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4. 如图，圆锥的底面圆半径为5，母线长为20. 一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是(
A.8
B.$10\sqrt{2}$
C.$15\sqrt{2}$
D.$20\sqrt{2}$
D
)A.8
B.$10\sqrt{2}$
C.$15\sqrt{2}$
D.$20\sqrt{2}$
答案
4. D
解析
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求解。第一步：先把圆锥侧面展开为扇形，可知爬行的最短路径就是展开图中点A与它的对应点之间的线段长度；第二步：利用“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长”这一固定等量关系，计算出扇形的圆心角；第三步：结合圆心角和母线长，用勾股定理计算两点之间的线段长度即可得到结果。
【解析】
要计算沿圆锥侧面爬行一周回到A点的最短路程，需将圆锥侧面展开为平面扇形求解：
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=5$，因此底面周长$C=2π r=2π×5=10π$，该周长就是圆锥侧面展开后扇形的弧长。
2. 求展开扇形的圆心角：设扇形圆心角为$n°$，母线长（即扇形半径）$R=20$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=10π$、$R=20$代入得：
$10π=\frac{nπ×20}{180}$
约去$π$后解得$n=90$，即展开扇形的圆心角为$90°$。
3. 计算最短路径：展开图中，点A和它绕一周后的对应点与扇形顶点的连线均为母线长20，且两条连线的夹角为$90°$，两点的连线就是最短路程，由勾股定理可得：
$\mathrm{最短路程长}=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}$
【答案】D
【知识点】圆锥侧面展开图，最短路径计算，弧长公式
【点评】本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题关键是掌握将立体问题转化为平面问题的转化思想，牢记圆锥底面周长和展开扇形弧长相等的关系求解圆心角，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【难度系数】0.7
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求解。第一步：先把圆锥侧面展开为扇形，可知爬行的最短路径就是展开图中点A与它的对应点之间的线段长度；第二步：利用“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长”这一固定等量关系，计算出扇形的圆心角；第三步：结合圆心角和母线长，用勾股定理计算两点之间的线段长度即可得到结果。
【解析】
要计算沿圆锥侧面爬行一周回到A点的最短路程，需将圆锥侧面展开为平面扇形求解：
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=5$，因此底面周长$C=2π r=2π×5=10π$，该周长就是圆锥侧面展开后扇形的弧长。
2. 求展开扇形的圆心角：设扇形圆心角为$n°$，母线长（即扇形半径）$R=20$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=10π$、$R=20$代入得：
$10π=\frac{nπ×20}{180}$
约去$π$后解得$n=90$，即展开扇形的圆心角为$90°$。
3. 计算最短路径：展开图中，点A和它绕一周后的对应点与扇形顶点的连线均为母线长20，且两条连线的夹角为$90°$，两点的连线就是最短路程，由勾股定理可得：
$\mathrm{最短路程长}=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}$
【答案】D
【知识点】圆锥侧面展开图，最短路径计算，弧长公式
【点评】本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题关键是掌握将立体问题转化为平面问题的转化思想，牢记圆锥底面周长和展开扇形弧长相等的关系求解圆心角，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【难度系数】0.7
1. 下列四个命题:① 直径是弦;② 经过三个点一定可以作圆;③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④ 半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1. B
解析
【分析】
解答本题需逐个判断4个命题的正误，结合圆的基础定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐一分析每个说法是否符合相关概念即可得出正确结论。
【解析】
我们对四个命题逐一判断：
1. 命题①：弦是连接圆上任意两点的线段，直径的两个端点在圆上，且经过圆心，符合弦的定义，因此直径是弦，①正确；
2. 命题②：只有经过不在同一直线上的三个点才可以确定一个圆，若三个点在同一条直线上，无法作出过这三个点的圆，因此②错误；
3. 命题③：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离都相等，③正确；
