登录
2. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1) 动力F(单位:N)与动力臂l(单位:m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2) 若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
(1) 动力F(单位:N)与动力臂l(单位:m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2) 若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
答案
(1) 根据杠杆平衡原理，得$F· l = 1200×0.5=600$，所以$F=\dfrac{600}{l}(l＞0)$；当l=1.5 m时，$F=\dfrac{600}{1.5}=400$ N，即撬动石头至少需要400 N的力。(2) 当F不超过400 N的一半即200 N时，由$\dfrac{600}{l}\le 200$，解得$l\ge 3$ m，所以动力臂l至少要加长$3-1.5=1.5$ m。
解析
【分析】
本题是结合杠杆平衡的反比例函数实际应用题，解题思路如下：①首先回忆杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力和阻力臂为定值，可推导得出动力F与动力臂l的反比例函数关系；②求动力臂为1.5m时的动力，直接将l=1.5代入所得函数解析式计算即可；③第二问先确定F的最大允许值，将其代入函数关系得到关于l的不等式，解不等式得到l的最小值，再减去原有动力臂长度即可求出加长的长度。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡原理：$\mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} = \mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂}$，代入已知阻力、阻力臂的数值得：
$F · l = 1200 × 0.5 = 600$
因此F与l的函数关系为：$F = \dfrac{600}{l} \ (l＞0)$
当$l=1.5\ \mathrm{m}$时，代入解析式得：
$F = \dfrac{600}{1.5} = 400\ \mathrm{N}$
即撬动石头至少需要400N的力。
(2) (1)中所用力的一半为$400 × \dfrac{1}{2} = 200\ \mathrm{N}$，要求$F ≤ 200$，代入函数解析式得：
$\dfrac{600}{l} ≤ 200$
$\because l＞0$，不等式两边同时乘$l$不等号方向不变，解得：$l ≥ 3\ \mathrm{m}$
原有动力臂为1.5m，因此至少需要加长的长度为：$3 - 1.5 = 1.5\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 动力F与动力臂l的函数关系为$\boldsymbol{F=\dfrac{600}{l}(l＞0)}$，当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要$\boldsymbol{400\ \mathrm{N}}$的力；
(2) 动力臂l至少要加长$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
反比例函数的实际应用，杠杆平衡条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题结合生活中撬棍撬石头的场景出题，将物理知识与数学函数、不等式知识结合，解题核心是先根据杠杆原理建立正确的反比例函数模型，再根据题目要求代入计算或解不等式即可，能够考查学生跨学科知识应用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题是结合杠杆平衡的反比例函数实际应用题，解题思路如下：①首先回忆杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力和阻力臂为定值，可推导得出动力F与动力臂l的反比例函数关系；②求动力臂为1.5m时的动力，直接将l=1.5代入所得函数解析式计算即可；③第二问先确定F的最大允许值，将其代入函数关系得到关于l的不等式，解不等式得到l的最小值，再减去原有动力臂长度即可求出加长的长度。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡原理：$\mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} = \mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂}$，代入已知阻力、阻力臂的数值得：
$F · l = 1200 × 0.5 = 600$
因此F与l的函数关系为：$F = \dfrac{600}{l} \ (l＞0)$
当$l=1.5\ \mathrm{m}$时，代入解析式得：
$F = \dfrac{600}{1.5} = 400\ \mathrm{N}$
即撬动石头至少需要400N的力。
(2) (1)中所用力的一半为$400 × \dfrac{1}{2} = 200\ \mathrm{N}$，要求$F ≤ 200$，代入函数解析式得：
$\dfrac{600}{l} ≤ 200$
$\because l＞0$，不等式两边同时乘$l$不等号方向不变，解得：$l ≥ 3\ \mathrm{m}$
原有动力臂为1.5m，因此至少需要加长的长度为：$3 - 1.5 = 1.5\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 动力F与动力臂l的函数关系为$\boldsymbol{F=\dfrac{600}{l}(l＞0)}$，当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要$\boldsymbol{400\ \mathrm{N}}$的力；
(2) 动力臂l至少要加长$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
反比例函数的实际应用，杠杆平衡条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题结合生活中撬棍撬石头的场景出题，将物理知识与数学函数、不等式知识结合，解题核心是先根据杠杆原理建立正确的反比例函数模型，再根据题目要求代入计算或解不等式即可，能够考查学生跨学科知识应用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1. 如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升=1立方分米)的圆锥形漏斗.
