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4. 某校计划围一个矩形小菜园作为劳动实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展问题解决活动。在设计方案的环节，该学习小组整理出了下表，请你根据素材完成任务。
答案
解：
设垂直于外墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于外墙的一边长为$ (80-2x) \, \mathrm{m} $。
由外墙长50m，可得边长的取值范围：
$\begin{cases}80-2x ＞ 0 \\80-2x ≤ 50\end{cases}$
解得$ 15 ≤ x ＜ 40 $。
(1) 令小菜园面积$ S = 600 \, \mathrm{m}^2 $，可得方程：
$x(80-2x) = 600$
整理得：$ x^2 - 40x + 300 = 0 $
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 30 $。
因为$ 15 ≤ x ＜ 40 $，所以$ x=10 $不符合题意，舍去。
当$ x=30 $时，平行于外墙的边长为$ 80-2×30=20 \, \mathrm{m} $，$ 20＜50 $，符合要求。
所以小菜园的面积能达到$ 600 \, \mathrm{m}^2 $，设计方案为：垂直于外墙的边长为30m，平行于外墙的边长为20m。
(2) 设小菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(80-2x) = -2x^2 + 80x$
配方得：
$S = -2(x-20)^2 + 800$
因为$ -2 ＜ 0 $，且$ 15 ≤ 20 ＜ 40 $，所以当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
此时平行于外墙的边长为$ 80-2×20=40 \, \mathrm{m} $，$ 40＜50 $，符合要求。
所以设计方案为：垂直于外墙的边长为20m，平行于外墙的边长为40m时，小菜园面积最大。
设垂直于外墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于外墙的一边长为$ (80-2x) \, \mathrm{m} $。
由外墙长50m，可得边长的取值范围：
$\begin{cases}80-2x ＞ 0 \\80-2x ≤ 50\end{cases}$
解得$ 15 ≤ x ＜ 40 $。
(1) 令小菜园面积$ S = 600 \, \mathrm{m}^2 $，可得方程：
$x(80-2x) = 600$
整理得：$ x^2 - 40x + 300 = 0 $
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 30 $。
因为$ 15 ≤ x ＜ 40 $，所以$ x=10 $不符合题意，舍去。
当$ x=30 $时，平行于外墙的边长为$ 80-2×30=20 \, \mathrm{m} $，$ 20＜50 $，符合要求。
所以小菜园的面积能达到$ 600 \, \mathrm{m}^2 $，设计方案为：垂直于外墙的边长为30m，平行于外墙的边长为20m。
(2) 设小菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(80-2x) = -2x^2 + 80x$
配方得：
$S = -2(x-20)^2 + 800$
因为$ -2 ＜ 0 $，且$ 15 ≤ 20 ＜ 40 $，所以当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
此时平行于外墙的边长为$ 80-2×20=40 \, \mathrm{m} $，$ 40＜50 $，符合要求。
所以设计方案为：垂直于外墙的边长为20m，平行于外墙的边长为40m时，小菜园面积最大。
解析
【分析】
解决这道题首先要结合实际场景理清矩形边长的关系：我们设垂直于外墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，那么平行于外墙的边长就可以用总篱笆长表示为$(80-2x)\ \mathrm{m}$，首先要根据外墙长50m的限制求出$x$的取值范围，避免后续解不符合实际要求。对于任务1，要判断面积能否达到$600\ \mathrm{m^2}$，只需根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解是否在$x$的取值范围内即可。对于任务2，求最大面积时，我们可以把面积表示为关于$x$的二次函数，结合二次函数的性质和$x$的取值范围，就能求出面积最大值对应的设计方案。
【解析】
设垂直于外墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的一边长为$(80-2x)\ \mathrm{m}$。
由外墙长50m，可得边长的取值范围：
$\begin{cases}80-2x ＞ 0 \\80-2x ≤ 50\end{cases}$
解得$ 15 ≤ x ＜ 40 $。
(1) 令小菜园面积$ S = 600 \, \mathrm{m}^2 $，可得方程：
$x(80-2x) = 600$
整理得：$ x^2 - 40x + 300 = 0 $
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 30 $。
因为$ 15 ≤ x ＜ 40 $，所以$ x=10 $不符合题意，舍去。
当$ x=30 $时，平行于外墙的边长为$ 80-2×30=20\ \mathrm{m} $，$20＜50$，符合要求。
(2) 设小菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(80-2x) = -2x^2 + 80x$
配方得：
$S = -2(x-20)^2 + 800$
因为$ -2 ＜ 0 $，且$ 15 ≤ 20 ＜ 40 $，所以当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
此时平行于外墙的边长为$ 80-2×20=40\ \mathrm{m} $，$40＜50$，符合要求。
【答案】
(1) 小菜园的面积能达到$600\ \mathrm{m^2}$，设计方案为：垂直于外墙的边长为30m，平行于外墙的边长为20m。
(2) 当垂直于外墙的边长为20m，平行于外墙的边长为40m时，小菜园面积最大，最大面积为$800\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际考查代数知识的应用，解题时要注意先根据实际限制确定自变量的取值范围，求解后要验证结果是否符合实际场景，避免出现仅满足数学方程但不符合实际要求的错误，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解决这道题首先要结合实际场景理清矩形边长的关系：我们设垂直于外墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，那么平行于外墙的边长就可以用总篱笆长表示为$(80-2x)\ \mathrm{m}$，首先要根据外墙长50m的限制求出$x$的取值范围，避免后续解不符合实际要求。对于任务1，要判断面积能否达到$600\ \mathrm{m^2}$，只需根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解是否在$x$的取值范围内即可。对于任务2，求最大面积时，我们可以把面积表示为关于$x$的二次函数，结合二次函数的性质和$x$的取值范围，就能求出面积最大值对应的设计方案。