4. 命题④：等弧是指能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆可以完全重合，因此是等弧，④正确。
综上，正确的命题有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外心
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对圆相关的定义、定理的准确识记，解题时要注意易错点：过三个点作圆的前提是三点不共线，等弧的判断需要满足能够完全重合的要求。
【难度系数】
0.7
解答本题需逐个判断4个命题的正误，结合圆的基础定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐一分析每个说法是否符合相关概念即可得出正确结论。
【解析】
我们对四个命题逐一判断：
1. 命题①：弦是连接圆上任意两点的线段，直径的两个端点在圆上，且经过圆心，符合弦的定义，因此直径是弦，①正确；
2. 命题②：只有经过不在同一直线上的三个点才可以确定一个圆，若三个点在同一条直线上，无法作出过这三个点的圆，因此②错误；
3. 命题③：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离都相等，③正确；
4. 命题④：等弧是指能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆可以完全重合，因此是等弧，④正确。
综上，正确的命题有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外心
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对圆相关的定义、定理的准确识记，解题时要注意易错点：过三个点作圆的前提是三点不共线，等弧的判断需要满足能够完全重合的要求。
【难度系数】
0.7
2. 用反证法证明“若$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$d ＜ r$，则点$P$在$\odot O$的内部”，首先应假设(
A.$d ≤ r$
B.$d ≥ r$
C.点$P$在$\odot O$的外部
D.点$P$在$\odot O$上或$\odot O$的外部
D
)A.$d ≤ r$
B.$d ≥ r$
C.点$P$在$\odot O$的外部
D.点$P$在$\odot O$上或$\odot O$的外部
答案
2. D
解析
【分析】
解答本题首先要明确反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。第一步先找出原命题的结论：“点P在⊙O的内部”，第二步回忆点与圆的三种位置关系，确定“点在圆内”的所有反面情况，最后对应选项选出正确的假设即可。
【解析】
反证法的第一步为反设：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中原命题的结论是“点P在⊙O的内部”，点与圆的位置关系共有三种：①点在圆内；②点在圆上；③点在圆外。因此“点在圆内”的反面是“点不在圆内”，即点P在⊙O上或⊙O的外部。
因此首先应假设“点P在⊙O上或⊙O的外部”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题关键是明确原命题的结论，全面找出结论的所有反面情况，注意不要遗漏点在圆上的情况，同时反设应针对原命题的结论内容，避免误选其他无关选项。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。第一步先找出原命题的结论：“点P在⊙O的内部”，第二步回忆点与圆的三种位置关系，确定“点在圆内”的所有反面情况，最后对应选项选出正确的假设即可。
【解析】
反证法的第一步为反设：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中原命题的结论是“点P在⊙O的内部”，点与圆的位置关系共有三种：①点在圆内；②点在圆上；③点在圆外。因此“点在圆内”的反面是“点不在圆内”，即点P在⊙O上或⊙O的外部。
因此首先应假设“点P在⊙O上或⊙O的外部”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题关键是明确原命题的结论，全面找出结论的所有反面情况，注意不要遗漏点在圆上的情况，同时反设应针对原命题的结论内容，避免误选其他无关选项。
【难度系数】
0.7
3.（2023·天津和平区期末）如图，△ABC内接于⊙O，点D在边AC上，射线AO交BD于点E，∠AED = ∠ABC.
（1）如图1，求证：BD ⊥ AC；
（2）如图2，当∠CAE = ∠CBD时，求证：AB = AC.
（1）如图1，求证：BD ⊥ AC；
（2）如图2，当∠CAE = ∠CBD时，求证：AB = AC.
答案
3. 证明:(1) 如图1,延长AE交⊙O于点K,连接CK.
∵ AK是⊙O的直径,
∴ ∠ACK=90°.
∵ ∠K=∠ABC,∠AED = ∠ABC,
∴ ∠K = ∠AED,
∴ ED // CK,
∴ ∠ADB = ∠ACK = 90°,
∴ BD ⊥ AC.
(2) 如图2,延长AO交BC于点H. 由(1)知BD ⊥ AC,
∴ ∠CBD + ∠C = 90°.
∵ ∠CBD = ∠CAE,
∴ ∠CAE + ∠C = 90°,
∴ ∠AHC = 90°,
∴ AH ⊥ BC.
∵ AH过圆心O,
∴ BH = CH,
∴ AB = AC.
∵ AK是⊙O的直径,
∴ ∠ACK=90°.
