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11. (14分)如图1,C,D是半圆ACB上的两点,点P是直径AB上一点,且满足$∠ APC = ∠ BPD$,则称$∠ CPD$是弧CD的“幸运角”.
(1)如图2,若弦$CE ⊥ AB$,D是弧BC上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP.求证:$∠ CPD$是弧CD的“幸运角”.
(2)如图3,若直径$AB = 2$,弦$CE ⊥ AB$,弧CD的“幸运角”为$90°$,求CD的长.
(1)如图2,若弦$CE ⊥ AB$,D是弧BC上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP.求证:$∠ CPD$是弧CD的“幸运角”.
(2)如图3,若直径$AB = 2$,弦$CE ⊥ AB$,弧CD的“幸运角”为$90°$,求CD的长.
答案
11. (1) 略;(2) $CD = \sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠CPD是弧CD的“幸运角”，根据定义只需证∠APC=∠BPD。首先利用垂径定理，由直径AB⊥CE可得AB垂直平分CE，推出PC=PE，得到∠APC=∠APE，再结合对顶角相等得到∠APE=∠BPD，等量代换即可完成证明。
(2) 先根据“幸运角”为90°，结合∠APC=∠BPD算出两个角均为45°，再由CE⊥AB推出∠CEP=45°，根据圆周角定理得到弧CD对应的圆心角∠COD=90°，最后在等腰直角△COD中用勾股定理计算CD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，且CE⊥AB，
∴AB垂直平分弦CE（垂径定理），
∴PC=PE，
∴∠APC=∠APE（等边对等角），
又
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD，
∴∠APC=∠BPD，即∠CPD是弧CD的“幸运角”。
(2) 解：
连接OC、OD，
∵∠CPD是弧CD的“幸运角”，
∴∠APC=∠BPD，
已知∠CPD=90°，因此$∠ APC=∠ BPD=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∵CE⊥AB，PC=PE，
∴$∠ PCE=∠ PEC=90°-45°=45°$，
∵∠PEC即∠CED，是弧CD所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠COD=2∠CED=2×45°=90°，
∵直径AB=2，
∴OC=OD=1，
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是新定义类题型，解题的前提是准确理解“幸运角”的定义，结合圆的基本性质进行推导，既考查了对新定义的阅读理解能力，也考查了圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠CPD是弧CD的“幸运角”，根据定义只需证∠APC=∠BPD。首先利用垂径定理，由直径AB⊥CE可得AB垂直平分CE，推出PC=PE，得到∠APC=∠APE，再结合对顶角相等得到∠APE=∠BPD，等量代换即可完成证明。
(2) 先根据“幸运角”为90°，结合∠APC=∠BPD算出两个角均为45°，再由CE⊥AB推出∠CEP=45°，根据圆周角定理得到弧CD对应的圆心角∠COD=90°，最后在等腰直角△COD中用勾股定理计算CD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，且CE⊥AB，
∴AB垂直平分弦CE（垂径定理），
∴PC=PE，
∴∠APC=∠APE（等边对等角），
又
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD，
∴∠APC=∠BPD，即∠CPD是弧CD的“幸运角”。
(2) 解：
连接OC、OD，
∵∠CPD是弧CD的“幸运角”，
∴∠APC=∠BPD，
已知∠CPD=90°，因此$∠ APC=∠ BPD=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∵CE⊥AB，PC=PE，
∴$∠ PCE=∠ PEC=90°-45°=45°$，
∵∠PEC即∠CED，是弧CD所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠COD=2∠CED=2×45°=90°，
∵直径AB=2，
∴OC=OD=1，
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是新定义类题型，解题的前提是准确理解“幸运角”的定义，结合圆的基本性质进行推导，既考查了对新定义的阅读理解能力，也考查了圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
12.（14分）如图，MB，MD是$\odot O$的两条弦，点A，C分别在$\overset{\frown}{MB}$，$\overset{\frown}{MD}$上，且AB = CD，M是$\overset{\frown}{AC}$的中点.
（1）求证：MB = MD；
（2）过点O作OE ⊥ MB于点E，若OE = 1，$\odot O$的半径是2，求MD的长.
（1）求证：MB = MD；
（2）过点O作OE ⊥ MB于点E，若OE = 1，$\odot O$的半径是2，求MD的长.
