19. (9分)如图,已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-1,0),B(3,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)当$0＜x＜3$时,请直接写出$y$的取值范围.
(3)点$P$为抛物线上的一点,若$S_{△ PAB}=10$,求出此时点$P$的坐标.

19. 解:(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点.
∴抛物线的解析式为$y=(x+1)(x-3)$,即$y=x^2-2x-3$.
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$.
(2)$-4≤y＜0$.
(3)设$P(t,t^2-2t-3)$,
∵$S_{△PAB}=10$,
∴$\frac{1}{2}×(3+1)×|t^2-2t-3|=10$,即$t^2-2t-3=5$或$t^2-2t-3=-5$,解方程$t^2-2t-3=5$,得$t_1=-2$,$t_2=4$,此时点$P$的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$;解方程$t^2-2t-3=-5$,得此方程没有实数解.综上所述,点$P$的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$.

20. (9分)【情境与问题】在研究二次函数$y=2x^2+1$时，小明得到了下表：
| $x$ | … | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
| $y=2x^2+1$ | … | $33$ | $19$ | $9$ | | $1$ | $3$ | $9$ | $19$ | $33$ | … |
观察上表，自变量$x$从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么规律吗？
【探索与发现】
若用一个倒“T”形的方框(如图)框住上表中的四个数，且将方框左右移动时，可框住另外四个数.设四个数中，上面的数为$t$，下面三个数从左到右依次为$l,m,n$.

(1)写出$n$与$t$之间的函数解析式：______.
(2)小明发现：$\dfrac{l+n}{2} - m$为定值.小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由.
【联系与拓展】
(3)①$t$为何值时，$n-2m$的值最大？
②若二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x=2026,2028,2030$时的函数值分别为$p,q,r$，且$\dfrac{p+r}{2} - q=10$，则$a=\_\_\_\_\_\_$.

20. 解:【情境与问题】示例:当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x=0$时,$y$取最小值为1.
【探索与发现】(1)$n=2(t+1)^2+1$
(2)小明的发现正确,证明如下:由题意得,当$x=t-1$时,$y=l=2(t-1)^2+1$;当$x=t$时,$y=m=2t^2+1$,
∴$\frac{l+n}{2}-m=\frac{2(t-1)^2+1+2(t+1)^2+1}{2}-(2t^2+1)=\frac{4t^2+6}{2}-2t^2-1=2t^2+3-2t^2-1=2$,
∴小明的发现正确,$\frac{l+n}{2}-m$为定值2.
【联系与拓展】(3)①由题意,得$n-2m=2(t+1)^2+1-2(2t^2+1)=2t^2+4t+2+1-4t^2-2=-2t^2+4t+1=-2(t-1)^2+3$.
∵$-2＜0$,
∴当$t=1$时,$n-2m$取最大值,最大值为3.
②$\frac{5}{2}$