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4. 二次函数 $y=-2(x-1)^2+5$ 的图象开口向 ，顶点坐标为 ，当 $x＞1$ 时，$y$ 值随着 $x$ 值的增大而 。
答案
解：
在二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$中：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此图象开口向下；
2. 对应$h=1$，$k=5$，可得顶点坐标为$(1,5)$；
3. 该函数对称轴为直线$x=1$，开口向下时，在对称轴右侧即$x＞1$的区间内，$y$值随着$x$值的增大而减小。
答案依次为：下；$(1,5)$；减小。
在二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$中：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此图象开口向下；
2. 对应$h=1$，$k=5$，可得顶点坐标为$(1,5)$；
3. 该函数对称轴为直线$x=1$，开口向下时，在对称轴右侧即$x＞1$的区间内，$y$值随着$x$值的增大而减小。
答案依次为：下；$(1,5)$；减小。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：第一步先确定二次项系数$a$的正负，以此判断图象开口方向；第二步对照顶点式的形式，找到对应的$h$、$k$值，直接写出顶点坐标；第三步根据开口方向和对称轴（直线$x=h$），判断指定区间内函数的增减性即可。
【解析】
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质求解：
1. 该函数的二次项系数$a=-2＜0$，因此二次函数图象开口向下；
2. 对照顶点式可得$h=1$，$k=5$，因此顶点坐标为$(h,k)$即$(1,5)$；
3. 该函数的对称轴为直线$x=h=1$，因为图象开口向下，所以在对称轴右侧（$x＞1$的区间），$y$值随$x$值的增大而减小。
【答案】
下；$(1,5)$；减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口判断；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点需要掌握顶点式中各参数对应的几何意义，熟练记忆开口方向、顶点坐标、增减性的判断规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：第一步先确定二次项系数$a$的正负，以此判断图象开口方向；第二步对照顶点式的形式，找到对应的$h$、$k$值，直接写出顶点坐标；第三步根据开口方向和对称轴（直线$x=h$），判断指定区间内函数的增减性即可。
【解析】
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质求解：
1. 该函数的二次项系数$a=-2＜0$，因此二次函数图象开口向下；
2. 对照顶点式可得$h=1$，$k=5$，因此顶点坐标为$(h,k)$即$(1,5)$；
3. 该函数的对称轴为直线$x=h=1$，因为图象开口向下，所以在对称轴右侧（$x＞1$的区间），$y$值随$x$值的增大而减小。
【答案】
下；$(1,5)$；减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口判断；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点需要掌握顶点式中各参数对应的几何意义，熟练记忆开口方向、顶点坐标、增减性的判断规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度$h(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{s})$的关系可以用$h=-5t^2+150t+10$表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少?
答案
解：
对于二次函数$h=-5t^2+150t+10$，其中$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值，对应火箭到达最高点。
火箭到达最高点的时间为顶点的横坐标：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-5)}=15(\mathrm{s})$
将$t=15$代入函数解析式，计算最高点的高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10$
$=-1125 + 2250 +10$
$=1135(\mathrm{m})$
答：经过15秒火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米。
对于二次函数$h=-5t^2+150t+10$，其中$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值，对应火箭到达最高点。
火箭到达最高点的时间为顶点的横坐标：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-5)}=15(\mathrm{s})$
将$t=15$代入函数解析式，计算最高点的高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10$
$=-1125 + 2250 +10$
$=1135(\mathrm{m})$
答：经过15秒火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米。
解析
【分析】
这道题是二次函数的实际应用类题目，火箭的高度h与时间t满足二次函数关系，求火箭到达最高点的时间和高度，本质是求该二次函数的最大值对应的自变量值和函数值。首先观察二次项系数a=-5＜0，可知抛物线开口向下，顶点就是函数的最大值点，对应火箭的最高点，因此只需先计算顶点的横坐标得到对应时间，再代入解析式计算顶点的纵坐标就能得到最高点高度。
【解析】
对于二次函数$h=-5t^2+150t+10$，其中$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值，对应火箭到达最高点。
火箭到达最高点的时间为顶点的横坐标：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-5)}=15(\mathrm{s})$
将$t=15$代入函数解析式，计算最高点的高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10$
$=-1125 + 2250 +10$
$=1135(\mathrm{m})$
【答案】
经过15秒火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米。
