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3. (2024·内江)已知二次函数$y=x^2 -2x +1$的图象向左平移两个单位长度得到抛物线$C$,点$P(2,y_1),Q(3,y_2)$在抛物线$C$上,则$y_1$$y_2$。(填“＞”或“＜”)
答案
$＜$
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：第一步，先根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，比较$y_1$和$y_2$的大小，既可以直接代入两点的横坐标计算出函数值后比较，也可以结合抛物线的开口方向、增减性，根据两点横坐标的大小关系判断对应函数值的大小。
【解析】
首先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据平移规律，图象向左平移2个单位长度，需给自变量$x$加2，因此抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法1：代入求值比较
把$P(2,y_1)$代入$y=(x+1)^2$，得$y_1=(2+1)^2=9$
把$Q(3,y_2)$代入$y=(x+1)^2$，得$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性比较
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而增大。
已知$2＜3$，且2、3都在对称轴右侧，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的增减性；二次函数求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移性质和函数值大小比较的方法，熟练掌握平移规律和二次函数的增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题可按以下思路思考：第一步，先根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，比较$y_1$和$y_2$的大小，既可以直接代入两点的横坐标计算出函数值后比较，也可以结合抛物线的开口方向、增减性，根据两点横坐标的大小关系判断对应函数值的大小。
【解析】
首先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据平移规律，图象向左平移2个单位长度，需给自变量$x$加2，因此抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法1：代入求值比较
把$P(2,y_1)$代入$y=(x+1)^2$，得$y_1=(2+1)^2=9$
把$Q(3,y_2)$代入$y=(x+1)^2$，得$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性比较
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而增大。
已知$2＜3$，且2、3都在对称轴右侧，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的增减性；二次函数求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移性质和函数值大小比较的方法，熟练掌握平移规律和二次函数的增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图5，抛物线$y=ax^2 -5ax +4a$与x轴相交于点A,B，且过点C(5,4)。
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式。
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式。
答案
解：
(1) 将点$C(5,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2 -5ax +4a$，得：
$25a - 25a +4a =4$
解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2 -5x +4$，
对解析式配方得：
$y=x^2 -5x +4 = (x-\frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$
∴抛物线顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$。
(2) 平移方法：先将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
此时顶点坐标变为$(\frac{5}{2}-3, -\frac{9}{4}+3)$，即$(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$，落在第二象限。
平移后抛物线的表达式为$y=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，整理得$y=x^2 +x +1$。
（注：平移方案不唯一，满足顶点在第二象限即可）
(1) 将点$C(5,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2 -5ax +4a$，得：
$25a - 25a +4a =4$
解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2 -5x +4$，
对解析式配方得：
$y=x^2 -5x +4 = (x-\frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$
∴抛物线顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$。
(2) 平移方法：先将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
此时顶点坐标变为$(\frac{5}{2}-3, -\frac{9}{4}+3)$，即$(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$，落在第二象限。
平移后抛物线的表达式为$y=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，整理得$y=x^2 +x +1$。
（注：平移方案不唯一，满足顶点在第二象限即可）
解析
【分析】
(1) 第一问可利用待定系数法求解：函数图象上的点满足函数解析式，将点C坐标代入抛物线表达式即可得到关于a的方程，解出a的值后，通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 第二问首先明确第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，调整原顶点的横、纵坐标，使平移后的顶点符合第二象限坐标特征，再根据新顶点坐标写出平移后的抛物线表达式即可，平移方案不唯一。
【解析】
(1) 将点$C(5,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2 -5ax +4a$，得：
$25a - 25a +4a =4$
解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2 -5x +4$，
对解析式配方得：
$y=x^2 -5x +4 = (x-\frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$
∴抛物线顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$。
(2) 平移方法示例：先将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
此时顶点坐标变为$(\frac{5}{2}-3, -\frac{9}{4}+3)$，即$(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$，落在第二象限。
平移后抛物线的表达式为$y=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，整理得$y=x^2 +x +1$。
