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5. (乌鲁木齐模拟)将抛物线 $ y = -2x^2 + 4x + 1 $ 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的函数解析式为
$y=-2x^2-4x+4$
。答案
5. $y=-2x^2-4x+4$
6. (哈密模拟)对于二次函数$y=x^2 - 2mx - 3$，若$x=2$与$x=4$的函数值相等，则二次函数的最小值为
$-12$
。答案
6. -12
7.(和田模拟)在平面直角坐标系中,二次函数$y=x^2+mx+m^2 - m$($m$为常数)的图象经过点$(0,6)$,其对称轴在$y$轴左侧,则该二次函数的最小值为
$\frac{15}{4}$
.答案
7. $\frac{15}{4}$
解析 将点(0,6)代入二次函数得$6=m^2-m$，解得$m_1=3,m_2=-2$.$\because$二次函数$y=x^2+mx+m^2-m$图象的对称轴在y轴左侧，则$-\frac{m}{2}＜0$，即$m＞0,\therefore m=3,\therefore y=x^2+3x+6=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$，$\therefore$该二次函数的最小值为$\frac{15}{4}$。
解析 将点(0,6)代入二次函数得$6=m^2-m$，解得$m_1=3,m_2=-2$.$\because$二次函数$y=x^2+mx+m^2-m$图象的对称轴在y轴左侧，则$-\frac{m}{2}＜0$，即$m＞0,\therefore m=3,\therefore y=x^2+3x+6=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$，$\therefore$该二次函数的最小值为$\frac{15}{4}$。
8.(伊犁州模拟)已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的开口向上，且对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示，下列结论：
①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$4a+c＞0$；
④若$t$为任意实数，则有$a-bt≤at^2+b$；
⑤当图象经过点$(\frac{1}{2},2)$时，方程$ax^2+bx+c-2=0$的两根为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则$x_1+2x_2=-2$.其中正确的结论有
①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$4a+c＞0$；
④若$t$为任意实数，则有$a-bt≤at^2+b$；
⑤当图象经过点$(\frac{1}{2},2)$时，方程$ax^2+bx+c-2=0$的两根为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则$x_1+2x_2=-2$.其中正确的结论有
②③④
.(填序号)答案
8. ②③④
9.(乌鲁木齐模拟)已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx -1$（$m$为常数）.
(1)若点$(2,-1)$在该函数图象上,求$m$的值.
(2)证明:该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的交点.
(3)若该函数图象上有不重合的两点$A(m+1,y_1),B(m+p,y_2)$,且$y_1=y_2$,直接写出$p$的值.
(1)若点$(2,-1)$在该函数图象上,求$m$的值.
(2)证明:该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的交点.
(3)若该函数图象上有不重合的两点$A(m+1,y_1),B(m+p,y_2)$,且$y_1=y_2$,直接写出$p$的值.
答案
9. (1) 解:$\because$点$(2,-1)$在该函数图象上,$\therefore -1=\frac{1}{2}×2^2-2m-1$,解得$m=1$.
(2) 证明:$\because \Delta=(-m)^2-4×\frac{1}{2}×(-1)=m^2+2＞0$,$\therefore$一元二次方程$\frac{1}{2}x^2-mx-1=0$有两个不相等的实数根,即二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-mx-1$的图象与x轴有两个不同的交点.
(3) 解:二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-mx-1$的对称轴为直线$x=-\frac{-m}{2×\frac{1}{2}}=m$.$\because$该函数图象上有不重合的两点$A(m+1,y_1),B(m+p,y_2)$,且$y_1=y_2$,$\therefore \frac{m+1+m+p}{2}=m$,解得$p=-1$.
(2) 证明:$\because \Delta=(-m)^2-4×\frac{1}{2}×(-1)=m^2+2＞0$,$\therefore$一元二次方程$\frac{1}{2}x^2-mx-1=0$有两个不相等的实数根,即二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-mx-1$的图象与x轴有两个不同的交点.
(3) 解:二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-mx-1$的对称轴为直线$x=-\frac{-m}{2×\frac{1}{2}}=m$.$\because$该函数图象上有不重合的两点$A(m+1,y_1),B(m+p,y_2)$,且$y_1=y_2$,$\therefore \frac{m+1+m+p}{2}=m$,解得$p=-1$.
10.(乌鲁木齐天山区模拟)如图,已知抛物线$y=ax^2+\frac{3}{2}x+4$的对称轴是直线$x=3$,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求A,B两点的坐标.
(3)如图,若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与点B,C重合),是否存在点P,使$△ BPC$的面积最大?若存在,求点P的坐标及$△ BPC$的最大面积;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求A,B两点的坐标.
(3)如图,若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与点B,C重合),是否存在点P,使$△ BPC$的面积最大?若存在,求点P的坐标及$△ BPC$的最大面积;若不存在,请说明理由.
答案
10. 解:(1)$\because$抛物线的对称轴是直线$x=3$,$\therefore -\frac{\frac{3}{2}}{2a}=3$,解得$a=-\frac{1}{4}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4$.
(2) 当$y=0$时,$-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4=0$,解得$x_1=-2,x_2=8$,$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$,点B的坐标为$(8,0)$.
(3) 存在. 当$x=0$时,$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4=4$,$\therefore$点C的坐标为$(0,4)$. 设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,将$B(8,0),C(0,4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}8k+b=0\\b=4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=4\end{cases}$,$\therefore$直线BC的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$. 假设存在点P,使$△ BPC$的面积最大,设点P的坐标为$(n,-\frac{1}{4}n^2+\frac{3}{2}n+4)$. 如图,过点P作$PD// y$轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为$(n,-\frac{1}{2}n+4)$,则$PD=-\frac{1}{4}n^2+\frac{3}{2}n+4-(-\frac{1}{2}n+4)=-\frac{1}{4}n^2+2n$,$\therefore S_{△ PBC}=\frac{1}{2}PD· OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{4}n^2+2n)×8=-n^2+8n=-(n-4)^2+16$. $\because -1＜0$,$\therefore$当$n=4$时,$△ BPC$的面积最大,最大值是16,此时$P(4,6)$. 因此,存在点$P(4,6)$,使$△ BPC$的面积最大,$△ BPC$面积的最大值为16.