答案
12. (1) 略;(2) $MD = 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）要证明弦MB=MD，可转化为证明二者所对的弧$\overset{\frown}{MB}$和$\overset{\frown}{MD}$相等。已知AB=CD，可得对应劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结合M是$\overset{\frown}{AC}$中点得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，两段弧相加即可得到$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，进而推出弦相等。
（2）已知OE⊥MB，根据垂径定理可得E是MB的中点，在Rt△OEM中用勾股定理求出ME的长度，即可得到MB的长度，再结合第（1）问MB=MD的结论，就能求出MD的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 在$\odot O$中，弦AB=CD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∵ M是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CM}$，即$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，
∴ MB=MD（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
（2）解：连接OM，
∵ OE⊥MB，且OE过圆心O，
∴ E为MB的中点，即MB=2ME（垂径定理）。
在Rt△OEM中，OM是$\odot O$的半径，OM=2，OE=1，
由勾股定理得：$ME=\sqrt{OM^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ MB=2ME=$2\sqrt{3}$，
由（1）的结论可知MB=MD，
∴ MD=$2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$MD=2\sqrt{3}$
【知识点】
弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的关键是灵活转换弧与弦的等量关系，垂径定理是圆中求解弦长的常用工具，通常和勾股定理结合使用，熟练掌握相关性质可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明弦MB=MD，可转化为证明二者所对的弧$\overset{\frown}{MB}$和$\overset{\frown}{MD}$相等。已知AB=CD，可得对应劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结合M是$\overset{\frown}{AC}$中点得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，两段弧相加即可得到$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，进而推出弦相等。
（2）已知OE⊥MB，根据垂径定理可得E是MB的中点，在Rt△OEM中用勾股定理求出ME的长度，即可得到MB的长度，再结合第（1）问MB=MD的结论，就能求出MD的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 在$\odot O$中，弦AB=CD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∵ M是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CM}$，即$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MD}$，
∴ MB=MD（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
（2）解：连接OM，
∵ OE⊥MB，且OE过圆心O，
∴ E为MB的中点，即MB=2ME（垂径定理）。
在Rt△OEM中，OM是$\odot O$的半径，OM=2，OE=1，
由勾股定理得：$ME=\sqrt{OM^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ MB=2ME=$2\sqrt{3}$，
由（1）的结论可知MB=MD，
∴ MD=$2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$MD=2\sqrt{3}$
【知识点】
弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的关键是灵活转换弧与弦的等量关系，垂径定理是圆中求解弦长的常用工具，通常和勾股定理结合使用，熟练掌握相关性质可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
13.（15分）在数学实验课上，小莹将含$30°$角的直角三角尺分别以两条直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件画出如下示意图.
小亮观察后说：“甲、乙两圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的，所以它们的侧面积相等.”你认同小亮的说法吗？请说明理由.
小亮观察后说：“甲、乙两圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的，所以它们的侧面积相等.”你认同小亮的说法吗？请说明理由.
答案
13. 解:不认同. 理由如下:设直角三角尺的三条边长分别为$BC = a$,$AC = \sqrt{3}a$,$AB = 2a$. $\therefore$ 甲圆锥的侧面积$S_{甲} = π · BC · AB = π · a · 2a = 2π a^{2}$,乙圆锥的侧面积$S_{乙} = π · AC · AB = π · \sqrt{3}a · 2a = 2\sqrt{3}π a^{2}.\because S_{甲} ≠ S_{乙}$,$\therefore$ 小亮的说法不正确.
解析
【分析】要判断小亮的说法是否正确，需分别计算甲、乙两个圆锥的侧面积再比较。首先回忆圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。两个圆锥的母线长均为直角三角尺的斜边AB，但底面半径分别为两条不同的直角边。我们可以利用含30°角的直角三角形的三边关系，设参数表示出三边长度，再分别代入公式计算两个圆锥的侧面积，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
解：不认同小亮的说法，理由如下：
设直角三角尺中$BC = a$，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ 斜边$AB = 2BC = 2a$，
由勾股定理可得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π · \mathrm{底面半径} · \mathrm{母线长}$：
甲圆锥以AC为轴旋转得到，底面半径为$BC=a$，母线长为$AB=2a$，
∴ $S_{甲} = π · BC · AB = π · a · 2a = 2π a^2$；
乙圆锥以BC为轴旋转得到，底面半径为$AC=\sqrt{3}a$，母线长为$AB=2a$，
∴ $S_{乙} = π · AC · AB = π · \sqrt{3}a · 2a = 2\sqrt{3}π a^2$。
∵ $2π a^2 ≠ 2\sqrt{3}π a^2$，即$S_{甲} ≠ S_{乙}$，
∴ 小亮的说法不正确。
【答案】不认同小亮的说法，甲、乙两圆锥侧面积不相等，小亮的说法错误。
【知识点】
圆锥侧面积计算、含30°角的直角三角形性质、旋转的性质
【点评】
本题结合操作场景考查圆锥侧面积的计算，解题关键是明确直角三角形绕不同直角边旋转时，圆锥的底面半径和母线对应的原三角形边长，易错点是容易忽略底面半径的差异，仅根据母线相同就判断侧面积相等。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：不认同小亮的说法，理由如下：
设直角三角尺中$BC = a$，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ 斜边$AB = 2BC = 2a$，
由勾股定理可得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π · \mathrm{底面半径} · \mathrm{母线长}$：
甲圆锥以AC为轴旋转得到，底面半径为$BC=a$，母线长为$AB=2a$，
∴ $S_{甲} = π · BC · AB = π · a · 2a = 2π a^2$；
乙圆锥以BC为轴旋转得到，底面半径为$AC=\sqrt{3}a$，母线长为$AB=2a$，
∴ $S_{乙} = π · AC · AB = π · \sqrt{3}a · 2a = 2\sqrt{3}π a^2$。
∵ $2π a^2 ≠ 2\sqrt{3}π a^2$，即$S_{甲} ≠ S_{乙}$，
∴ 小亮的说法不正确。
【答案】不认同小亮的说法，甲、乙两圆锥侧面积不相等，小亮的说法错误。
【知识点】
圆锥侧面积计算、含30°角的直角三角形性质、旋转的性质
【点评】
本题结合操作场景考查圆锥侧面积的计算，解题关键是明确直角三角形绕不同直角边旋转时，圆锥的底面半径和母线对应的原三角形边长，易错点是容易忽略底面半径的差异，仅根据母线相同就判断侧面积相等。
【难度系数】
0.7
