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4. 如图3，已知点$A(-4,8)$和点$B(2,n)$在抛物线$y=ax^2$上。
(1)求$a,n$的值；
(2)求$△ AOB$的面积。
(1)求$a,n$的值；
(2)求$△ AOB$的面积。
答案
解：
(1) 将点A(-4,8)代入$y=ax^2$，得
$8 = a·(-4)^2$
即16a=8，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
将点B(2,n)代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得
$n=\frac{1}{2}×2^2=2$。
综上，$a=\frac{1}{2}$，n=2。
(2) 设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(-4,8)、B(2,2)代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 8 \\ 2k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=4 \end{cases}$所以直线AB与y轴的交点坐标为C(0,4)。则$\begin{aligned}$
$S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\$
$&=\frac{1}{2}×4×$|-4|$ + \frac{1}{2}×4×2\$
&=8+4\\
&=12
$\end{aligned}$综上，△ AOB的面积为12。
(1) 将点A(-4,8)代入$y=ax^2$，得
$8 = a·(-4)^2$
即16a=8，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
将点B(2,n)代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得
$n=\frac{1}{2}×2^2=2$。
综上，$a=\frac{1}{2}$，n=2。
(2) 设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(-4,8)、B(2,2)代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 8 \\ 2k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=4 \end{cases}$所以直线AB与y轴的交点坐标为C(0,4)。则$\begin{aligned}$
$S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\$
$&=\frac{1}{2}×4×$|-4|$ + \frac{1}{2}×4×2\$
&=8+4\\
&=12
$\end{aligned}$综上，△ AOB的面积为12。
解析
【分析】
(1) 要确定a和n的值，已知点A在抛物线$y=ax^2$上，首先将点A的坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出a的值，得到完整的抛物线解析式后，再把点B的横坐标代入解析式，就能求出n的值。
(2) 求$△ AOB$的面积时，因为$△ AOB$的边均不在坐标轴上，直接计算面积较复杂，因此先求直线AB的解析式，找到直线AB与y轴的交点C，将$△ AOB$分割为$△ AOC$和$△ BOC$两个共底的小三角形，两个小三角形的高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
(1) 将点$A(-4,8)$代入$y=ax^2$，得：
$8 = a·(-4)^2$
即$16a=8$，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
将点$B(2,n)$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得：
$n=\frac{1}{2}×2^2=2$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,8)$、$B(2,2)$代入得方程组：
$\begin{cases} -4k + b = 8 \\ 2k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=4 \end{cases}$，因此直线AB与y轴的交点坐标为$C(0,4)$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}×4×|-4| + \frac{1}{2}×4×2\\&=8+4\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$n=2$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boxed{12}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了分割法计算不规则图形面积的技巧，解题的关键是合理拆分三角形，简化面积计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定a和n的值，已知点A在抛物线$y=ax^2$上，首先将点A的坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出a的值，得到完整的抛物线解析式后，再把点B的横坐标代入解析式，就能求出n的值。
(2) 求$△ AOB$的面积时，因为$△ AOB$的边均不在坐标轴上，直接计算面积较复杂，因此先求直线AB的解析式，找到直线AB与y轴的交点C，将$△ AOB$分割为$△ AOC$和$△ BOC$两个共底的小三角形，两个小三角形的高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
(1) 将点$A(-4,8)$代入$y=ax^2$，得：
$8 = a·(-4)^2$
即$16a=8$，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
将点$B(2,n)$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得：
$n=\frac{1}{2}×2^2=2$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,8)$、$B(2,2)$代入得方程组：
$\begin{cases} -4k + b = 8 \\ 2k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=4 \end{cases}$，因此直线AB与y轴的交点坐标为$C(0,4)$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}×4×|-4| + \frac{1}{2}×4×2\\&=8+4\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$n=2$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boxed{12}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了分割法计算不规则图形面积的技巧，解题的关键是合理拆分三角形，简化面积计算过程。
【难度系数】
0.7
5. 根据已知条件确定二次函数的表达式。
(1)图象的顶点为$(2,3)$，且经过点$(3,6)$；
(2)图象经过点$(1,0),(3,0)$和$(0,9)$；
