推导与应用，利用图形面积的不同表示方法建立代数恒等式，体现了数形结合的思想，掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键。
【难度系数】
0.75
13.(5分)数学文化情境(教材P118“阅读与思考”应用)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年.观察下列各式及其展开式，请猜想$(2x - 1)^6$展开式中含$x^5$项的系数是
-192
.答案
13. -192
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步，根据杨辉三角“每行首尾为1，中间每个数等于其上方左右两个数之和”的规律，推导得到$(a+b)^6$展开式的各项系数；第二步，将$(2x-1)^6$变形为$(a+b)^6$中$a=2x$、$b=-1$的形式，确定含$x^5$的项对应$a$的次数为5、$b$的次数为1的项；第三步，代入计算该项的系数即可。
【解析】
根据杨辉三角的规律推导：
已知$(a+b)^4$的系数为1,4,6,4,1，可得：
$(a+b)^5$的系数为1,5,10,10,5,1；
$(a+b)^6$的系数为1,6,15,20,15,6,1，即：
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
将$a=2x$，$b=-1$代入，要得到含$x^5$的项，对应$a^5b$的项，代入得：
$6×(2x)^5×(-1)=6×32x^5×(-1)=-192x^5$
因此含$x^5$项的系数为-192。
【答案】
-192
【知识点】
杨辉三角规律、整式乘方运算、代数式代换
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，考查规律探究能力和整式运算能力，需要准确总结系数规律，同时注意代换时的符号和乘方运算的准确性，是一道结合数学文化的基础探究题。
【难度系数】
0.6
解题可分三步进行：第一步，根据杨辉三角“每行首尾为1，中间每个数等于其上方左右两个数之和”的规律，推导得到$(a+b)^6$展开式的各项系数；第二步，将$(2x-1)^6$变形为$(a+b)^6$中$a=2x$、$b=-1$的形式，确定含$x^5$的项对应$a$的次数为5、$b$的次数为1的项；第三步，代入计算该项的系数即可。
【解析】
根据杨辉三角的规律推导：
已知$(a+b)^4$的系数为1,4,6,4,1，可得：
$(a+b)^5$的系数为1,5,10,10,5,1；
$(a+b)^6$的系数为1,6,15,20,15,6,1，即：
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
将$a=2x$，$b=-1$代入，要得到含$x^5$的项，对应$a^5b$的项，代入得：
$6×(2x)^5×(-1)=6×32x^5×(-1)=-192x^5$
因此含$x^5$项的系数为-192。
【答案】
-192
【知识点】
杨辉三角规律、整式乘方运算、代数式代换
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，考查规律探究能力和整式运算能力，需要准确总结系数规律，同时注意代换时的符号和乘方运算的准确性，是一道结合数学文化的基础探究题。
【难度系数】
0.6
