1. 如图，$\odot O$的半径为8，直角三角尺$30°$角的顶点A落在$\odot O$上，两边与$\odot O$分别交于B，C两点，则弦BC的长为()


A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.8
D.$4\sqrt{3}$

1. C

【分析】
要求弦BC的长度，已知圆周角∠A=30°，其对应弧为BC，可先利用圆周角定理得到同弧所对的圆心角∠BOC的度数；再结合圆的半径相等，判断△OBC的形状，即可求出BC的长度。
【解析】
连接OB、OC，
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠A=2×30°=60°，
又
∵OB、OC都是⊙O的半径，⊙O半径为8，
∴OB=OC=8，
∴△OBC是顶角为60°的等腰三角形，即△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=8。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将已知的圆周角条件转化为圆心角的条件，结合等边三角形的性质即可快速求出弦长，这类题型是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7

2. 如图，直线AB与$\odot O$相切于点A，AC，CD是$\odot O$的两条弦，且$CD // AB$。若$\odot O$的半径为5，$CD = 8$，则弦AC的长为()


A.10
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{5}$

2. D

【分析】
解题时先利用切线的性质得到OA与AB垂直，结合CD平行AB推出OA垂直CD，再根据垂径定理得到弦CD一半的长度；接下来连接OC，在直角三角形OCE中用勾股定理求出OE的长度，进而得到点A到弦CD的距离AE；最后在直角三角形ACE中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
设OA与CD交于点E，连接OC。
1. 因为直线AB与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质可得：$OA ⊥ AB$。
2. 已知$CD // AB$，因此$OA ⊥ CD$，由垂径定理得：$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
3. $\odot O$的半径为5，因此$OC = OA = 5$。
4. 在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
5. 因此$AE = OA + OE = 5 + 3 = 8$。
6. 在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：$AC = \sqrt{CE^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、平行线性质、垂径定理和勾股定理结合考查，解题的关键是构造合适的直角三角形，通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为$r$,扇形的半径为$R$,扇形的圆心角等于$120°$,则$r$与$R$之间的关系是()

A.$R=2r$
B.$R=r$
C.$R=3r$
D.$R=4r$

3. C

【分析】
要解决这道题，首先明确圆锥的构成：题中的圆形是圆锥的底面，扇形是圆锥的侧面。二者恰好围成圆锥，说明侧面扇形的弧长与底面圆的周长相等，这是解题的核心等量关系。接下来分别写出底面圆周长和扇形弧长的表达式，令二者相等，代入已知的圆心角度数化简，即可得到r与R的关系。
【解析】
解：
∵圆形纸片是圆锥的底面，
∴底面圆的周长为 $ C_{\mathrm{底}}=2π r $。
∵扇形纸片是圆锥的侧面，二者恰好围成圆锥，
∴扇形的弧长等于底面圆的周长。
已知扇形圆心角为120°，半径为R，根据弧长公式，扇形弧长为 $ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π R}{180} $。
令弧长等于底面周长，列等式：
$ 2π r=\frac{120π R}{180} $
两边同时约去π，化简得：
$ 2r=\frac{2R}{3} $
整理得 $ R=3r $。
【答案】
C
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算公式，圆周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等这一核心等量关系，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动),那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积是()

A.$\frac{17}{12}π$ m²
B.$\frac{77}{12}π$ m²
C.$\frac{25}{4}π$ m²
D.$\frac{17}{6}π$ m²

4. B

【分析】
解决本题首先要明确小羊的活动区域由两部分扇形构成：第一部分是以墙角为圆心、绳长5m为半径的大扇形，受围墙夹角限制，该扇形的圆心角为90°；第二部分是小羊沿长4m的斜墙走到墙端点后，剩余1m长的绳子扫出的小扇形，该扇形以墙的端点为圆心、剩余绳长1m为半径，圆心角为60°。分别计算两部分扇形的面积再求和，即可得到小羊的最大活动区域面积。
【解析】
小羊的活动区域分为两部分：
1. 大扇形：圆心为墙角，半径$r_1=5\ \mathrm{m}$，圆心角$n_1=90°$，面积为：
$S_1=\frac{n_1}{360°}π r_1^2=\frac{90°}{360°}×π×5^2=\frac{25}{4}π\ \mathrm{m}^2=\frac{75}{12}π\ \mathrm{m}^2$
2. 小扇形：圆心为斜墙顶端，剩余绳长$r_2=5-4=1\ \mathrm{m}$，圆心角$n_2=60°$，面积为：
$S_2=\frac{n_2}{360°}π r_2^2=\frac{60°}{360°}×π×1^2=\frac{1}{6}π\ \mathrm{m}^2=\frac{2}{12}π\ \mathrm{m}^2$
总活动面积$S=S_1+S_2=\frac{75}{12}π+\frac{2}{12}π=\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，圆的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查扇形面积的计算，解题核心是准确判断活动区域的构成，易错点是容易忽略短墙端点处的小扇形面积，计算时要注意圆心角和半径的取值。
【难度系数】
0.6

5. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点。若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为()

A.3
B.4
C.6
D.8

5. C

【分析】
解题时先从已知条件PA⊥PB、A和B关于原点对称入手：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可推出AB=2OP，因此求AB的最小值可以转化为求OP的最小值。再结合点P在⊙M上的条件，点O到圆上点的最短距离为点O到圆心M的距离减去圆的半径，算出OP最小值后即可求出AB的最小值。
【解析】
解：
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵A、B关于原点O对称，
∴O为AB的中点，
在Rt△APB中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ AB=2OP $，因此要使AB最小，只需OP取最小值。
已知圆心M的坐标为$(3,4)$，由勾股定理可得：
$ OM=\sqrt{3^2+4^2}=5 $
∵点P在⊙M上，⊙M的半径$ r=2 $，
∴OP的最小值为$ OM - r=5-2=3 $，
因此AB的最小值为$ 2×3=6 $。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题核心是运用转化思想，将AB的最小值问题转化为原点到圆上点的最短距离问题，解题时要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质和点到圆的距离规律。
【难度系数】
0.6

二、填空题(每小题5分,共20分)
6.若圆锥侧面积是底面积的2倍,则这个圆锥侧面展开图的圆心角是.

6. $180°$

【分析】
解决本题需结合圆锥的相关面积公式、侧面展开图的性质分步推导：首先设出圆锥的底面半径r、母线长l、侧面展开图圆心角n°，先根据“侧面积是底面积的2倍”的条件，分别写出侧面积和底面积的表达式，列等式求出母线长l与底面半径r的数量关系；再利用“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长”的等量关系，代入l与r的关系，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $，母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 推导$ l $与$ r $的关系：
圆锥底面积$ S_{\mathrm{底}}=π r^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $。
由题意得$ π r l = 2× π r^2 $，两边同时约去$ π r $（$ r≠0 $），可得$ l=2r $。
2. 计算圆心角度数：
圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，因此有：
$ \frac{nπ l}{180}=2π r $
将$ l=2r $代入上式，得$ \frac{nπ · 2r}{180}=2π r $，两边同时约去$ 2π r $（$ r≠0 $），可得$ \frac{n}{180}=1 $，解得$ n=180 $。
【答案】
$ 180° $
【知识点】
1. 圆锥侧面积公式
2. 圆锥侧面展开图性质
3. 扇形弧长公式
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是明确圆锥底面半径、母线长与侧面展开图扇形的半径、弧长的对应关系，熟练掌握相关公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 已知点P与某圆上的点的最小距离为6 cm，最大距离为16 cm，则该圆的半径为.

7. 5 cm 或 11 cm

【分析】
解决本题需先明确点与圆的位置关系，点到圆上点的最小距离和最大距离均在过该点与圆心的直线上。由于题中点到圆的最小距离不为0，说明点不在圆上，因此需分点在圆外、点在圆内两种情况讨论：①若点在圆外，最大距离与最小距离的差等于圆的直径；②若点在圆内，最大距离与最小距离的和等于圆的直径，再结合半径是直径的一半即可求解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点$ P $在圆外时：
过点$ P $和圆心作直线，与圆交于两点，两点到$ P $的距离分别为最小距离6cm和最大距离16cm，此时圆的直径$ d = 16 - 6 = 10\ \mathrm{cm} $，因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm} $。
2. 当点$ P $在圆内时：
同样过点$ P $和圆心作直线，与圆交于两点，两点到$ P $的距离分别为最小距离6cm和最大距离16cm，此时圆的直径$ d = 16 + 6 = 22\ \mathrm{cm} $，因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{22}{2} = 11\ \mathrm{cm} $。
综上，该圆的半径为5cm或11cm。
【答案】
5 cm 或 11 cm
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易只考虑点在圆外或点在圆内其中一种情况导致漏解，遇到无图的几何题时要注意多考虑不同的位置情况。
【难度系数】
0.6