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数顶点计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是将实际问题中“求最高点”的需求转化为求二次函数顶点坐标的数学问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这道题是二次函数的实际应用类题目，火箭的高度h与时间t满足二次函数关系，求火箭到达最高点的时间和高度，本质是求该二次函数的最大值对应的自变量值和函数值。首先观察二次项系数a=-5＜0，可知抛物线开口向下，顶点就是函数的最大值点，对应火箭的最高点，因此只需先计算顶点的横坐标得到对应时间，再代入解析式计算顶点的纵坐标就能得到最高点高度。
【解析】
对于二次函数$h=-5t^2+150t+10$，其中$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
$\because a=-5＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数存在最大值，对应火箭到达最高点。
火箭到达最高点的时间为顶点的横坐标：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-5)}=15(\mathrm{s})$
将$t=15$代入函数解析式，计算最高点的高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10$
$=-1125 + 2250 +10$
$=1135(\mathrm{m})$
【答案】
经过15秒火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米。
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数顶点计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是将实际问题中“求最高点”的需求转化为求二次函数顶点坐标的数学问题，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 当$x=4$时,函数$y=ax^2+bx+c$的最小值为$-8$,抛物线过点$(6,0)$。
(1)求顶点坐标和对称轴。
(2)求函数的表达式。
(3)$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而增大?$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而减小?
(1)求顶点坐标和对称轴。
(2)求函数的表达式。
(3)$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而增大?$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而减小?
答案
解：
(1) 由题意，当$x=4$时函数取得最小值$-8$，可得顶点坐标为$(4, -8)$，对称轴为直线$x=4$。
(2) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-4)^2 -8$，将点$(6,0)$代入该式：
$0=a·(6-4)^2 -8$
化简得$4a-8=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入顶点式展开：
$y=2(x-4)^2 -8=2x^2-16x+24$
因此函数的表达式为$y=2(x-4)^2 -8$（或$y=2x^2-16x+24$）。
(3) 由函数存在最小值，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=4$可得：
当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1) 由题意，当$x=4$时函数取得最小值$-8$，可得顶点坐标为$(4, -8)$，对称轴为直线$x=4$。
(2) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-4)^2 -8$，将点$(6,0)$代入该式：
$0=a·(6-4)^2 -8$
化简得$4a-8=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入顶点式展开：
$y=2(x-4)^2 -8=2x^2-16x+24$
因此函数的表达式为$y=2(x-4)^2 -8$（或$y=2x^2-16x+24$）。
(3) 由函数存在最小值，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=4$可得：
当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
（1）解题思路：二次函数的最值对应顶点的函数值，取得最值时的自变量值为顶点的横坐标，因此可直接由已知的最小值条件得到顶点坐标，对称轴为过顶点且平行于y轴的直线。
（2）解题思路：已知二次函数的顶点坐标时，优先选用顶点式设函数表达式，再将已知点的坐标代入求解参数a，最后可按需整理为一般式。
（3）解题思路：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先由函数存在最小值判断开口向上，再结合对称轴即可判断增减区间。
【解析】
(1) 由题意，当$x=4$时函数取得最小值$-8$，因此顶点坐标为$(4, -8)$，对称轴为直线$x=4$。
(2) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-4)^2 -8$，将点$(6,0)$代入该式：
$0=a·(6-4)^2 -8$
化简得$4a-8=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入顶点式展开：
$y=2(x-4)^2 -8=2x^2-16x+24$
因此函数的表达式为$y=2(x-4)^2 -8$（或$y=2x^2-16x+24$）。
(3) 由函数存在最小值，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=4$可得：
当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(4, -8)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=4}$；
(2) 函数表达式为$\boldsymbol{y=2(x-4)^2 -8}$（或$\boldsymbol{y=2x^2-16x+24}$）；
(3) 当$\boldsymbol{x＞4}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$\boldsymbol{x＜4}$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的顶点与对称轴；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设题，难度较低，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的应用，以及根据开口方向和对称轴判断函数增减性的方法。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：二次函数的最值对应顶点的函数值，取得最值时的自变量值为顶点的横坐标，因此可直接由已知的最小值条件得到顶点坐标，对称轴为过顶点且平行于y轴的直线。