(1) 漏斗口的面积$ S $与漏斗的深度$ d $有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗口的面积为100平方厘米,则漏斗的深度为多少厘米?
(1) 漏斗口的面积$ S $与漏斗的深度$ d $有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗口的面积为100平方厘米,则漏斗的深度为多少厘米?
答案
(1) 由圆锥体积公式$V=\dfrac{1}{3}Sd=1$，得$S=\dfrac{3}{d}(d＞0)$；(2) 1升=1000立方厘米，代入得$\dfrac{1}{3}×100· d=1000$，解得d=30 cm，即漏斗的深度为30厘米。
解析
【分析】
(1) 要推导漏斗口面积$S$和深度$d$的函数关系，首先利用圆锥体积公式，已知圆锥容积（即体积）为1升，将已知体积代入公式后变形整理，即可得到$S$关于$d$的表达式，注意深度$d$为正数，需标注自变量的取值范围。
(2) 计算漏斗深度时，首先要统一单位，将容积单位升换算为立方厘米，再把已知的漏斗口面积代入圆锥体积公式，解关于$d$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 圆锥的体积公式为$V=\dfrac{1}{3}Sd$，已知漏斗容积$V=1$升$=1$立方分米，代入公式可得：
$\dfrac{1}{3}Sd=1$
等式两边同时乘3，再除以$d$（$d＞0$），整理得：
$S=\dfrac{3}{d}\quad(d＞0)$
(2) 先换算单位：$1$升$=1$立方分米$=1000$立方厘米，
将$S=100\mathrm{cm}^2$、$V=1000\mathrm{cm}^3$代入体积公式$\dfrac{1}{3}Sd=V$得：
$\dfrac{1}{3}×100× d=1000$
方程两边同时乘3得：$100d=3000$，
解得$d=30$。
【答案】
(1) $S=\dfrac{3}{d}(d＞0)$；
(2) 漏斗的深度为$\boldsymbol{30}$厘米。
【知识点】
反比例函数的应用、圆锥体积计算、单位换算
【点评】
本题结合生产实际考查数学知识的应用，解题核心是熟练掌握圆锥体积公式，运算时需注意不同单位的统一，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导漏斗口面积$S$和深度$d$的函数关系，首先利用圆锥体积公式，已知圆锥容积（即体积）为1升，将已知体积代入公式后变形整理，即可得到$S$关于$d$的表达式，注意深度$d$为正数，需标注自变量的取值范围。
(2) 计算漏斗深度时，首先要统一单位，将容积单位升换算为立方厘米，再把已知的漏斗口面积代入圆锥体积公式，解关于$d$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 圆锥的体积公式为$V=\dfrac{1}{3}Sd$，已知漏斗容积$V=1$升$=1$立方分米，代入公式可得：
$\dfrac{1}{3}Sd=1$
等式两边同时乘3，再除以$d$（$d＞0$），整理得：
$S=\dfrac{3}{d}\quad(d＞0)$
(2) 先换算单位：$1$升$=1$立方分米$=1000$立方厘米，
将$S=100\mathrm{cm}^2$、$V=1000\mathrm{cm}^3$代入体积公式$\dfrac{1}{3}Sd=V$得：
$\dfrac{1}{3}×100× d=1000$
方程两边同时乘3得：$100d=3000$，
解得$d=30$。
【答案】
(1) $S=\dfrac{3}{d}(d＞0)$；
(2) 漏斗的深度为$\boldsymbol{30}$厘米。
【知识点】
反比例函数的应用、圆锥体积计算、单位换算
【点评】
本题结合生产实际考查数学知识的应用，解题核心是熟练掌握圆锥体积公式，运算时需注意不同单位的统一，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动，客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可. 小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元，他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元.