8. 如图, 以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 的斜边 AB 的两个端点, 交直角边 AC 于点 E,点 B,E 是半圆弧的三等分点,弧 BE 的长为$\frac{2π}{3}$, 则图中阴影部分的面积为。

8. $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}π$

【分析】
解题可分三步进行：1. 由B、E是半圆弧三等分点，得出弧BE对应的圆心角为60°，结合弧长公式求出半圆半径；2. 利用圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据直角三角形的性质计算Rt△ABC的两条直角边长，进而求出△ABC的面积；3. 由BE//AD可得△OBE与△ABE同底等高、面积相等，因此阴影部分面积可转化为△ABC的面积减去扇形BOE的面积，代入数据计算即可。
【解析】
解：连接OB、OE。
∵点B、E是半圆弧的三等分点，
∴$\widehat{DB}=\widehat{BE}=\widehat{EA}$，对应圆心角$∠ DOB=∠ BOE=∠ EOA=60°$。
设半圆O的半径为$r$，已知弧BE的长为$\frac{2π}{3}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$\frac{60π r}{180}=\frac{2π}{3}$，解得$r=2$。
由圆周角定理得：$∠ BAC=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ DOB=30°$。
在$△ AOB$中，$OA=OB=2$，$∠ AOB=∠ BOE+∠ EOA=120°$，因此$∠ OAB=30°$。
过O作$OF⊥ AB$于点F，则$AF=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故$AB=2AF=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$：
$BC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，$AC=AB·\cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∵$∠ OBE=∠ DOB=60°$，
∴$BE// AD$，$△ OBE$和$△ ABE$同底等高，面积相等。
扇形BOE的面积为：$S_{扇形BOE}=\frac{60π r^2}{360}=\frac{60π×4}{360}=\frac{2π}{3}$。
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形BOE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}π$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握弧长公式、扇形面积公式、直角三角形的性质，解题时注意数形结合分析图形关系。
【难度系数】
0.6

9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形. 若∠ABC = 45°，AC = $\sqrt{2}$，则⊙O的半径是.

9. 1

【分析】
解题时首先观察已知条件：⊙O的内接△ABC中，∠ABC=45°是弧AC所对的圆周角，已知弦AC的长求半径。我们可先连接OA、OC构造圆心角，利用圆周角定理得到圆心角的度数，再结合半径相等得到等腰直角三角形，最后用勾股定理计算半径。
【解析】
解：连接OA、OC。
∵ ∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠AOC = 2∠ABC = 2×45° = 90°
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA = OC
即△AOC为等腰直角三角形
设⊙O的半径为r，则OA = OC = r
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OA² + OC² = AC²
代入数值得：r² + r² = (√2)²
化简得2r² = 2，解得r=1（半径为正，舍去负根）
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，解题关键是通过连接圆心与弦的端点构造出特殊三角形，将圆周角条件转化为圆心角条件，再结合勾股定理求解，难度不大，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共55分)
10.(12分)如图，$\odot O$的半径$OD ⊥$弦AB于点C，连接AO并延长交$\odot O$于点E，连接EC.已知$AB=8,CD=2.$
(1)求OA的长度；
(2)求EC的长度.

10. (1) $OA = 5$;(2) 连接$BE$,$EC = 2\sqrt{13}$.

【分析】
(1) 求半径OA时，先利用垂径定理得到弦AB一半的长度，再设OA为r，用含r的式子表示OC的长度，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 求EC的长度时，可连接BE，利用直径所对的圆周角为直角得到Rt△ABE，结合中位线性质求出BE的长度，最后在Rt△BCE中用勾股定理计算EC的长度即可。
【解析】
(1)
∵OD⊥弦AB，OD是⊙O的半径
∴根据垂径定理，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
设$OA=r$，则$OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$
展开得$r^2=16+r^2-4r+4$
化简得$4r=20$，解得$r=5$
即$OA=5$。
(2) 连接$BE$，
∵AE是⊙O的直径，
∴$∠ ABE=90°$
∵O是AE的中点，C是AB的中点，
∴OC是$△ ABE$的中位线，
∴$BE=2OC$，由(1)得$OC=OA-CD=5-2=3$，
∴$BE=2×3=6$
在$Rt△ BCE$中，$BC=4$，$BE=6$，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{OA=5}$；(2) $\boldsymbol{EC=2\sqrt{13}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到相等线段，结合直径的性质构造直角三角形，同时要掌握此类题常用辅助线的做法，为后续复杂圆类问题的求解打好基础。
【难度系数】
0.7