2. 注意考虑弦的位置.
（1）在半径为5 cm的圆中,有两条平行的弦,一条为8 cm,另一条为6 cm,则这两条平行弦的距离是.


（2）AB是$\odot O$的直径,AC,AD是$\odot O$的两条弦,且$∠ BAC = 30°, ∠ BAD = 45°$,则$∠ CAD$的度数为.

2. （1）1 cm或7 cm
（2）15°或75°

【分析】
（1）解决本题需考虑两条平行弦在圆中的位置有两种情况：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，结合垂径定理分别计算两条弦的弦心距，再根据位置关系计算两弦的距离即可。
（2）本题需考虑两条弦AC、AD相对于直径AB的位置有两种情况：两弦在AB同侧、两弦在AB异侧，根据角度的和差关系分别计算∠CAD的度数即可。
【解析】
（1）设圆的半径$r=5\mathrm{cm}$，过圆心$O$分别作两条平行弦的垂线，由垂径定理可知，垂线平分两条弦：
① 长度为$8\mathrm{cm}$的弦，半弦长为$8÷2=4\mathrm{cm}$，其弦心距$d_1=\sqrt{r^2-4^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$；
② 长度为$6\mathrm{cm}$的弦，半弦长为$6÷2=3\mathrm{cm}$，其弦心距$d_2=\sqrt{r^2-3^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$；
分两种情况计算两弦距离：
情况1：两弦在圆心同侧，距离为$d_2-d_1=4-3=1\mathrm{cm}$；
情况2：两弦在圆心异侧，距离为$d_2+d_1=4+3=7\mathrm{cm}$。
（2）分两种情况讨论AC、AD的位置：
情况1：AC、AD在直径AB的同侧，此时$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=45°-30°=15°$；
情况2：AC、AD在直径AB的异侧，此时$∠ CAD=∠ BAD+∠ BAC=45°+30°=75°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
1. 垂径定理；2. 圆的对称性；3. 角度和差计算
【点评】
这两道题的易错点是忽略位置的多样性仅计算一种情况，解题时要结合圆的对称性，全面考虑图形的所有可能位置，养成分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.6

1. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形横截面的半径,水平放置的破裂管道有水部分的横截面如图所示.
(1) 请你补全这个输水管道的圆形横截面(保留作图痕迹);
(2) 若这个输水管道有水部分的水面宽AB为16 cm,水面最深处的高度为5 cm,求这个圆形横截面的半径.

(1) 作弦AB的垂直平分线，在弧AB上任取一点C，作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心，OA为半径作圆，即可补全圆形横截面[图1]
(2) 设圆形横截面的半径为r cm，圆心到AB的距离为(r-5) cm，由垂径定理得AB的一半为8 cm，根据勾股定理：$8^2 + (r-5)^2 = r^2$，解得r=13，即圆形横截面的半径为13 cm。

【分析】
(1) 补全圆形横截面的核心是确定圆心：根据圆的性质，圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点，因此只需在弧AB上额外取一点，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到点A的距离为半径画圆即可补全图形。
(2) 求半径可结合垂径定理与勾股定理求解：过圆心作AB的垂线，由垂径定理可得到AB一半的长度；水面最深处的高度是AB到弧AB的垂直距离，可据此表示出圆心到AB的距离，再在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 在弧AB上任取一点C，连接弦AC；
② 分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆形横截面的圆心O；
③ 以O为圆心，OA的长度为半径作圆，即可补全输水管道的圆形横截面。
(2) 过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，延长OC交弧AB于点D，由题意可知$AB=16\ \mathrm{cm}$，水深$CD=5\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
设圆形横截面的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{cm}$，圆心到AB的距离$OC=OD-CD=(r-5)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AC^2+OC^2=OA^2$，
代入数值列方程：$8^2+(r-5)^2=r^2$，
解得：$r=13$。
【答案】
(1) 补全图形见上述作图步骤；
(2) 这个圆形横截面的半径为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关性质应用，作图类问题需要掌握确定圆心的基本方法，计算类问题要学会利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解未知量，是圆的应用类典型题型。
【难度系数】
0.7

2. 如图,一个圆锥的高为$3\sqrt{3}$ cm,侧面展开图是半圆形.求:
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）$∠ BAC$的度数；
（3）圆锥的侧面积.(结果保留π)

（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是半圆，所以$2π r = π l$，得l=2r，所以l:r=2:1
（2）圆锥的高h、r、l满足$h^2 + r^2 = l^2$，代入$h=3\sqrt{3}$，l=2r，得$(3\sqrt{3})^2 + r^2 = 4r^2$，解得r=3，l=6，所以AB=AC=BC=6 cm，△ABC是等边三角形，∠BAC=60°
（3）圆锥的侧面积$S=\frac{1}{2}π l^2 = \frac{1}{2}π × 6^2 = 18π \ \mathrm{cm}^2$

