登录
变式1 如图,已知半圆的直径$AB=4$,点$C$在半圆上,以点$A$为圆心,$AC$为半径画弧交$AB$于点$D$,连接$BC$.若$∠ ABC=60°$,则图中阴影部分的面积为
$2\sqrt{3} - π$
.(结果不取近似值)答案
变式1: $2\sqrt{3} - π$
解析
【分析】
首先，AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形。结合已知∠ABC=60°、AB=4，可先求出∠CAB的度数、AC的长度以及△ABC的面积。观察图形可知，阴影部分的面积等于直角三角形ABC的面积减去以A为圆心、AC为半径的扇形ACD的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴∠CAB=90°-60°=30°，
∵AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=AB·cos30°=$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$。
∵扇形ACD的圆心角∠CAB=30°，半径AC=$2\sqrt{3}$，
∴$S_{扇形ACD}=\frac{30°×π×AC^2}{360°}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{30π×12}{360}=π$。
∴阴影部分的面积=$S_{△ ABC}-S_{扇形ACD}=2\sqrt{3}-π$。
【答案】
$2\sqrt{3} - π$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则的三角形面积与扇形面积的差，需熟练运用圆周角定理、直角三角形的边角关系和扇形面积公式求解。
【难度系数】
0.7
首先，AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形。结合已知∠ABC=60°、AB=4，可先求出∠CAB的度数、AC的长度以及△ABC的面积。观察图形可知，阴影部分的面积等于直角三角形ABC的面积减去以A为圆心、AC为半径的扇形ACD的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴∠CAB=90°-60°=30°，
∵AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=AB·cos30°=$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$。
∵扇形ACD的圆心角∠CAB=30°，半径AC=$2\sqrt{3}$，
∴$S_{扇形ACD}=\frac{30°×π×AC^2}{360°}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{30π×12}{360}=π$。
∴阴影部分的面积=$S_{△ ABC}-S_{扇形ACD}=2\sqrt{3}-π$。
【答案】
$2\sqrt{3} - π$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则的三角形面积与扇形面积的差，需熟练运用圆周角定理、直角三角形的边角关系和扇形面积公式求解。
【难度系数】
0.7
变式2 如图,从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为$90°$的扇形. 已知该扇形的面积为$2π$,则该扇形铁皮的半径为
$2\sqrt{2}$
. 答案
变式2: $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算扇形的半径，首先明确已知条件：扇形的圆心角为90°，面积为2π。我们学过的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）中，已知面积S和圆心角n，只需代入公式求解关于R的方程即可，注意半径为正数，需舍去负解。
【解析】
设该扇形铁皮的半径为$R$，已知扇形圆心角$n=90°$，面积$S=2π$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知数值得：
$2π=\frac{90π R^2}{360}$
化简等式右侧：$\frac{90π R^2}{360}=\frac{π R^2}{4}$，因此等式变为：
$2π=\frac{π R^2}{4}$
两边同时除以$π$，得：
$2=\frac{R^2}{4}$
解得$R^2=8$，因为半径为正数，所以$R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（舍去负解$R=-2\sqrt{2}$）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
扇形面积计算；解方程；二次根式化简
【点评】
本题属于扇形面积的基础应用题，解题核心是熟练掌握扇形面积公式，代入数值计算时要注意运算顺序，开方时结合实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.8
要计算扇形的半径，首先明确已知条件：扇形的圆心角为90°，面积为2π。我们学过的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）中，已知面积S和圆心角n，只需代入公式求解关于R的方程即可，注意半径为正数，需舍去负解。
【解析】
设该扇形铁皮的半径为$R$，已知扇形圆心角$n=90°$，面积$S=2π$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知数值得：
$2π=\frac{90π R^2}{360}$
化简等式右侧：$\frac{90π R^2}{360}=\frac{π R^2}{4}$，因此等式变为：
$2π=\frac{π R^2}{4}$
两边同时除以$π$，得：
$2=\frac{R^2}{4}$
解得$R^2=8$，因为半径为正数，所以$R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（舍去负解$R=-2\sqrt{2}$）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
扇形面积计算；解方程；二次根式化简
【点评】
本题属于扇形面积的基础应用题，解题核心是熟练掌握扇形面积公式，代入数值计算时要注意运算顺序，开方时结合实际意义取正根即可。
【难度系数】
0.8
二、圆的有关性质
1. 圆的对称性
2. 垂径定理及其推论
（1）垂径定理：
（2）推论：
3. 弧、弦、圆心角之间的关系
4. 同弧所对的圆周角和圆心角的关系
1. 圆的对称性
2. 垂径定理及其推论
（1）垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
3. 弧、弦、圆心角之间的关系
4. 同弧所对的圆周角和圆心角的关系
答案
2. （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的内容识记，属于基础概念类题型。解题时只需回忆教材中对应定理的标准表述即可，需格外注意推论中“平分的弦不是直径”的限制前提，若弦为直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，因此该前提不可省略。
【解析】
依据人教版数学教材中垂径定理及其推论的官方表述填写：
（1）垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）垂径定理的推论内容为：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【答案】
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心要求是准确记忆圆的相关定理内容，只要牢记定理细节、注意区分限制条件即可得分，是圆相关性质考查的基础常见题型。
【难度系数】
0.9
本题考查垂径定理及其推论的内容识记，属于基础概念类题型。解题时只需回忆教材中对应定理的标准表述即可，需格外注意推论中“平分的弦不是直径”的限制前提，若弦为直径，任意两条直径都互相平分但不一定垂直，因此该前提不可省略。
