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6. 如图,在四边形ABCD中,AD // BC,∠B = ∠ACD = 90°.
(1)求证:△ABC ∽ △DCA.
(2)若BC = 1,AC = 2,求AD的长.
(1)求证:△ABC ∽ △DCA.
(2)若BC = 1,AC = 2,求AD的长.
答案
(1) 证明：
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC，又
∵∠B=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△DCA。
(2) 解：
∵△ABC∽△DCA，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$，代入BC=1，AC=2，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{AD}$，解得AD=4。
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC，又
∵∠B=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△DCA。
(2) 解：
∵△ABC∽△DCA，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$，代入BC=1，AC=2，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{AD}$，解得AD=4。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角分别相等的相似判定定理。首先利用AD平行BC的条件，可得到一组内错角相等，再结合已知的两个直角相等，就能满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证得两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入已知的边长数值，即可计算出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠B=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△DCA（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵△ABC∽△DCA，
∴对应边成比例，即$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
把BC=1，AC=2代入比例式，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{AD}$，
解得：$AD=4$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AD=4$
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心是通过平行线得到等角完成相似证明，再利用相似的性质求线段长度，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角分别相等的相似判定定理。首先利用AD平行BC的条件，可得到一组内错角相等，再结合已知的两个直角相等，就能满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证得两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入已知的边长数值，即可计算出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠B=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△DCA（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵△ABC∽△DCA，
∴对应边成比例，即$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
把BC=1，AC=2代入比例式，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{AD}$，
解得：$AD=4$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AD=4$
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心是通过平行线得到等角完成相似证明，再利用相似的性质求线段长度，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
1. 在$□ ABCD$中，点E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE，AC相交于点F，则$S_{△ AEF}: S_{△ CBF} =$
4:5或9:25
.答案
1. 4:5或9:25
解析
【分析】
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可证得△AEF与△CBF相似，而相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题中点E将AD分为2:3的两部分，未明确AE和ED的长短，因此需要分两种情况讨论：①AE:ED=2:3；②AE:ED=3:2，分别求出两种情况下AE与BC的比值，平方后即可得到对应面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
分两种情况计算：
1. 当AE:ED=2:3时，
AE:AD = 2:(2+3) = 2:5，
又
∵AD=BC，
∴AE:BC=2:5，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ AEF}: S_{△ CBF} = 2^2:5^2 = 4:25$；
2. 当AE:ED=3:2时，
AE:AD = 3:(3+2) = 3:5，
又
∵AD=BC，
∴AE:BC=3:5，
∴$S_{△ AEF}: S_{△ CBF} = 3^2:5^2 = 9:25$。
综上，面积比为4:25或9:25。
【答案】
4:25或9:25
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略E分AD的两种情况导致漏解；二是混淆相似三角形的周长比和面积比，误将相似比直接作为面积比。解题时需认真审题，牢记相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可证得△AEF与△CBF相似，而相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题中点E将AD分为2:3的两部分，未明确AE和ED的长短，因此需要分两种情况讨论：①AE:ED=2:3；②AE:ED=3:2，分别求出两种情况下AE与BC的比值，平方后即可得到对应面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
分两种情况计算：
1. 当AE:ED=2:3时，
AE:AD = 2:(2+3) = 2:5，
又
∵AD=BC，
∴AE:BC=2:5，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ AEF}: S_{△ CBF} = 2^2:5^2 = 4:25$；
2. 当AE:ED=3:2时，
AE:AD = 3:(3+2) = 3:5，
又
∵AD=BC，
∴AE:BC=3:5，
∴$S_{△ AEF}: S_{△ CBF} = 3^2:5^2 = 9:25$。
综上，面积比为4:25或9:25。
【答案】