∵ ∠K=∠ABC,∠AED = ∠ABC,
∴ ∠K = ∠AED,
∴ ED // CK,
∴ ∠ADB = ∠ACK = 90°,
∴ BD ⊥ AC.
(2) 如图2,延长AO交BC于点H. 由(1)知BD ⊥ AC,
∴ ∠CBD + ∠C = 90°.
∵ ∠CBD = ∠CAE,
∴ ∠CAE + ∠C = 90°,
∴ ∠AHC = 90°,
∴ AH ⊥ BC.
∵ AH过圆心O,
∴ BH = CH,
∴ AB = AC.
解析
【分析】
（1）要证明BD⊥AC，只需证∠ADB=90°。我们通过构造直径所对的直角推导：延长AO交⊙O于点K，连接CK，利用直径所对圆周角为直角得∠ACK=90°；再结合已知∠AED=∠ABC，根据同弧所对圆周角相等得∠K=∠ABC，进而推出∠K=∠AED，可得ED//CK，即可推导∠ADB=90°。
（2）要证明AB=AC，只需证AO所在直线垂直平分BC。结合（1）中BD⊥AC的结论，可得∠CBD+∠C=90°；代入已知∠CAE=∠CBD，可推出∠CAE+∠C=90°，即AO延长线与BC垂直；再根据垂径定理可知过圆心的垂线平分BC，即可得到AB=AC。
【解析】
（1）如图1，延长AE交⊙O于点K，连接CK。
∵ AK是⊙O的直径，
∴ ∠ACK=90°。
∵ 同弧AC所对的圆周角∠K和∠ABC相等，且∠AED = ∠ABC，
∴ ∠K = ∠AED，
∴ ED // CK，
∴ ∠ADB = ∠ACK = 90°，
∴ BD ⊥ AC。
（2）如图2，延长AO交BC于点H。
由（1）知BD ⊥ AC，
∴ ∠CBD + ∠C = 90°。
∵ ∠CBD = ∠CAE，
∴ ∠CAE + ∠C = 90°，
∴ ∠AHC = 90°，即AH ⊥ BC。
∵ AH过圆心O，
∴ AH垂直平分BC，
∴ AB = AC。
【答案】
（1）BD⊥AC，证明成立；
（2）AB=AC，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规证明题，解题核心是合理添加辅助线构造直径所对的直角，通过角的等量代换推导垂直关系，需熟练掌握圆周角相关性质和垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BD⊥AC，只需证∠ADB=90°。我们通过构造直径所对的直角推导：延长AO交⊙O于点K，连接CK，利用直径所对圆周角为直角得∠ACK=90°；再结合已知∠AED=∠ABC，根据同弧所对圆周角相等得∠K=∠ABC，进而推出∠K=∠AED，可得ED//CK，即可推导∠ADB=90°。
（2）要证明AB=AC，只需证AO所在直线垂直平分BC。结合（1）中BD⊥AC的结论，可得∠CBD+∠C=90°；代入已知∠CAE=∠CBD，可推出∠CAE+∠C=90°，即AO延长线与BC垂直；再根据垂径定理可知过圆心的垂线平分BC，即可得到AB=AC。
【解析】
（1）如图1，延长AE交⊙O于点K，连接CK。
∵ AK是⊙O的直径，
∴ ∠ACK=90°。
∵ 同弧AC所对的圆周角∠K和∠ABC相等，且∠AED = ∠ABC，
∴ ∠K = ∠AED，
∴ ED // CK，
∴ ∠ADB = ∠ACK = 90°，
∴ BD ⊥ AC。
（2）如图2，延长AO交BC于点H。
由（1）知BD ⊥ AC，
∴ ∠CBD + ∠C = 90°。
∵ ∠CBD = ∠CAE，
∴ ∠CAE + ∠C = 90°，
∴ ∠AHC = 90°，即AH ⊥ BC。
∵ AH过圆心O，
∴ AH垂直平分BC，
∴ AB = AC。
【答案】
（1）BD⊥AC，证明成立；
（2）AB=AC，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规证明题，解题核心是合理添加辅助线构造直径所对的直角，通过角的等量代换推导垂直关系，需熟练掌握圆周角相关性质和垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7
