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1. (2022·新疆中考)已知抛物线 $y=(x-2)^2+1$，下列结论错误的是(
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线 $x=2$
C.抛物线的顶点坐标为 $(2,1)$
D.当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D
)A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线 $x=2$
C.抛物线的顶点坐标为 $(2,1)$
D.当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
答案
1. D
2. (2023·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$相交于点A,B. 下列结论:①当$-2＜x＜3$时,$y_1＞y_2$;②$x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个解;③若$(-1,t_1)$,$(4,t_2)$是抛物线上的两点,则$t_1＜t_2$;④对于抛物线$y_2=ax^2+bx-3$,当$-2＜x＜3$时,$y_2$的取值范围是$0＜y_2＜5$. 其中正确结论的个数有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2. B
解析
∵直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$相交于点A,B,
∴由图象可知:当$-2＜x＜3$时,直线$y_1=mx+n$在抛物线$y_2=ax^2+bx-3$的上方,$\therefore y_1＞y_2$,$\therefore$①正确.由图象可知,抛物线$y_2=ax^2+bx-3$与x轴有两个交点,$\therefore$方程$ax^2+bx-3=0$有两个不相等的实数根,$\therefore x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个解,$\therefore$②正确.将点$(-2,5)$,$(3,0)$代入$y_2=ax^2+bx-3$,得
$\begin{cases}4a-2b-3=5\\9a+3b-3=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y_2=x^2-2x-3$,当$x=-1$时,$t_1=0$;当$x=4$时,$t_2=5$,$\therefore t_1＜t_2$,$\therefore$③正确.由③可知$(-2,5)$与点$(4,5)$关于对称轴对称,$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$.将$x=1$代入抛物线解析式得$y_2=-4$,$\therefore$当$-2＜x＜3$时,$-4≤ y_2＜5$,$\therefore$④错误.
解析
∵直线$y_1=mx+n$与抛物线$y_2=ax^2+bx-3$相交于点A,B,
∴由图象可知:当$-2＜x＜3$时,直线$y_1=mx+n$在抛物线$y_2=ax^2+bx-3$的上方,$\therefore y_1＞y_2$,$\therefore$①正确.由图象可知,抛物线$y_2=ax^2+bx-3$与x轴有两个交点,$\therefore$方程$ax^2+bx-3=0$有两个不相等的实数根,$\therefore x=3$是方程$ax^2+bx-3=0$的一个解,$\therefore$②正确.将点$(-2,5)$,$(3,0)$代入$y_2=ax^2+bx-3$,得
$\begin{cases}4a-2b-3=5\\9a+3b-3=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y_2=x^2-2x-3$,当$x=-1$时,$t_1=0$;当$x=4$时,$t_2=5$,$\therefore t_1＜t_2$,$\therefore$③正确.由③可知$(-2,5)$与点$(4,5)$关于对称轴对称,$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$.将$x=1$代入抛物线解析式得$y_2=-4$,$\therefore$当$-2＜x＜3$时,$-4≤ y_2＜5$,$\therefore$④错误.
3.(2024·新疆中考)如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +6$与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且$CD=3$.当$AD+BC$的值最小时，点C的坐标为
(4,1)
.答案
3. (4,1)
解析 作点A关于对称轴的对称点A',A'向下平移3个单位,得到A'',连接A''B,交对称轴于点C,此时$AD+BC$的值最小,$AD+BC=A''B$.在$y=\frac{1}{2}x^2-4x+6$中,令$x=0$,则$y=6$,$\therefore$点$A(0,6)$;令$y=0$,则$\frac{1}{2}x^2-4x+6=0$,解得$x=2$或$x=6$,$\therefore$点$B(2,0)$.$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$,$\therefore A'(8,6)$,$\therefore A''(8,3)$.设直线A''B的解析式为$y=kx+b$,代入A'',B的坐标得
$\begin{cases}8k+b=3\\2k+b=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$,$\therefore$直线A''B的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$.当$x=4$时,$y=1$,$\therefore C(4,1)$.
1.(乌鲁木齐模拟)顶点为$(-6,0)$,开口向下,形状与函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象相同的抛物线对应的解析式为(
A.$y=\frac{1}{2}(x-6)^2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+6)^2$
C.$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+6)^2$
D
)A.$y=\frac{1}{2}(x-6)^2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+6)^2$
C.$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+6)^2$
答案
1. D
2.(新市区模拟)二次函数$y=x^2 -4x +5$的图象上有两点$A(1,y_1),B(4,y_2)$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定
C
)A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定
答案
2. C
3.（吐鲁番模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax-a$的图象与二次函数$y=ax^2+bx$的图象可能是（
B
）答案
3. B
4.(喀什模拟)如图,抛物线$y=a_1x^2$与抛物线$y=a_2x^2+bx$交于点$A(3,m)$,过点A作x轴的平行线,与两条抛物线分别交于B,C两点.若点B是AC的中点,则$\frac{a_2}{a_1}=$（
A.$\frac{1}{3}$
B.3
C.$\frac{1}{9}$
D.9
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.3
C.$\frac{1}{9}$
D.9
答案
4. A
解析 抛物线$y=a_1x^2$的对称轴为直线$x=0$，抛物线$y=a_2x^2+bx$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a_2}$，$\therefore B(-3,m),C(-\frac{b}{2a_2}-[3-(-\frac{b}{2a_2})],m)$，即$C(-\frac{b}{a_2}-3,m),\therefore AB=6,BC=-3-(-\frac{b}{a_2}-3)=\frac{b}{a_2}$，由条件可知$6=\frac{b}{a_2}$，即$b=6a_2$，将$A(3,m)$分别代入$y=a_1x^2,y=a_2x^2+bx$，得$m=9a_1,m=9a_2+3b$，则$9a_1=9a_2+3b$，$\therefore 9a_1=9a_2+3×6a_2$，$\therefore 9a_1=27a_2,\therefore \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}$。
解析 抛物线$y=a_1x^2$的对称轴为直线$x=0$，抛物线$y=a_2x^2+bx$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a_2}$，$\therefore B(-3,m),C(-\frac{b}{2a_2}-[3-(-\frac{b}{2a_2})],m)$，即$C(-\frac{b}{a_2}-3,m),\therefore AB=6,BC=-3-(-\frac{b}{a_2}-3)=\frac{b}{a_2}$，由条件可知$6=\frac{b}{a_2}$，即$b=6a_2$，将$A(3,m)$分别代入$y=a_1x^2,y=a_2x^2+bx$，得$m=9a_1,m=9a_2+3b$，则$9a_1=9a_2+3b$，$\therefore 9a_1=9a_2+3×6a_2$，$\therefore 9a_1=27a_2,\therefore \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}$。