（平移方案不唯一，满足顶点在第二象限即可）
【答案】
(1) $a=1$，顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$；
(2) 示例：向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线解析式为$y=x^2 +x +1$（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问重点考查二次函数参数求解和顶点坐标的计算方法，第二问为开放性设问，需要结合象限坐标特征和平移规律作答，能有效考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问可利用待定系数法求解：函数图象上的点满足函数解析式，将点C坐标代入抛物线表达式即可得到关于a的方程，解出a的值后，通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 第二问首先明确第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，调整原顶点的横、纵坐标，使平移后的顶点符合第二象限坐标特征，再根据新顶点坐标写出平移后的抛物线表达式即可，平移方案不唯一。
【解析】
(1) 将点$C(5,4)$代入抛物线解析式$y=ax^2 -5ax +4a$，得：
$25a - 25a +4a =4$
解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2 -5x +4$，
对解析式配方得：
$y=x^2 -5x +4 = (x-\frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$
∴抛物线顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$。
(2) 平移方法示例：先将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
此时顶点坐标变为$(\frac{5}{2}-3, -\frac{9}{4}+3)$，即$(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$，落在第二象限。
平移后抛物线的表达式为$y=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，整理得$y=x^2 +x +1$。
（平移方案不唯一，满足顶点在第二象限即可）
【答案】
(1) $a=1$，顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$；
(2) 示例：向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线解析式为$y=x^2 +x +1$（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题，第一问重点考查二次函数参数求解和顶点坐标的计算方法，第二问为开放性设问，需要结合象限坐标特征和平移规律作答，能有效考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
1. (2025·山东)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度$y$(厘米/天)和光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围($200≤ x＜1000$)内,$y$与$x$近似成一次函数关系;在中高光照强度范围($x≥1000$)内,$y$与$x$近似成二次函数关系。其部分图象如图6所示。根据图象,下列结论正确的是 ()
A.当$x≥1000$时,$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2000$时,$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时,$x≥1000$
D.当$y=0.4$时,$x=600$
A.当$x≥1000$时,$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2000$时,$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时,$x≥1000$
D.当$y=0.4$时,$x=600$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确函数分两段：200≤x＜1000为一次函数，x≥1000为开口向下的二次函数。首先利用二次函数上纵坐标相同的两点求出对称轴，再结合一次函数、二次函数的增减性、取值范围逐个判断选项即可。
【解析】
1. 分析二次函数段（x≥1000）性质：
由图象可知，二次函数过点(1000, 0.6)和(3000, 0.6)，两点纵坐标相同，因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，且抛物线开口向下。
2. 逐个判断选项：
选项A：x≥1000时，1000≤x＜2000时y随x增大而增大，x＞2000时y随x增大而减小，因此A错误；
选项B：开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，即x=2000时y有最大值，因此B正确；
选项C：结合图象，y≥0.6时x的取值范围是$1000≤x≤3000$，并非x≥1000，因此C错误；
选项D：先求一次函数解析式，设200≤x＜1000时$y=kx+b$，代入(200,0.3)、(1000,0.6)得$\begin{cases}200k+b=0.3\\1000k+b=0.6\end{cases}$，解得$k=\frac{3}{8000},b=0.225$。当y=0.4时，代入一次函数得$x\approx467$，同时二次函数段还有2个x值对应y=0.4，因此D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的性质，函数图象的应用
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查分段函数的性质，解题核心是利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合函数增减性、取值范围分析选项，能有效考查学生的读图能力和函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确函数分两段：200≤x＜1000为一次函数，x≥1000为开口向下的二次函数。首先利用二次函数上纵坐标相同的两点求出对称轴，再结合一次函数、二次函数的增减性、取值范围逐个判断选项即可。
【解析】
1. 分析二次函数段（x≥1000）性质：
由图象可知，二次函数过点(1000, 0.6)和(3000, 0.6)，两点纵坐标相同，因此该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，且抛物线开口向下。
2. 逐个判断选项：
选项A：x≥1000时，1000≤x＜2000时y随x增大而增大，x＞2000时y随x增大而减小，因此A错误；
选项B：开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，即x=2000时y有最大值，因此B正确；
选项C：结合图象，y≥0.6时x的取值范围是$1000≤x≤3000$，并非x≥1000，因此C错误；
选项D：先求一次函数解析式，设200≤x＜1000时$y=kx+b$，代入(200,0.3)、(1000,0.6)得$\begin{cases}200k+b=0.3\\1000k+b=0.6\end{cases}$，解得$k=\frac{3}{8000},b=0.225$。当y=0.4时，代入一次函数得$x\approx467$，同时二次函数段还有2个x值对应y=0.4，因此D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的性质，函数图象的应用