(1)y与x有怎样的函数关系？
(2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？
(3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？
(1)y与x有怎样的函数关系？
(2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？
(3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？
答案
(1) 余款为18-6=12万元，所以$y=\dfrac{12}{x}(0＜x\le36，x为正整数)$；(2) 当x=20时，$y=\dfrac{12}{20}=0.6$，即平均每月应还款0.6万元；(3) 5000元=0.5万元，由$\dfrac{12}{x}\le0.5$，解得$x\ge24$，即至少要24个月才能结清余款。
解析
【分析】
解答本题可按以下思路展开：(1)先计算购车的余款总额，根据“每月还款金额×还款月数=余款总额”的等量关系，推导y与x的函数表达式，同时结合“36个月内结清余款”的要求，明确自变量x的取值范围；(2)第二问是已知自变量求对应函数值，直接将x=20代入第一问得到的函数解析式计算即可；(3)第三问先统一单位，根据“每月还款不超过5000元”的条件列不等式，结合x的实际意义求解即可得到最少还款月数。
【解析】
(1) 先计算购车余款：总车价18万元，首付款6万元，因此余款为$18-6=12$万元。
由题意得等量关系：$xy=12$，整理得$y=\dfrac{12}{x}$，结合还款规则，自变量x满足$0＜x\le36$且x为正整数。
(2) 当$x=20$时，代入函数解析式得：$y=\dfrac{12}{20}=0.6$（万元）。
(3) 先统一单位：$5000元=0.5万元$。
由题意得$y\le0.5$，代入函数解析式得：$\dfrac{12}{x}\le0.5$，
因为x为正整数，即$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$12\le0.5x$，解得$x\ge24$，24≤36符合还款期限要求。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}(0＜x\le36，x为正整数)$；
(2) 平均每月应还款0.6万元；
(3) 至少要24个月才能结清余款。
【知识点】
反比例函数实际应用；函数代入求值；不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中的购车分期付款场景命题，属于反比例函数基础应用类题目，解题时需要注意自变量的实际意义（x为正整数且不超过36），涉及金额计算时要先统一单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.8
解答本题可按以下思路展开：(1)先计算购车的余款总额，根据“每月还款金额×还款月数=余款总额”的等量关系，推导y与x的函数表达式，同时结合“36个月内结清余款”的要求，明确自变量x的取值范围；(2)第二问是已知自变量求对应函数值，直接将x=20代入第一问得到的函数解析式计算即可；(3)第三问先统一单位，根据“每月还款不超过5000元”的条件列不等式，结合x的实际意义求解即可得到最少还款月数。
【解析】
(1) 先计算购车余款：总车价18万元，首付款6万元，因此余款为$18-6=12$万元。
由题意得等量关系：$xy=12$，整理得$y=\dfrac{12}{x}$，结合还款规则，自变量x满足$0＜x\le36$且x为正整数。
(2) 当$x=20$时，代入函数解析式得：$y=\dfrac{12}{20}=0.6$（万元）。
(3) 先统一单位：$5000元=0.5万元$。
由题意得$y\le0.5$，代入函数解析式得：$\dfrac{12}{x}\le0.5$，
因为x为正整数，即$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$12\le0.5x$，解得$x\ge24$，24≤36符合还款期限要求。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}(0＜x\le36，x为正整数)$；
(2) 平均每月应还款0.6万元；
(3) 至少要24个月才能结清余款。
【知识点】
反比例函数实际应用；函数代入求值；不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中的购车分期付款场景命题，属于反比例函数基础应用类题目，解题时需要注意自变量的实际意义（x为正整数且不超过36），涉及金额计算时要先统一单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.8
