20.已知二次函数$y=-\frac{1}{4}x^2 + x + 4$。
(1)求函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2)把此抛物线先向左平移2个单位,再向下平移2个单位,得到的新抛物线是否经过点$M(2,-1)$?请说明理由.

解:(1)
∵$y=-\frac{1}{4}x^2+x+4=-\frac{1}{4}(x-2)^2+5$,
∴该二次函数的对称轴为直线 $x=2$,顶点坐标为$(2,5)$。(2)不经过.理由如下:把此抛物线先向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位,得到的新抛物线解析式为 $y=-\frac{1}{4}(x-2+2)^2+5-2=-\frac{1}{4}x^2+3$。在 $y=-\frac{1}{4}x^2+3$ 中,当 $x=2$ 时,$y=-\frac{1}{4}×2^2+3=2$。
∵$2≠-1$,
∴新抛物线不经过点$M(2,-1)$。

21.已知二次函数的图象经过$A(0,3),B(-1,6),C(2,3)$三点.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)求该二次函数图象的顶点坐标.

解:(1)设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$,把 $A(0,3)$,$B(-1,6)$,$C(2,3)$ 代入,得$\begin{cases}c=3\\a-b+c=6\\4a+2b+c=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=3\end{cases}$,
∴二次函数的解析式为 $y=x^2-2x+3$。(2)
∵$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
∴顶点坐标是$(1,2)$。

22. 已知二次函数的图象的顶点坐标为$(1,-6)$，且经过点$(2,-8)$，求二次函数的解析式。

解:设二次函数的解析式为 $y=a(x-1)^2-6$,把$(2,-8)$代入,得 $a=-2$,则二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2-6$。

23.已知二次函数的图象过$A(1,0)$,$B(0,-3)$两点,且对称轴为直线$x=2$,求二次函数的解析式.

解:设二次函数的解析式为 $y=a(x-2)^2+k$。把$A(1,0)$,$B(0,-3)$代入,得$\begin{cases}0=a(1-2)^2+k\\-3=a(0-2)^2+k\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-1\\k=1\end{cases}$,则 $y=-(x-2)^2+1=-x^2+4x-3$,即二次函数的解析式为 $y=-x^2+4x-3$。