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3. 码头工人以每天30吨的搬运速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位:吨／天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天的时间内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位:吨／天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天的时间内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
答案
(1) 货物总质量为30×8=240吨，所以v与t的函数关系为$v=\dfrac{240}{t}(t＞0)$；(2) 当t≤5时，$v\ge\dfrac{240}{5}=48$，即平均每天至少要卸48吨货物。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先根据装载速度和装载时间计算出货物总质量，由于卸货过程中货物总质量保持不变，存在等量关系：卸货速度×卸货时间=货物总质量，对等量关系变形即可得到v与t的函数表达式，同时注意卸货时间t为正数，要标注自变量的取值范围。解决第(2)问时，已知卸货时间不超过5天即t≤5，结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在第一象限内v随t的增大而减小，因此当t取最大值5时，v取得最小值，代入计算即可得到每天至少要卸载的货物量。
【解析】
(1) 先计算轮船上的货物总质量：
由装载速度为每天30吨，装载用时8天，可得总质量为 $30 × 8 = 240$ 吨。
卸货时货物总质量不变，因此有 $vt = 240$，变形可得v与t的函数关系为：
$v = \dfrac{240}{t} \quad (t ＞ 0)$
(2) 已知卸货时间不超过5天，即 $t ≤ 5$。
在函数 $v = \dfrac{240}{t} (t＞0)$ 中，$k=240＞0$，因此当 $t＞0$ 时，v随t的增大而减小，故当t取最大值5时，v取得最小值：
$v_{\mathrm{最小}} = \dfrac{240}{5} = 48$（吨/天）
即平均每天至少要卸48吨货物。
【答案】
(1) $v=\dfrac{240}{t}(t＞0)$；(2) 48吨
【知识点】
反比例函数的实际应用；反比例函数的增减性；函数自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住“货物总质量不变”这一不变量建立函数模型，再结合函数性质求解最值，有利于提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先根据装载速度和装载时间计算出货物总质量，由于卸货过程中货物总质量保持不变，存在等量关系：卸货速度×卸货时间=货物总质量，对等量关系变形即可得到v与t的函数表达式，同时注意卸货时间t为正数，要标注自变量的取值范围。解决第(2)问时，已知卸货时间不超过5天即t≤5，结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在第一象限内v随t的增大而减小，因此当t取最大值5时，v取得最小值，代入计算即可得到每天至少要卸载的货物量。
【解析】
(1) 先计算轮船上的货物总质量：
由装载速度为每天30吨，装载用时8天，可得总质量为 $30 × 8 = 240$ 吨。
卸货时货物总质量不变，因此有 $vt = 240$，变形可得v与t的函数关系为：
$v = \dfrac{240}{t} \quad (t ＞ 0)$
(2) 已知卸货时间不超过5天，即 $t ≤ 5$。
在函数 $v = \dfrac{240}{t} (t＞0)$ 中，$k=240＞0$，因此当 $t＞0$ 时，v随t的增大而减小，故当t取最大值5时，v取得最小值：
$v_{\mathrm{最小}} = \dfrac{240}{5} = 48$（吨/天）
即平均每天至少要卸48吨货物。
【答案】
(1) $v=\dfrac{240}{t}(t＞0)$；(2) 48吨
【知识点】
反比例函数的实际应用；反比例函数的增减性；函数自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住“货物总质量不变”这一不变量建立函数模型，再结合函数性质求解最值，有利于提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
1. 某学校要种植一块面积为$200\ \mathrm{m}^2$的长方形草坪，要求两边长均不小于10 m，则草坪的一边长$y$(单位:m)随另一边长$x$(单位:m)的变化而变化的图象可能是(