(3)图象经过点$(1,0),(0,-3)$，且对称轴是直线$x=2$。
(1)图象的顶点为$(2,3)$，且经过点$(3,6)$；
(2)图象经过点$(1,0),(3,0)$和$(0,9)$；
(3)图象经过点$(1,0),(0,-3)$，且对称轴是直线$x=2$。
答案
解：
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-2)^2+3$，
将点$(3,6)$代入得：
$6=a(3-2)^2+3$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-2)^2+3$，即$y=3x^2-12x+15$。
(2) 设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,9)$代入得：
$9=a(0-1)(0-3)$，即$3a=9$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-1)(x-3)$，即$y=3x^2-12x+9$。
(3) 由二次函数对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,0)$，可得函数图象过点$(1,0)$关于直线$x=2$的对称点$(3,0)$，
设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，即$3a=-3$，
解得$a=-1$，
因此二次函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-2)^2+3$，
将点$(3,6)$代入得：
$6=a(3-2)^2+3$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-2)^2+3$，即$y=3x^2-12x+15$。
(2) 设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,9)$代入得：
$9=a(0-1)(0-3)$，即$3a=9$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-1)(x-3)$，即$y=3x^2-12x+9$。
(3) 由二次函数对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,0)$，可得函数图象过点$(1,0)$关于直线$x=2$的对称点$(3,0)$，
设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，即$3a=-3$，
解得$a=-1$，
因此二次函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
解析
【分析】
求二次函数表达式常用待定系数法，需根据已知条件选择最简便的解析式形式：
(1)已知顶点坐标，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），只需代入另外一个已知点求出$a$的值即可得到解析式；
(2)已知图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1,x_2$是图象与x轴交点的横坐标），代入第三个已知点求出$a$即可；
(3)已知对称轴和一个与x轴的交点，可先利用二次函数的对称性求出另一个与x轴的交点，再用交点式求解，相比设一般式列方程组计算更简便。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-2)^2+3$，
将点$(3,6)$代入得：
$6=a(3-2)^2+3$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-2)^2+3$，即$y=3x^2-12x+15$。
(2) 设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,9)$代入得：
$9=a(0-1)(0-3)$，即$3a=9$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-1)(x-3)$，即$y=3x^2-12x+9$。
(3) 由二次函数对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,0)$，可得函数图象过点$(1,0)$关于直线$x=2$的对称点$(3,0)$，
设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，即$3a=-3$，
解得$a=-1$，
因此二次函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
【答案】
(1)$y=3x^2-12x+15$（或$y=3(x-2)^2+3$）
(2)$y=3x^2-12x+9$（或$y=3(x-1)(x-3)$）
(3)$y=-x^2+4x-3$（或$y=-(x-1)(x-3)$）
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式；二次函数顶点式；二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知条件灵活选择合适的解析式形式，选用顶点式或交点式可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
求二次函数表达式常用待定系数法，需根据已知条件选择最简便的解析式形式：
(1)已知顶点坐标，优先选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），只需代入另外一个已知点求出$a$的值即可得到解析式；
(2)已知图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1,x_2$是图象与x轴交点的横坐标），代入第三个已知点求出$a$即可；
(3)已知对称轴和一个与x轴的交点，可先利用二次函数的对称性求出另一个与x轴的交点，再用交点式求解，相比设一般式列方程组计算更简便。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-2)^2+3$，
将点$(3,6)$代入得：
$6=a(3-2)^2+3$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-2)^2+3$，即$y=3x^2-12x+15$。
(2) 设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,9)$代入得：
$9=a(0-1)(0-3)$，即$3a=9$，
解得$a=3$，
因此二次函数表达式为$y=3(x-1)(x-3)$，即$y=3x^2-12x+9$。
(3) 由二次函数对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,0)$，可得函数图象过点$(1,0)$关于直线$x=2$的对称点$(3,0)$，
设二次函数的交点式为$y=a(x-1)(x-3)$，
将点$(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，即$3a=-3$，
解得$a=-1$，
因此二次函数表达式为$y=-(x-1)(x-3)$，即$y=-x^2+4x-3$。
【答案】
(1)$y=3x^2-12x+15$（或$y=3(x-2)^2+3$）
(2)$y=3x^2-12x+9$（或$y=3(x-1)(x-3)$）
(3)$y=-x^2+4x-3$（或$y=-(x-1)(x-3)$）
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式；二次函数顶点式；二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知条件灵活选择合适的解析式形式，选用顶点式或交点式可有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