【解析】
依据人教版数学教材中垂径定理及其推论的官方表述填写：
（1）垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）垂径定理的推论内容为：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【答案】
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心要求是准确记忆圆的相关定理内容，只要牢记定理细节、注意区分限制条件即可得分，是圆相关性质考查的基础常见题型。
【难度系数】
0.9
三、圆的有关计算
弧长公式 $l =$
扇形面积公式 $S_{扇形} =$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} =$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} =$
弧长公式 $l =$
$\frac{nπ R}{180}$
扇形面积公式 $S_{扇形} =$
$\frac{nπ R^2}{360}$
$=$ $\frac{1}{2}lR$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} =$
$π r l$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} =$
$π r(r+l)$
答案
弧长公式 $l = \frac{nπ R}{180}$
扇形面积公式 $S_{扇形} = \frac{nπ R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} = π r l$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} = π r^2 + π r l = π r(r+l)$
扇形面积公式 $S_{扇形} = \frac{nπ R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} = π r l$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} = π r^2 + π r l = π r(r+l)$
解析
【分析】
这是一道圆相关计算的基础公式考查题，解题时可结合推导逻辑记忆公式，无需死记硬背：1.弧长是圆周的一部分，可结合圆周长公式推导；2.扇形面积是圆面积的一部分，还可结合弧长公式得到第二种表达形式；3.圆锥侧面展开为扇形，可结合扇形面积公式推导侧面积；4.圆锥全面积是侧面积加底面积，结合圆面积公式即可得到。按照推导逻辑逐一写出对应公式即可。
【解析】
1. 弧长公式：半径为$R$的圆周长为$2π R$，圆心角为$n°$的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，因此$l=2π R×\frac{n}{360}=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为弧所在圆的半径）。
2. 扇形面积公式：半径为$R$的圆面积为$π R^2$，圆心角为$n°$的扇形面积占圆面积的$\frac{n}{360}$，因此第一个公式为$S_{扇形}=π R^2×\frac{n}{360}=\frac{nπ R^2}{360}$；将弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$代入，可得$S_{扇形}=\frac{1}{2}×\frac{nπ R}{180}× R=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形对应的弧长，$R$为扇形半径）。
3. 圆锥侧面积公式：圆锥侧面展开图是扇形，该扇形的半径等于圆锥母线长$l$，弧长等于圆锥底面圆周长$2π r$（$r$为圆锥底面半径），代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$，可得$S_{圆锥侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π r l$。
4. 圆锥全面积公式：圆锥全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积为$π r^2$，因此$S_{圆锥全}=π r l+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
弧长公式 $l = \frac{nπ R}{180}$
扇形面积公式 $S_{扇形} = \frac{nπ R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} = π r l$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} = π r^2 + π r l = π r(r+l)$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式；圆锥的相关计算
【点评】
本题考查圆相关计算的核心基础公式，是解决弧长、扇形、圆锥类计算问题的前提，需要理解公式的推导逻辑，区分不同公式中字母的含义，熟练记忆运用。
【难度系数】
0.9
这是一道圆相关计算的基础公式考查题，解题时可结合推导逻辑记忆公式，无需死记硬背：1.弧长是圆周的一部分，可结合圆周长公式推导；2.扇形面积是圆面积的一部分，还可结合弧长公式得到第二种表达形式；3.圆锥侧面展开为扇形，可结合扇形面积公式推导侧面积；4.圆锥全面积是侧面积加底面积，结合圆面积公式即可得到。按照推导逻辑逐一写出对应公式即可。
【解析】
1. 弧长公式：半径为$R$的圆周长为$2π R$，圆心角为$n°$的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，因此$l=2π R×\frac{n}{360}=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为弧所在圆的半径）。
2. 扇形面积公式：半径为$R$的圆面积为$π R^2$，圆心角为$n°$的扇形面积占圆面积的$\frac{n}{360}$，因此第一个公式为$S_{扇形}=π R^2×\frac{n}{360}=\frac{nπ R^2}{360}$；将弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$代入，可得$S_{扇形}=\frac{1}{2}×\frac{nπ R}{180}× R=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形对应的弧长，$R$为扇形半径）。
3. 圆锥侧面积公式：圆锥侧面展开图是扇形，该扇形的半径等于圆锥母线长$l$，弧长等于圆锥底面圆周长$2π r$（$r$为圆锥底面半径），代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×弧长×半径$，可得$S_{圆锥侧}=\frac{1}{2}×2π r× l=π r l$。
4. 圆锥全面积公式：圆锥全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积为$π r^2$，因此$S_{圆锥全}=π r l+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
弧长公式 $l = \frac{nπ R}{180}$
扇形面积公式 $S_{扇形} = \frac{nπ R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$
圆锥的侧面积公式 $S_{圆锥侧} = π r l$
圆锥的全面积公式 $S_{圆锥全} = π r^2 + π r l = π r(r+l)$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式；圆锥的相关计算
【点评】
本题考查圆相关计算的核心基础公式，是解决弧长、扇形、圆锥类计算问题的前提，需要理解公式的推导逻辑，区分不同公式中字母的含义，熟练记忆运用。
【难度系数】
0.9
四、易错点：
1. 注意考虑点的位置.