【分析】
本题是圆锥相关的计算问题，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心关系，设出底面半径和母线长，结合半圆的弧长公式列等式，即可求出二者的比值。
2. 第（2）问：圆锥的高、底面半径、母线长可构成直角三角形，结合勾股定理和第（1）问的比例关系，代入高的数值求出半径和母线长的具体值，再判断△ABC的形状即可得到∠BAC的度数。
3. 第（3）问：圆锥侧面积就是侧面展开半圆的面积，代入母线长的数值计算即可。
【解析】
解：（1）设圆锥的底面半径为$ r $，母线长为$ l $。
∵ 圆锥侧面展开图是半圆形，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长
∴ $ 2π r = π l $
化简得$ l=2r $，故$ l:r=2:1 $
（2）
∵ 圆锥的高$ h=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$ h^2 + r^2 = l^2 $
将$ l=2r $、$ h=3\sqrt{3} $代入得：
$ (3\sqrt{3})^2 + r^2 = (2r)^2 $
即$ 27 + r^2 = 4r^2 $，解得$ r=3\ \mathrm{cm} $，则$ l=2r=6\ \mathrm{cm} $
∵ 底面直径$ BC=2r=6\ \mathrm{cm} $，$ AB=AC=l=6\ \mathrm{cm} $
∴ $ AB=AC=BC $，△ABC为等边三角形
∴ $ ∠ BAC=60° $
（3）圆锥的侧面积等于侧面展开半圆的面积：
$ S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}π l^2=\frac{1}{2}π × 6^2=18π\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
（1）$ 2:1 $；（2）$ 60° $；（3）$ 18π\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆锥的计算，勾股定理，等边三角形的判定
【点评】
本题考查圆锥与其侧面展开图的对应关系，解题的关键是牢记“圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，扇形半径等于圆锥母线长”两个核心对应关系，结合勾股定理即可求解，是圆锥章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

1. 给出下列说法:①半径相等的圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③半圆是弧,但弧不一定是半圆;④半径相等的两个半圆是等弧.其中,正确的说法有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. C

【分析】
本题考查圆与弧的相关基础概念，解题时需先明确等圆、等弧、弧、半圆的定义，再逐一判断4个说法的正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 等圆的定义为能够完全重合的圆，半径相等的圆可完全重合，因此半径相等的圆是等圆，该说法正确；
② 等弧的定义为能够完全重合的弧，仅长度相等的弧可能圆心角不同，无法完全重合，不是等弧，该说法错误；
③ 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径两端点分圆得到的特殊弧，因此半圆是弧；弧可分为劣弧、半圆、优弧三类，因此弧不一定是半圆，该说法正确；
④ 半径相等的两个半圆长度相等、弯曲程度一致，可完全重合，符合等弧的定义，该说法正确。
综上，正确的说法有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念、等圆的定义、等弧的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是易忽略等弧需要同时满足长度相等且能够完全重合的要求，只有熟练掌握相关概念的内涵与外延，才能快速准确判断正误。
【难度系数】
0.7

2.如果一个圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么这个圆锥的全面积是()

A.$12π\ \mathrm{cm}^2$
B.$15π\ \mathrm{cm}^2$
C.$20π\ \mathrm{cm}^2$
D.$24π\ \mathrm{cm}^2$

2. D

【分析】
要解决这道题，首先要明确圆锥全面积的构成：圆锥全面积=圆锥侧面积+底面圆的面积。接下来分别回忆两个面积的计算公式：圆锥侧面积公式为$\boldsymbol{S_{侧}=πrl}$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长），底面圆的面积公式为$\boldsymbol{S_{底}=πr^2}$，最后代入题中给出的已知数据计算求和，就能得到圆锥的全面积。
【解析】
1. 计算圆锥侧面积：已知母线长$l=5\ \mathrm{cm}$，底面半径$r=3\ \mathrm{cm}$，代入侧面积公式得：
$S_{侧}=πrl=π×3×5=15π\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算底面圆的面积：
$S_{底}=πr^2=π×3^2=9π\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算圆锥全面积：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=15π+9π=24π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.圆的面积计算
3.圆锥全面积计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是牢记圆锥全面积是侧面积与底面积的和，避免出现漏算底面积、直接将侧面积当作全面积的错误，熟练掌握相关公式就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7

3.如图,若AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$∠ ABD = 58°$,则$∠ BCD$的度数是()

A.$116°$
B.$32°$
C.$58°$
D.$64°$

3. B

【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，可得到Rt△ADB；已知直角三角形中一个锐角∠ABD=58°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAD的度数；接下来根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，因此二者相等，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=58°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABD=90°-58°=32°$。
又
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BCD=∠ BAD=32°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题核心是先利用直径的性质构造直角三角形求出对应角度，再通过圆周角定理完成角度的等量转换，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8