4:25或9:25
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略E分AD的两种情况导致漏解；二是混淆相似三角形的周长比和面积比，误将相似比直接作为面积比。解题时需认真审题，牢记相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
2. 如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F点处. 已知DE = 5,AB = 8,则$S_{△ ABF}: S_{△ FCE}=$
4
.答案
2. 4
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等，结合矩形的性质得到已知边的关联。第一步先根据DE和AB的长度求出EC、EF的长度，用勾股定理算出FC的长；第二步再利用勾股定理求出BF的长度，分别计算两个三角形的面积后求比值即可，也可通过证明两个直角三角形相似，利用面积比等于相似比的平方快速求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=8$，$∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$DE=EF=5$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
∴$EC=CD-DE=8-5=3$，
在$Rt△ EFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{EF^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
设$BF=x$，则矩形的边长$BC=AD=AF=BF+FC=x+4$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，即$8^2+x^2=(x+4)^2$，
化简得：$64+x^2=x^2+8x+16$，解得$x=6$，即$BF=6$，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}× AB× BF=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$S_{△ FCE}=\frac{1}{2}× FC× EC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{△ ABF}:S_{△ FCE}=24:6=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是抓住折叠变换的不变量，结合勾股定理建立方程求解未知边长，也可通过证明三角形相似简化面积比的计算，是折叠类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等，结合矩形的性质得到已知边的关联。第一步先根据DE和AB的长度求出EC、EF的长度，用勾股定理算出FC的长；第二步再利用勾股定理求出BF的长度，分别计算两个三角形的面积后求比值即可，也可通过证明两个直角三角形相似，利用面积比等于相似比的平方快速求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=8$，$∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$DE=EF=5$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
∴$EC=CD-DE=8-5=3$，
在$Rt△ EFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{EF^2-EC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
设$BF=x$，则矩形的边长$BC=AD=AF=BF+FC=x+4$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，即$8^2+x^2=(x+4)^2$，
化简得：$64+x^2=x^2+8x+16$，解得$x=6$，即$BF=6$，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}× AB× BF=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$S_{△ FCE}=\frac{1}{2}× FC× EC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{△ ABF}:S_{△ FCE}=24:6=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是抓住折叠变换的不变量，结合勾股定理建立方程求解未知边长，也可通过证明三角形相似简化面积比的计算，是折叠类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，$AB = 4$，$AD = 2$，$∠ DAC = ∠ B$. 如果$△ ABD$的面积为15，求$△ ACD$的面积.
答案
3. 5
解析
【分析】
首先观察题目给出的角相等条件，结合公共角可判定两个三角形相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△ABD的面积已知，建立面积关系的方程即可求解。思考路径：先找角相等证相似→计算相似比得面积比→结合面积和的关系列方程求解。
【解析】
解：
∵$∠ DAC = ∠ B$，$∠ C = ∠ C$（公共角）
∴$△ ACD ∽ △ BCA$（两角对应相等，两三角形相似）
∴两三角形的相似比 $k = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
设$S_{△ ACD} = x$，已知$S_{△ ABD}=15$，则$S_{△ BCA} = x + 15$，代入得：
$\frac{x}{x+15} = \frac{1}{4}$
交叉相乘解得：$4x = x + 15$，$3x=15$，$x=5$
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是通过公共角和已知等角证明三角形相似，再利用相似三角形的面积比性质建立等式求解，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的角相等条件，结合公共角可判定两个三角形相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△ABD的面积已知，建立面积关系的方程即可求解。思考路径：先找角相等证相似→计算相似比得面积比→结合面积和的关系列方程求解。
【解析】
解：
∵$∠ DAC = ∠ B$，$∠ C = ∠ C$（公共角）
∴$△ ACD ∽ △ BCA$（两角对应相等，两三角形相似）
∴两三角形的相似比 $k = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
设$S_{△ ACD} = x$，已知$S_{△ ABD}=15$，则$S_{△ BCA} = x + 15$，代入得：
$\frac{x}{x+15} = \frac{1}{4}$
交叉相乘解得：$4x = x + 15$，$3x=15$，$x=5$
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是通过公共角和已知等角证明三角形相似，再利用相似三角形的面积比性质建立等式求解，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在 $△ ABC$ 中,$AE:EB = 1:2$,$EF // BC$,$AD // BC$,交 $CE$ 的延长线于点 $D$,求 $S_{△ AEF}: S_{△ BCE}$.