(1) 点P到$\odot O$上的最近距离为3 cm，最远距离为5 cm，则$\odot O$的半径为
(2)BC是$\odot O$的一条弦，$∠ BOC = 120°$，点A是$\odot O$上的一点(不与B，C重合)，则
$∠ BAC$的度数为
1. 注意考虑点的位置.
(1) 点P到$\odot O$上的最近距离为3 cm，最远距离为5 cm，则$\odot O$的半径为
1或4
cm.(2)BC是$\odot O$的一条弦，$∠ BOC = 120°$，点A是$\odot O$上的一点(不与B，C重合)，则
$∠ BAC$的度数为
60°或120°
. 答案
1. (1) 1或4
(2) 60°或120°
(2) 60°或120°
解析
【分析】
两道题均为圆的易错题，核心解题思路是注意点的位置的多种可能性，需分类讨论避免漏解：
(1) 题未明确点P与$\odot O$的位置关系，需分点P在圆内、点P在圆外两种情况，结合最近距离、最远距离与直径的关系计算半径；
(2) 题未明确点A在弧BC的哪一侧，需分点A在优弧BC上、点A在劣弧BC上两种情况，结合圆周角定理及圆内接四边形的性质计算角度。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内部时，$\odot O$的直径等于点P到圆的最近距离与最远距离之和，即直径$=3+5=8\mathrm{cm}$，因此半径$r=8÷2=4\mathrm{cm}$；
② 当点P在$\odot O$外部时，$\odot O$的直径等于点P到圆的最远距离与最近距离之差，即直径$=5-3=2\mathrm{cm}$，因此半径$r=2÷2=1\mathrm{cm}$；
综上，$\odot O$的半径为1cm或4cm。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$；
② 当点A在劣弧BC上时，此时A与优弧BC上的点构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAC=180°-60°=120°$；
综上，$∠ BAC$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
(1) 1或4
(2) $60°$或$120°$
【知识点】
点与圆的位置关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
此类题目是圆章节的高频易错题，考查分类讨论思想的应用，解题时要注意题目未明确点的位置时，要穷尽所有可能的情况，避免因考虑不全漏解。
【难度系数】
0.6
两道题均为圆的易错题，核心解题思路是注意点的位置的多种可能性，需分类讨论避免漏解：
(1) 题未明确点P与$\odot O$的位置关系，需分点P在圆内、点P在圆外两种情况，结合最近距离、最远距离与直径的关系计算半径；
(2) 题未明确点A在弧BC的哪一侧，需分点A在优弧BC上、点A在劣弧BC上两种情况，结合圆周角定理及圆内接四边形的性质计算角度。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内部时，$\odot O$的直径等于点P到圆的最近距离与最远距离之和，即直径$=3+5=8\mathrm{cm}$，因此半径$r=8÷2=4\mathrm{cm}$；
② 当点P在$\odot O$外部时，$\odot O$的直径等于点P到圆的最远距离与最近距离之差，即直径$=5-3=2\mathrm{cm}$，因此半径$r=2÷2=1\mathrm{cm}$；
综上，$\odot O$的半径为1cm或4cm。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$；
② 当点A在劣弧BC上时，此时A与优弧BC上的点构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAC=180°-60°=120°$；
综上，$∠ BAC$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
(1) 1或4
(2) $60°$或$120°$
【知识点】
点与圆的位置关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
此类题目是圆章节的高频易错题，考查分类讨论思想的应用，解题时要注意题目未明确点的位置时，要穷尽所有可能的情况，避免因考虑不全漏解。
【难度系数】
0.6