【解析】
设垂直于外墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的一边长为$(80-2x)\ \mathrm{m}$。
由外墙长50m，可得边长的取值范围：
$\begin{cases}80-2x ＞ 0 \\80-2x ≤ 50\end{cases}$
解得$ 15 ≤ x ＜ 40 $。
(1) 令小菜园面积$ S = 600 \, \mathrm{m}^2 $，可得方程：
$x(80-2x) = 600$
整理得：$ x^2 - 40x + 300 = 0 $
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 30 $。
因为$ 15 ≤ x ＜ 40 $，所以$ x=10 $不符合题意，舍去。
当$ x=30 $时，平行于外墙的边长为$ 80-2×30=20\ \mathrm{m} $，$20＜50$，符合要求。
(2) 设小菜园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则：
$S = x(80-2x) = -2x^2 + 80x$
配方得：
$S = -2(x-20)^2 + 800$
因为$ -2 ＜ 0 $，且$ 15 ≤ 20 ＜ 40 $，所以当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为800。
此时平行于外墙的边长为$ 80-2×20=40\ \mathrm{m} $，$40＜50$，符合要求。
【答案】
(1) 小菜园的面积能达到$600\ \mathrm{m^2}$，设计方案为：垂直于外墙的边长为30m，平行于外墙的边长为20m。
(2) 当垂直于外墙的边长为20m，平行于外墙的边长为40m时，小菜园面积最大，最大面积为$800\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际考查代数知识的应用，解题时要注意先根据实际限制确定自变量的取值范围，求解后要验证结果是否符合实际场景，避免出现仅满足数学方程但不符合实际要求的错误，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
5. (2024·南充)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产。A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件。已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元。
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元。
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件。市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价)。设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完。设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元。(利润=售价-进价)
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元。
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件。市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价)。设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完。设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元。(利润=售价-进价)
答案
解：
(1) 设A类特产每件售价为$a$元，B类特产每件售价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b = 132 \\3a + 5b = 540\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 60 \\b = 72\end{cases}$
答：A类特产每件售价60元，B类特产每件售价72元。
(2) 根据题意，每天销售量$y$为原销量加上降价后多售出的数量：
$y = 60 + 10x$
由每件售价不低于进价，得$60 - x ≥ 50$，即$x ≤ 10$，结合降价非负得$x ≥ 0$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$y = 10x + 60$，自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$。
(3) 销售每件A类特产的利润为$(60 - x - 50) = (10 - x)$元，销售每件B类特产的利润为$72 - 60 = 12$元。
总利润$w$为两类特产利润之和：
$\begin{aligned}w&=(10 - x)(60 + 10x) + 12 × 100 \\&=-10x^2 + 40x + 600 + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 1800\end{aligned}$
该二次函数开口向下，对称轴为$x = -\frac{40}{2×(-10)} = 2$，且$2$在$0 ≤ x ≤ 10$范围内。
当$x=2$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}} = -10×2^2 + 40×2 + 1800 = 1840$
答：$w$与$x$的函数关系式为$w=-10x^2+40x+1800$，每件A类特产降价2元时总利润$w$最大，最大利润是1840元。
(1) 设A类特产每件售价为$a$元，B类特产每件售价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b = 132 \\3a + 5b = 540\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 60 \\b = 72\end{cases}$
答：A类特产每件售价60元，B类特产每件售价72元。
(2) 根据题意，每天销售量$y$为原销量加上降价后多售出的数量：
$y = 60 + 10x$
由每件售价不低于进价，得$60 - x ≥ 50$，即$x ≤ 10$，结合降价非负得$x ≥ 0$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$y = 10x + 60$，自变量$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$。
(3) 销售每件A类特产的利润为$(60 - x - 50) = (10 - x)$元，销售每件B类特产的利润为$72 - 60 = 12$元。
总利润$w$为两类特产利润之和：
$\begin{aligned}w&=(10 - x)(60 + 10x) + 12 × 100 \\&=-10x^2 + 40x + 600 + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 1800\end{aligned}$
该二次函数开口向下，对称轴为$x = -\frac{40}{2×(-10)} = 2$，且$2$在$0 ≤ x ≤ 10$范围内。