（2）解题思路：已知二次函数的顶点坐标时，优先选用顶点式设函数表达式，再将已知点的坐标代入求解参数a，最后可按需整理为一般式。
（3）解题思路：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先由函数存在最小值判断开口向上，再结合对称轴即可判断增减区间。
【解析】
(1) 由题意，当$x=4$时函数取得最小值$-8$，因此顶点坐标为$(4, -8)$，对称轴为直线$x=4$。
(2) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-4)^2 -8$，将点$(6,0)$代入该式：
$0=a·(6-4)^2 -8$
化简得$4a-8=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入顶点式展开：
$y=2(x-4)^2 -8=2x^2-16x+24$
因此函数的表达式为$y=2(x-4)^2 -8$（或$y=2x^2-16x+24$）。
(3) 由函数存在最小值，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=4$可得：
当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(4, -8)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=4}$；
(2) 函数表达式为$\boldsymbol{y=2(x-4)^2 -8}$（或$\boldsymbol{y=2x^2-16x+24}$）；
(3) 当$\boldsymbol{x＞4}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$\boldsymbol{x＜4}$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的顶点与对称轴；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设题，难度较低，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的应用，以及根据开口方向和对称轴判断函数增减性的方法。
【难度系数】
0.8
1.已知$x=0$时,二次函数$y=mx^2 - 2x + m^2 - 2m$的值为0,则$m$的值为（）
A.2或0
B.$-2$或0
C.$-2$
D.2
A.2或0
B.$-2$或0
C.$-2$
D.2
答案
D
解析
【分析】
解题需分两步思考：首先，题目明确该函数是二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得隐含条件$m≠0$；其次，已知$x=0$时函数值为0，将$x=0$、$y=0$代入函数表达式，即可得到关于$m$的方程，解方程后舍去不符合$m≠0$的取值，就能得到正确的$m$值。
【解析】
解：
∵函数$y=mx^2 - 2x + m^2 - 2m$是二次函数，
∴二次项系数$m≠0$，
将$x=0$，$y=0$代入函数表达式得：
$0 = m×0^2 - 2×0 + m^2 - 2m$
整理得$m^2 - 2m = 0$，
因式分解得$m(m-2)=0$，
解得$m=0$或$m=2$，
结合$m≠0$的限制条件，舍去$m=0$，
故$m=2$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义；2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接求解方程后误选A。解题时要先明确函数类型对应的参数限制条件，再代入计算，最后对结果进行检验，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.6
解题需分两步思考：首先，题目明确该函数是二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得隐含条件$m≠0$；其次，已知$x=0$时函数值为0，将$x=0$、$y=0$代入函数表达式，即可得到关于$m$的方程，解方程后舍去不符合$m≠0$的取值，就能得到正确的$m$值。
【解析】
解：
∵函数$y=mx^2 - 2x + m^2 - 2m$是二次函数，
∴二次项系数$m≠0$，
将$x=0$，$y=0$代入函数表达式得：
$0 = m×0^2 - 2×0 + m^2 - 2m$
整理得$m^2 - 2m = 0$，
因式分解得$m(m-2)=0$，
解得$m=0$或$m=2$，
结合$m≠0$的限制条件，舍去$m=0$，
故$m=2$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义；2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接求解方程后误选A。解题时要先明确函数类型对应的参数限制条件，再代入计算，最后对结果进行检验，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.6
2. (2025·广东)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是。(写出一个即可)
答案
解：
将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
整理得：$c(-c + b + 1)=0$
因为函数图象不经过原点，所以$c≠0$，因此$-c + b +1=0$，即$b = c - 1$。
取$c=2$，则$b=2-1=1$，可得符合条件的二次函数表达式为$y=-x^2 + x + 2$。
$y=-x^2 + x + 2$（答案不唯一）
将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
整理得：$c(-c + b + 1)=0$
因为函数图象不经过原点，所以$c≠0$，因此$-c + b +1=0$，即$b = c - 1$。
取$c=2$，则$b=2-1=1$，可得符合条件的二次函数表达式为$y=-x^2 + x + 2$。
$y=-x^2 + x + 2$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将已知点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的等式；再结合“图象不经过原点”的条件，排除$c=0$的情况，推导得出$b$与$c$的数量关系；最后任意选取一个不为0的$c$值，算出对应的$b$值，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
提取公因式整理得：$c(-c + b + 1)=0$