1. (2024·包头)将抛物线$y=x^2+2x$向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（）
A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数平移的核心是顶点的平移，所以第一步需要先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，得到原顶点坐标；再根据“向下平移纵坐标减”的平移规律，计算出新抛物线的顶点坐标，结合二次项系数不变的特点，即可写出新抛物线的顶点式。
【解析】
首先将原抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2+2x = x^2+2x+1 - 1 = (x+1)^2 - 1$
可知原抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$，二次项系数$a=1$。
将抛物线向下平移2个单位长度，顶点的横坐标不变，纵坐标减少2，得到新顶点坐标为$(-1, -1 - 2) = (-1,-3)$。
平移不改变二次项系数，因此新抛物线的顶点式为$y=(x+1)^2 - 3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象平移，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法，以及图象平移“上加下减、左加右减”的运算规律，熟练掌握这两点就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数平移的核心是顶点的平移，所以第一步需要先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，得到原顶点坐标；再根据“向下平移纵坐标减”的平移规律，计算出新抛物线的顶点坐标，结合二次项系数不变的特点，即可写出新抛物线的顶点式。
【解析】
首先将原抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2+2x = x^2+2x+1 - 1 = (x+1)^2 - 1$
可知原抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$，二次项系数$a=1$。
将抛物线向下平移2个单位长度，顶点的横坐标不变，纵坐标减少2，得到新顶点坐标为$(-1, -1 - 2) = (-1,-3)$。
平移不改变二次项系数，因此新抛物线的顶点式为$y=(x+1)^2 - 3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象平移，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法，以及图象平移“上加下减、左加右减”的运算规律，熟练掌握这两点就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图4,将函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$的图象沿$y$轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点$A(1,m),B(4,n)$平移后的对应点分别为点$A',B'$。若曲线段$AB$扫过的面积(图中的阴影部分)为9,则新图象的函数表达式是 ()
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -2$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -5$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4$
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -2$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +7$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -5$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +4$
答案
D
解析
【分析】
首先明确本题考查二次函数的平移变换，解题思路如下：1. 二次函数沿y轴平移时遵循“上加下减常数项”的规律，因此只需求出向上平移的距离即可得到新函数解析式；2. 曲线段AB扫过的阴影面积可通过割补法转化为平行四边形的面积，该平行四边形的底为A、B两点的横坐标之差，高为平移的距离，结合已知面积即可求出平移距离。
【解析】
设函数图象沿y轴向上平移了$ h $个单位长度。
由于是沿y轴向上平移，平移前后两点横坐标不变，曲线段AB扫过的阴影部分可通过割补转化为平行四边形：
平行四边形的底为A、B两点的横坐标差：$ 4-1=3 $，高为平移的距离$ h $。
已知阴影面积为9，根据平行四边形面积公式可得：
$ 3h=9 $，解得$ h=3 $。
根据二次函数平移“上加下减”的规律，原函数$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1 $向上平移3个单位后，新函数解析式为：
$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1+3=\frac{1}{2}(x-2)^2+4 $。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律、割补法求面积、平移的性质
【点评】
本题是二次函数平移的典型题型，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则的平行四边形面积，避免计算m、n的具体值，能有效简化运算，考查了学生对平移性质的理解和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
首先明确本题考查二次函数的平移变换，解题思路如下：1. 二次函数沿y轴平移时遵循“上加下减常数项”的规律，因此只需求出向上平移的距离即可得到新函数解析式；2. 曲线段AB扫过的阴影面积可通过割补法转化为平行四边形的面积，该平行四边形的底为A、B两点的横坐标之差，高为平移的距离，结合已知面积即可求出平移距离。
【解析】
设函数图象沿y轴向上平移了$ h $个单位长度。
由于是沿y轴向上平移，平移前后两点横坐标不变，曲线段AB扫过的阴影部分可通过割补转化为平行四边形：
平行四边形的底为A、B两点的横坐标差：$ 4-1=3 $，高为平移的距离$ h $。
已知阴影面积为9，根据平行四边形面积公式可得：
$ 3h=9 $，解得$ h=3 $。
根据二次函数平移“上加下减”的规律，原函数$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1 $向上平移3个单位后，新函数解析式为：
$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1+3=\frac{1}{2}(x-2)^2+4 $。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律、割补法求面积、平移的性质
【点评】
本题是二次函数平移的典型题型，解题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则的平行四边形面积，避免计算m、n的具体值，能有效简化运算，考查了学生对平移性质的理解和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