当$x=2$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}} = -10×2^2 + 40×2 + 1800 = 1840$
答：$w$与$x$的函数关系式为$w=-10x^2+40x+1800$，每件A类特产降价2元时总利润$w$最大，最大利润是1840元。
解析
【分析】
(1) 第一问求两类特产的售价，题目给出两个售价相关的等量关系：①1件A售价+1件B售价=132元；②3件A售价+5件B售价=540元，设A、B的售价分别为a元、b元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问求y与x的函数关系式，已知A原价销售每天卖60件，每降价1元多卖10件，降价x元后多卖10x件，总销量为原销量加多卖的数量；自变量x的取值需满足两个条件：一是降价金额非负即x≥0，二是售价不低于进价即60-x≥50，解不等式即可得到x的范围。
(3) 第三问求总利润w的函数关系式和最值，总利润=A类总利润+B类总利润。先算出A每件利润为(60-x-50)元，销量为y件，B每件利润为(72-60)元，销量固定100件，代入即可得到w关于x的二次函数，结合二次函数开口方向和x的取值范围，即可找到函数最大值。
【解析】
(1) 设A类特产每件售价为$a$元，B类特产每件售价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b = 132 \\3a + 5b = 540\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 60 \\b = 72\end{cases}$
(2) 根据题意，降价x元后每天多售出10x件，因此销售量：
$y = 60 + 10x$
由每件售价不低于进价，得$60 - x ≥ 50$，解得$x ≤ 10$，又降价金额不能为负，即$x ≥ 0$，因此自变量x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$。
(3) 销售每件A类特产的利润为$(60 - x - 50) = (10 - x)$元，销售每件B类特产的利润为$72 - 60 = 12$元，B类每天利润固定为$12×100=1200$元。
总利润$w$为两类特产利润之和：
$\begin{aligned}w&=(10 - x)(60 + 10x) + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 600 + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 1800\end{aligned}$
该二次函数二次项系数为-10＜0，图象开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-10)} = 2$，对称轴$x=2$在$0 ≤ x ≤ 10$范围内，因此当$x=2$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}} = -10×2^2 + 40×2 + 1800 = 1840$
【答案】
(1) A类特产每件售价60元，B类特产每件售价72元；
(2) $y = 10x + 60$，自变量x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$；
(3) $w=-10x^2+40x+1800$，每件A类特产降价2元时总利润w最大，最大利润是1840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；二次函数最值应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，综合考查了方程、函数的核心知识点，解题关键是梳理题目中的等量关系建立对应的数学模型，求二次函数最值时要注意结合自变量的取值范围验证顶点是否符合要求，避免生搬硬套公式出错。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求两类特产的售价，题目给出两个售价相关的等量关系：①1件A售价+1件B售价=132元；②3件A售价+5件B售价=540元，设A、B的售价分别为a元、b元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问求y与x的函数关系式，已知A原价销售每天卖60件，每降价1元多卖10件，降价x元后多卖10x件，总销量为原销量加多卖的数量；自变量x的取值需满足两个条件：一是降价金额非负即x≥0，二是售价不低于进价即60-x≥50，解不等式即可得到x的范围。
(3) 第三问求总利润w的函数关系式和最值，总利润=A类总利润+B类总利润。先算出A每件利润为(60-x-50)元，销量为y件，B每件利润为(72-60)元，销量固定100件，代入即可得到w关于x的二次函数，结合二次函数开口方向和x的取值范围，即可找到函数最大值。
【解析】
(1) 设A类特产每件售价为$a$元，B类特产每件售价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b = 132 \\3a + 5b = 540\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 60 \\b = 72\end{cases}$
(2) 根据题意，降价x元后每天多售出10x件，因此销售量：
$y = 60 + 10x$
由每件售价不低于进价，得$60 - x ≥ 50$，解得$x ≤ 10$，又降价金额不能为负，即$x ≥ 0$，因此自变量x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$。
(3) 销售每件A类特产的利润为$(60 - x - 50) = (10 - x)$元，销售每件B类特产的利润为$72 - 60 = 12$元，B类每天利润固定为$12×100=1200$元。
总利润$w$为两类特产利润之和：
$\begin{aligned}w&=(10 - x)(60 + 10x) + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 600 + 1200 \\&=-10x^2 + 40x + 1800\end{aligned}$
该二次函数二次项系数为-10＜0，图象开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-10)} = 2$，对称轴$x=2$在$0 ≤ x ≤ 10$范围内，因此当$x=2$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}} = -10×2^2 + 40×2 + 1800 = 1840$
【答案】
(1) A类特产每件售价60元，B类特产每件售价72元；
(2) $y = 10x + 60$，自变量x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 10$；
(3) $w=-10x^2+40x+1800$，每件A类特产降价2元时总利润w最大，最大利润是1840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；二次函数最值应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，综合考查了方程、函数的核心知识点，解题关键是梳理题目中的等量关系建立对应的数学模型，求二次函数最值时要注意结合自变量的取值范围验证顶点是否符合要求，避免生搬硬套公式出错。
【难度系数】
0.65