因为函数图象不经过原点，把原点$(0,0)$代入解析式可得当$x=0$时$y=c≠0$，因此$-c + b +1=0$，即$b = c - 1$。
取$c=2$，则$b=2-1=1$，可得符合条件的二次函数表达式为$y=-x^2 + x + 2$。（答案不唯一，只要满足$b=c-1$且$c≠0$即可）
【答案】
$y=-x^2 + x + 2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于开放性题目，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是通过已知条件推导出两个参数的对应关系，再灵活选取符合要求的参数值即可，解题思路清晰，限制条件较少。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将已知点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的等式；再结合“图象不经过原点”的条件，排除$c=0$的情况，推导得出$b$与$c$的数量关系；最后任意选取一个不为0的$c$值，算出对应的$b$值，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
提取公因式整理得：$c(-c + b + 1)=0$
因为函数图象不经过原点，把原点$(0,0)$代入解析式可得当$x=0$时$y=c≠0$，因此$-c + b +1=0$，即$b = c - 1$。
取$c=2$，则$b=2-1=1$，可得符合条件的二次函数表达式为$y=-x^2 + x + 2$。（答案不唯一，只要满足$b=c-1$且$c≠0$即可）
【答案】
$y=-x^2 + x + 2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于开放性题目，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是通过已知条件推导出两个参数的对应关系，再灵活选取符合要求的参数值即可，解题思路清晰，限制条件较少。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图象如图2所示，它与x轴的一个交点的坐标为(-1,0)，与y轴的交点的坐标为(0,3)。
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。
答案
解：
(1) 将点$(-1, 0)$、$(0, 3)$代入二次函数解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 + b·(-1) + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，得$-1 - b + 3 = 0$，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=3$，此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
(1) 将点$(-1, 0)$、$(0, 3)$代入二次函数解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 + b·(-1) + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，得$-1 - b + 3 = 0$，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=3$，此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
解析
【分析】
（1）要确定二次函数中的未知系数b和c，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知的两个点坐标代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值，进而得到二次函数表达式。
（2）函数值y为正数对应二次函数图象在x轴上方的部分，先求出二次函数与x轴的全部交点坐标，再结合抛物线的开口方向，就能确定对应自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1, 0)$、$(0, 3)$代入二次函数解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 + b·(-1) + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，得$-1 - b + 3 = 0$，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=3$，此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，二次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{-1 ＜ x ＜ 3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题型，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了数形结合利用函数图象解不等式的能力，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）要确定二次函数中的未知系数b和c，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知的两个点坐标代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的值，进而得到二次函数表达式。
（2）函数值y为正数对应二次函数图象在x轴上方的部分，先求出二次函数与x轴的全部交点坐标，再结合抛物线的开口方向，就能确定对应自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1, 0)$、$(0, 3)$代入二次函数解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(-1)^2 + b·(-1) + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，得$-1 - b + 3 = 0$，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=3$，此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，二次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{-1 ＜ x ＜ 3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题型，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了数形结合利用函数图象解不等式的能力，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