C
)答案
1. C
解析
【分析】
首先根据长方形面积公式推导出y与x的函数关系式，可知二者为反比例函数关系；再结合题目中“两边长均不小于10 m”的限制条件，求出自变量x的取值范围；最后根据函数所在象限、自变量的取值范围匹配对应图像即可。
第一步：由长方形面积公式可得$x· y=200$，变形得$y=\frac{200}{x}$，属于反比例函数，且边长为正，因此图像仅在第一象限，可直接排除含第三象限分支的选项。
第二步：根据边长限制列不等式，求解得到x的取值范围，对应选出区间正确的图像。
【解析】
解：
∵长方形草坪的面积为$200\ \mathrm{m}^2$，
∴根据长方形面积公式得：$x· y=200$，即$y=\frac{200}{x}$，y是x的反比例函数，且x、y均为正数，因此函数图像仅位于第一象限，故A选项错误。
又
∵两边长均不小于10 m，
∴$\begin{cases}x≥10 \\ y=\frac{200}{x}≥10 \end{cases}$，
解不等式$\frac{200}{x}≥10$（x＞0，不等号方向不变），得$x≤20$，
因此自变量x的取值范围为$10≤ x≤20$，
即函数图像是反比例函数$y=\frac{200}{x}$在第一象限内、x介于10到20之间的一段曲线，对比选项可知C符合要求，B（无x范围限制）、D（x上限为100）均错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的典型题，解题的关键是不要忽略实际问题中自变量的取值限制，避免直接选择完整的反比例函数图像导致出错。
【难度系数】
0.7
首先根据长方形面积公式推导出y与x的函数关系式，可知二者为反比例函数关系；再结合题目中“两边长均不小于10 m”的限制条件，求出自变量x的取值范围；最后根据函数所在象限、自变量的取值范围匹配对应图像即可。
第一步：由长方形面积公式可得$x· y=200$，变形得$y=\frac{200}{x}$，属于反比例函数，且边长为正，因此图像仅在第一象限，可直接排除含第三象限分支的选项。
第二步：根据边长限制列不等式，求解得到x的取值范围，对应选出区间正确的图像。
【解析】
解：
∵长方形草坪的面积为$200\ \mathrm{m}^2$，
∴根据长方形面积公式得：$x· y=200$，即$y=\frac{200}{x}$，y是x的反比例函数，且x、y均为正数，因此函数图像仅位于第一象限，故A选项错误。
又
∵两边长均不小于10 m，
∴$\begin{cases}x≥10 \\ y=\frac{200}{x}≥10 \end{cases}$，
解不等式$\frac{200}{x}≥10$（x＞0，不等号方向不变），得$x≤20$，
因此自变量x的取值范围为$10≤ x≤20$，
即函数图像是反比例函数$y=\frac{200}{x}$在第一象限内、x介于10到20之间的一段曲线，对比选项可知C符合要求，B（无x范围限制）、D（x上限为100）均错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的典型题，解题的关键是不要忽略实际问题中自变量的取值限制，避免直接选择完整的反比例函数图像导致出错。
【难度系数】
0.7
2. 把一个长、宽、高分别为3 cm,2 cm,1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱形铜块,则该圆柱形铜块的底面积$ S $(单位:$ \mathrm{cm}^2 $)与高$ h $(单位:$ \mathrm{cm} $)之间的函数解析式为
$S = \frac{6}{h}$
.答案
2. $S = \frac{6}{h}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住铸造前后铜块体积不变的规律。首先先计算长方体铜块的体积，再结合圆柱体积公式建立底面积S和高h的等量关系，最后将等量关系变形为用h表示S的函数形式即可，注意圆柱形的高h为正数。
【解析】
首先计算长方体铜块的体积：
$V_{长方体}=长×宽×高=3×2×1=6\ \mathrm{cm}^3$
因为铜块铸造前后体积不变，因此圆柱形铜块的体积$V_{圆柱}=V_{长方体}=6\ \mathrm{cm}^3$。
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S· h$，可得：
$S· h=6$
两边同时除以$h$（$h＞0$），整理得$S=\frac{6}{h}$。
【答案】
$S = \frac{6}{h}$
【知识点】
等积变形，反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是明确物体形状改变时体积保持不变，结合对应体积公式即可推导得到函数关系式。
