5. 某动物园根据杠杆原理 $ G_1 · L_1 = G_2 · L_2 $ 上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重力可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中 $ L_1 = 6 \, \mathrm{m}, L_2 = 0.2 \, \mathrm{m} $，已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数 $ G_1 = 1200 \, \mathrm{N} $，装有大象的铁笼及其挂钩的总重力为 $ G_2 $。
（1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重力 $ G_2 $。
（2）若装有大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重力不变，可以左右移动弹簧秤，那么 $ G_1 $ 是关于 $ L_1 $ 的什么函数？直接写出函数解析式。
（3）当 $ L_1 = 8 \, \mathrm{m} $ 时，求弹簧秤显示的读数 $ G_1 $；当弹簧秤显示的读数 $ G_1 = 1800 \, \mathrm{N} $ 时，求 $ L_1 $ 的长。

5. (1) 36 000 N ; (2) $G_1$ 中关于 $l_1$ 的反比例函数, $G_1 = \frac{7200}{l_1}(l_1 ＞ 0)$ ; (3) 4 m.

【分析】本题结合杠杆平衡原理考查反比例函数相关知识，解题思路如下：1. 第一问直接将已知的$G_1$、$L_1$、$L_2$代入杠杆平衡公式，变形后即可求出$G_2$；2. 第二问先算出$G_2$与$L_2$的定值乘积，根据反比例函数的定义（两个变量的乘积为非零定值时，二者成反比例函数关系）判断函数类型，再整理得到函数解析式；3. 第三问分别将已知的$L_1$和$G_1$代入第二问得到的解析式，计算即可得到对应结果。
【解析】
（1）根据杠杆平衡公式$G_1 · L_1 = G_2 · L_2$，代入$G_1=1200\,\mathrm{N}$，$L_1=6\,\mathrm{m}$，$L_2=0.2\,\mathrm{m}$得：
$1200\,\mathrm{N} × 6\,\mathrm{m} = G_2 × 0.2\,\mathrm{m}$
解得：$G_2 = \frac{1200 × 6}{0.2} = 36000\,\mathrm{N}$。
（2）已知$G_2$和$L_2$为定值，计算得$G_2 · L_2 = 36000\,\mathrm{N} × 0.2\,\mathrm{m} = 7200\,\mathrm{N·m}$（定值），将杠杆公式变形得$G_1 = \frac{G_2 L_2}{L_1} = \frac{7200}{L_1}$，其中$L_1＞0$，符合反比例函数的形式，因此$G_1$是关于$L_1$的反比例函数，解析式为$G_1 = \frac{7200}{L_1}(L_1＞0)$。
（3）①当$L_1=8\,\mathrm{m}$时，代入解析式得：
$G_1 = \frac{7200}{8} = 900\,\mathrm{N}$；
②当$G_1=1800\,\mathrm{N}$时，代入解析式得：
$1800 = \frac{7200}{L_1}$
解得$L_1 = \frac{7200}{1800} = 4\,\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{36000\,\mathrm{N}}$；
(2) 反比例函数，$\boldsymbol{G_1=\frac{7200}{L_1}(L_1＞0)}$；
(3) 当$L_1=8\,\mathrm{m}$时弹簧秤读数为$\boldsymbol{900\,\mathrm{N}}$，当$G_1=1800\,\mathrm{N}$时$L_1$长为$\boldsymbol{4\,\mathrm{m}}$。
【知识点】
反比例函数的应用、杠杆平衡原理、代数式求值
【点评】
本题属于跨学科综合题，将物理杠杆知识和数学反比例函数知识结合，考查了公式变形、反比例函数概念识别以及代入求值的能力，贴近生活实际，解题时只要找准定量、细心计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8