答案
4. 1:6
解析
【分析】
要求两个三角形的面积比，我们可以借助中间量$△ ABC$的面积进行转化：首先由$EF//BC$可证$△ AEF$与$△ ABC$相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到$△ AEF$和$△ ABC$的面积比；再根据$△ BCE$和$△ ABC$同高，面积比等于对应底的比，得到$△ BCE$和$△ ABC$的面积比；最后将两个比值作比，消去中间量即可得到所求结果。
【解析】
解：已知$AE:EB = 1:2$，因此$AE:AB = 1:(1+2) = 1:3$，$EB:AB = 2:3$。
1. 证明$△ AEF ∽ △ ABC$：
$\because EF // BC$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ACB$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，即$S_{△ AEF} = \frac{1}{9}S_{△ ABC}$。
2. 求$S_{△ BCE}$与$S_{△ ABC}$的关系：
$△ BCE$和$△ ABC$以$AB$为底时，高均为点$C$到直线$AB$的距离，二者同高，因此面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ BCE}}{S_{△ ABC}} = \frac{EB}{AB} = \frac{2}{3}$，即$S_{△ BCE} = \frac{2}{3}S_{△ ABC}$。
3. 计算所求比值：
$S_{△ AEF}:S_{△ BCE} = \frac{1}{9}S_{△ ABC}:\frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{1}{9}:\frac{2}{3} = 1:6$。
【答案】
$1:6$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积比规律，平行线的性质
【点评】
本题是相似与三角形面积的综合基础题，解题的关键是找到两个待求三角形与公共三角形$△ ABC$的面积关系，通过中间量转化得到最终比值，注意不要混淆相似三角形的相似比和面积比的对应关系。
【难度系数】
0.6
要求两个三角形的面积比，我们可以借助中间量$△ ABC$的面积进行转化：首先由$EF//BC$可证$△ AEF$与$△ ABC$相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到$△ AEF$和$△ ABC$的面积比；再根据$△ BCE$和$△ ABC$同高，面积比等于对应底的比，得到$△ BCE$和$△ ABC$的面积比；最后将两个比值作比，消去中间量即可得到所求结果。
【解析】
解：已知$AE:EB = 1:2$，因此$AE:AB = 1:(1+2) = 1:3$，$EB:AB = 2:3$。
1. 证明$△ AEF ∽ △ ABC$：
$\because EF // BC$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ B$，$∠ AFE = ∠ ACB$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，即$S_{△ AEF} = \frac{1}{9}S_{△ ABC}$。
2. 求$S_{△ BCE}$与$S_{△ ABC}$的关系：
$△ BCE$和$△ ABC$以$AB$为底时，高均为点$C$到直线$AB$的距离，二者同高，因此面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ BCE}}{S_{△ ABC}} = \frac{EB}{AB} = \frac{2}{3}$，即$S_{△ BCE} = \frac{2}{3}S_{△ ABC}$。
3. 计算所求比值：
$S_{△ AEF}:S_{△ BCE} = \frac{1}{9}S_{△ ABC}:\frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{1}{9}:\frac{2}{3} = 1:6$。
【答案】
$1:6$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积比规律，平行线的性质
【点评】
本题是相似与三角形面积的综合基础题，解题的关键是找到两个待求三角形与公共三角形$△ ABC$的面积关系，通过中间量转化得到最终比值，注意不要混淆相似三角形的相似比和面积比的对应关系。
【难度系数】
0.6
5. 如图,已知边长为10的正方形ABCD, E是BC边上一动点(与B,C不重合),连接AE. G是BC延长线上的点,过点E作AE的垂线,交∠DCG的平分线于点F,FG⊥BG.