【难度系数】
0.85
解题的核心是抓住铸造前后铜块体积不变的规律。首先先计算长方体铜块的体积，再结合圆柱体积公式建立底面积S和高h的等量关系，最后将等量关系变形为用h表示S的函数形式即可，注意圆柱形的高h为正数。
【解析】
首先计算长方体铜块的体积：
$V_{长方体}=长×宽×高=3×2×1=6\ \mathrm{cm}^3$
因为铜块铸造前后体积不变，因此圆柱形铜块的体积$V_{圆柱}=V_{长方体}=6\ \mathrm{cm}^3$。
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S· h$，可得：
$S· h=6$
两边同时除以$h$（$h＞0$），整理得$S=\frac{6}{h}$。
【答案】
$S = \frac{6}{h}$
【知识点】
等积变形，反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是明确物体形状改变时体积保持不变，结合对应体积公式即可推导得到函数关系式。
【难度系数】
0.85
3. 如图是一蓄水池每小时的排水量v(单位:m³/h)与排完水池中的水所用时间t(单位:h)之间的函数关系图象.若要5小时排完水池中的水,则每小时的排水量应为
9.6
m³.答案
3. 9.6
解析
【分析】
观察图像可知蓄水池每小时排水量V和排水时间t成反比例函数关系，二者的乘积为蓄水池的总蓄水量，是固定值。解题时先利用待定系数法，结合图像给出的已知点(12,4)求出反比例函数的解析式，再将t=5代入解析式，即可求出5小时排完水对应的每小时排水量。
【解析】
由题意可知排水量V与排水时间t成反比例函数关系，设函数解析式为$V=\frac{k}{t}$（$k≠0,t＞0$）。
将$t=12$，$V=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{12}$，解得$k=4×12=48$，
因此函数解析式为$V=\frac{48}{t}$。
当$t=5$时，$V=\frac{48}{5}=9.6$（$m^3$）。
【答案】
9.6
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合排水的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住“总蓄水量=每小时排水量×排水时间”这一不变量建立函数关系，再代入数值求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
观察图像可知蓄水池每小时排水量V和排水时间t成反比例函数关系，二者的乘积为蓄水池的总蓄水量，是固定值。解题时先利用待定系数法，结合图像给出的已知点(12,4)求出反比例函数的解析式，再将t=5代入解析式，即可求出5小时排完水对应的每小时排水量。
【解析】
由题意可知排水量V与排水时间t成反比例函数关系，设函数解析式为$V=\frac{k}{t}$（$k≠0,t＞0$）。
将$t=12$，$V=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{12}$，解得$k=4×12=48$，
因此函数解析式为$V=\frac{48}{t}$。
当$t=5$时，$V=\frac{48}{5}=9.6$（$m^3$）。
【答案】
9.6
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合排水的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住“总蓄水量=每小时排水量×排水时间”这一不变量建立函数关系，再代入数值求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
4. 为了做好校园流感防控工作,学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,完成1间教室的药物喷洒要5 min,药物喷洒时教室内空气中的药物浓度$y$(单位:mg/m³)与时间$x$(单位:min)的函数解析式为$y = 2x(0 ＜ x ≤ 5)$,其图象为图中线段$OA$,药物喷洒完成后$y$与$x$成反比例函数关系,两个函数图象的交点为$A(m,n)$.
(1) 点$A$的坐标为
(2) 当教室空气中的药物浓度不高于1.2 mg/m³时,对人体健康无危害.如果后勤人员依次对一班至十班教室(共10间)进行药物喷洒消毒,当最后一间教室药物喷洒完成后,一班是否能让人进入教室?请通过计算说明.
(1) 点$A$的坐标为
(5,10)
;(2) 当教室空气中的药物浓度不高于1.2 mg/m³时,对人体健康无危害.如果后勤人员依次对一班至十班教室(共10间)进行药物喷洒消毒,当最后一间教室药物喷洒完成后,一班是否能让人进入教室?请通过计算说明.