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查分段函数的性质，解题核心是利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合函数增减性、取值范围分析选项，能有效考查学生的读图能力和函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 若汽车刹车后行驶的距离$s(\mathrm{m})$关于行驶时间$t(\mathrm{s})$的函数关系式是$s=15t-6t^2$，则汽车从刹车到停止所用时间为________s。
答案
$\boldsymbol{1.25}$（或$\frac{5}{4}$）
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要理解实际场景的数学含义：汽车刹车后速度逐渐减小，直到停止时行驶距离$s$达到最大值，之后$s$不会再随时间增加而变大。题目给出的$s$关于$t$的函数是开口向下的二次函数，其顶点（最高点）对应的横坐标就是刹车到停止的时间，因此只需用二次函数顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
解：汽车刹车到停止时，行驶距离$s$取得最大值。
将函数关系式整理为标准二次函数形式：$s=-6t^2+15t$，其中$a=-6＜0$，$b=15$，函数图象开口向下，顶点处$s$取最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=1.25(\mathrm{s})$
【答案】
$1.25$（或$\frac{5}{4}$）
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是将“刹车到停止”的实际场景转化为二次函数取最大值的数学条件，再结合顶点公式求解，计算时要注意系数的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要理解实际场景的数学含义：汽车刹车后速度逐渐减小，直到停止时行驶距离$s$达到最大值，之后$s$不会再随时间增加而变大。题目给出的$s$关于$t$的函数是开口向下的二次函数，其顶点（最高点）对应的横坐标就是刹车到停止的时间，因此只需用二次函数顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
解：汽车刹车到停止时，行驶距离$s$取得最大值。
将函数关系式整理为标准二次函数形式：$s=-6t^2+15t$，其中$a=-6＜0$，$b=15$，函数图象开口向下，顶点处$s$取最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{15}{2×(-6)}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=1.25(\mathrm{s})$
【答案】
$1.25$（或$\frac{5}{4}$）
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是将“刹车到停止”的实际场景转化为二次函数取最大值的数学条件，再结合顶点公式求解，计算时要注意系数的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.7
3. (2025·连云港)如图7,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度。若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为m。
答案
解：
将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6 = a·(0-3)^2 + 2.5$
$9a = 1.6 - 2.5$
$9a = -0.9$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 + 2.5$
令$y=0$，得：
$0 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
整理得：$(x-3)^2 = 25$
开方得：$x-3 = \pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）
所以铅球掷出的水平距离$OB$为$\boldsymbol{8}$ m。
将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6 = a·(0-3)^2 + 2.5$
$9a = 1.6 - 2.5$
$9a = -0.9$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 + 2.5$
令$y=0$，得：
$0 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
整理得：$(x-3)^2 = 25$
开方得：$x-3 = \pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不符合实际意义，舍去）
所以铅球掷出的水平距离$OB$为$\boldsymbol{8}$ m。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，题目给出了抛物线的顶点式，仅参数a未知，已知OA=1.6m，即x=0时y=1.6，将该点坐标代入抛物线解析式即可求出参数a，得到完整的函数表达式；第二步，OB是铅球落地时的水平距离，此时铅球离地高度y=0，将y=0代入解析式求解x，舍去不符合实际意义的负解，得到的正解就是OB的长度。
【解析】
将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6 = a·(0-3)^2 + 2.5$
计算得$9a = 1.6 - 2.5 = -0.9$，解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 + 2.5$
铅球落地时高度为0，令$y=0$，代入得：
$0 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
整理得：$(x-3)^2 = 25$
开方得：$x-3 = \pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$，水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$
所以铅球掷出的水平距离OB为8m。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在抛体运动中的典型应用，解题关键是准确理解实际场景中坐标对应的物理意义，代入已知点求解解析式，最终得到的解要结合实际场景筛选，整体逻辑清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，题目给出了抛物线的顶点式，仅参数a未知，已知OA=1.6m，即x=0时y=1.6，将该点坐标代入抛物线解析式即可求出参数a，得到完整的函数表达式；第二步，OB是铅球落地时的水平距离，此时铅球离地高度y=0，将y=0代入解析式求解x，舍去不符合实际意义的负解，得到的正解就是OB的长度。
【解析】
将$x=0$，$y=1.6$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6 = a·(0-3)^2 + 2.5$
计算得$9a = 1.6 - 2.5 = -0.9$，解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 + 2.5$
铅球落地时高度为0，令$y=0$，代入得：
$0 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
整理得：$(x-3)^2 = 25$
开方得：$x-3 = \pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$，水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$
所以铅球掷出的水平距离OB为8m。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在抛体运动中的典型应用，解题关键是准确理解实际场景中坐标对应的物理意义，代入已知点求解解析式，最终得到的解要结合实际场景筛选，整体逻辑清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