(1) 求证:△ABE ∽ △EGF.
(2) 若EC = 2,求△CEF的面积.
(3) 当EC为何值时,△CEF的面积最大?
(1) 求证:△ABE ∽ △EGF.
(2) 若EC = 2,求△CEF的面积.
(3) 当EC为何值时,△CEF的面积最大?
答案
(1) 略;(2)$S_{△ CEF} = 8$;(3) 当$EC = 5$时,$△ CEF$的面积最大,最大为$\frac{25}{2}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE∽△EGF，先结合正方形和FG⊥BG的性质得到∠B=∠G=90°，再由AE⊥EF推导得到∠BAE=∠GEF，通过两角对应相等即可证明相似。
(2) 先根据角平分线的性质得出△FCG是等腰直角三角形，即FG=CG，设FG为未知数，结合第一问的相似三角形对应边成比例列方程求解FG的长度，再以EC为底、FG为高计算△CEF的面积。
(3) 设EC的长度为x，将FG的长度用含x的代数式表示，再把△CEF的面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出面积最大时对应的EC值和最大面积。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠GEF = 90°，
∴∠BAE=∠GEF。
∵FG⊥BG，
∴∠G=∠B=90°，
∴△ABE∽△EGF。
(2) 解：
∵正方形ABCD边长为10，EC=2，
∴BE=10-2=8。
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠FCG=45°，又∠G=90°，
∴FG=CG。
设FG=CG=x，则EG=2+x，由△ABE∽△EGF得$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，即$\frac{10}{2+x}=\frac{8}{x}$，
解得x=8，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× EC × FG=\frac{1}{2}×2×8=8$。
(3) 解：设EC=x，FG=CG=y，则BE=10-x，EG=x+y。
由相似三角形性质得$\frac{10}{x+y}=\frac{10-x}{y}$，化简得y=10-x，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2+5x$，
该二次函数开口向下，当$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值，最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $S_{△ CEF}=8$；
(3) 当EC=5时，△CEF的面积最大。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是利用相似三角形得到线段间的数量关系，再结合二次函数的性质求解最值，既考查了几何图形的性质，也考查了函数的应用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△ABE∽△EGF，先结合正方形和FG⊥BG的性质得到∠B=∠G=90°，再由AE⊥EF推导得到∠BAE=∠GEF，通过两角对应相等即可证明相似。
(2) 先根据角平分线的性质得出△FCG是等腰直角三角形，即FG=CG，设FG为未知数，结合第一问的相似三角形对应边成比例列方程求解FG的长度，再以EC为底、FG为高计算△CEF的面积。
(3) 设EC的长度为x，将FG的长度用含x的代数式表示，再把△CEF的面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出面积最大时对应的EC值和最大面积。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠GEF = 90°，
∴∠BAE=∠GEF。
∵FG⊥BG，
∴∠G=∠B=90°，
∴△ABE∽△EGF。
(2) 解：
∵正方形ABCD边长为10，EC=2，
∴BE=10-2=8。
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠FCG=45°，又∠G=90°，
∴FG=CG。
设FG=CG=x，则EG=2+x，由△ABE∽△EGF得$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，即$\frac{10}{2+x}=\frac{8}{x}$，
解得x=8，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× EC × FG=\frac{1}{2}×2×8=8$。
(3) 解：设EC=x，FG=CG=y，则BE=10-x，EG=x+y。
由相似三角形性质得$\frac{10}{x+y}=\frac{10-x}{y}$，化简得y=10-x，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2+5x$，
该二次函数开口向下，当$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值，最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $S_{△ CEF}=8$；
(3) 当EC=5时，△CEF的面积最大。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是利用相似三角形得到线段间的数量关系，再结合二次函数的性质求解最值，既考查了几何图形的性质，也考查了函数的应用。
【难度系数】
0.65