答案
4. (1) (5,10) ; (2) 能安全进入,计算略.
解析
【分析】
第(1)问：已知完成1间教室喷洒的时长为5min，喷洒阶段的函数为y=2x（0＜x≤5），交点A是喷洒结束的对应点，因此A的横坐标m就是喷洒1间的时长5min，再将x=5代入一次函数解析式即可求出纵坐标n，得到A的坐标。
第(2)问：首先用待定系数法，将A点坐标代入反比例函数的一般形式，求出喷洒结束后的反比例函数解析式；再计算10间教室全部喷洒完成的总时间，将该时间作为自变量x的值代入反比例函数，求出对应的药物浓度y，和1.2mg/m³比较大小，若y≤1.2则可以进入，反之则不能。
【解析】
(1)
∵ 完成1间教室药物喷洒需要5min，喷洒阶段的函数解析式为$y=2x$（$0＜x≤5$），
∴ 点A的横坐标$m=5$，
将$x=5$代入$y=2x$，得$n=2×5=10$，
∴ 点A的坐标为$(5,10)$。
(2) 能让人进入，计算过程如下：
设药物喷洒完成后，y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞5$），
将$A(5,10)$代入解析式，得$10=\frac{k}{5}$，解得$k=5×10=50$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{50}{x}$（$x＞5$）。
10间教室全部喷洒完成所需时间：$10×5=50$（min），
将$x=50$代入$y=\frac{50}{x}$，得$y=\frac{50}{50}=1$（mg/m³），
∵ $1＜1.2$，即此时一班教室的药物浓度低于安全阈值，
∴ 最后一间教室喷洒完成后，一班能让人进入教室。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5,10)}$；(2) 能让人进入教室
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合校园防疫的实际场景，考查函数的实际应用能力，解题核心是先确定分段函数的交点坐标，再求出对应段的函数解析式，结合实际问题的时间条件代入计算即可，贴近生活，注重对基础知识运用的考查。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知完成1间教室喷洒的时长为5min，喷洒阶段的函数为y=2x（0＜x≤5），交点A是喷洒结束的对应点，因此A的横坐标m就是喷洒1间的时长5min，再将x=5代入一次函数解析式即可求出纵坐标n，得到A的坐标。
第(2)问：首先用待定系数法，将A点坐标代入反比例函数的一般形式，求出喷洒结束后的反比例函数解析式；再计算10间教室全部喷洒完成的总时间，将该时间作为自变量x的值代入反比例函数，求出对应的药物浓度y，和1.2mg/m³比较大小，若y≤1.2则可以进入，反之则不能。
【解析】
(1)
∵ 完成1间教室药物喷洒需要5min，喷洒阶段的函数解析式为$y=2x$（$0＜x≤5$），
∴ 点A的横坐标$m=5$，
将$x=5$代入$y=2x$，得$n=2×5=10$，
∴ 点A的坐标为$(5,10)$。
(2) 能让人进入，计算过程如下：
设药物喷洒完成后，y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞5$），
将$A(5,10)$代入解析式，得$10=\frac{k}{5}$，解得$k=5×10=50$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{50}{x}$（$x＞5$）。
10间教室全部喷洒完成所需时间：$10×5=50$（min），
将$x=50$代入$y=\frac{50}{x}$，得$y=\frac{50}{50}=1$（mg/m³），
∵ $1＜1.2$，即此时一班教室的药物浓度低于安全阈值，
∴ 最后一间教室喷洒完成后，一班能让人进入教室。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5,10)}$；(2) 能让人进入教室
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合校园防疫的实际场景，考查函数的实际应用能力，解题核心是先确定分段函数的交点坐标，再求出对应段的函数解析式，结合实际问题的时间条件代入计算即可，贴近生活，注重对基础知识运用的考查。
【难度系数】
0.7
