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1. 方程$2x - 1 = 4x + 1$的解为（）
A.$x = -1$
B.$x = 0$
C.$x = 1$
D.$x = 2$
A.$x = -1$
B.$x = 0$
C.$x = 1$
D.$x = 2$
答案
A
解析
【分析】
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题时可按照一元一次方程的常规求解步骤思考：首先通过移项把含未知数x的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，注意移项要改变符号；接下来合并同类项，最后把未知数的系数化为1就能得到方程的解，也可以将选项逐一代入方程，验证左右两边是否相等来选出正确答案。
【解析】
解：求解方程$2x - 1 = 4x + 1$步骤如下：
1. 移项：把含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得：
$2x - 4x = 1 + 1$
2. 合并同类项，得：
$-2x = 2$
3. 系数化为1：方程两边同时除以-2，得：
$x = -1$
因此方程的解为$x=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次方程的基本求解步骤，熟练掌握移项变号的规则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题时可按照一元一次方程的常规求解步骤思考：首先通过移项把含未知数x的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，注意移项要改变符号；接下来合并同类项，最后把未知数的系数化为1就能得到方程的解，也可以将选项逐一代入方程，验证左右两边是否相等来选出正确答案。
【解析】
解：求解方程$2x - 1 = 4x + 1$步骤如下：
1. 移项：把含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得：
$2x - 4x = 1 + 1$
2. 合并同类项，得：
$-2x = 2$
3. 系数化为1：方程两边同时除以-2，得：
$x = -1$
因此方程的解为$x=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次方程的基本求解步骤，熟练掌握移项变号的规则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 如果$a=b$,那么下列等式一定成立的是 $(\quad)$
A.$a-2=b+2$
B.$2a+2=2b+2$
C.$2a-2=b-2$
D.$2a-2=2b+2$
A.$a-2=b+2$
B.$2a+2=2b+2$
C.$2a-2=b-2$
D.$2a-2=2b+2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是根据已知条件a=b，结合等式的两条基本性质，逐一验证四个选项中的等式是否成立：等式两边必须同时进行加、减、乘同一个数（或除以同一个不为0的数）的运算，等式才仍然成立，只要两边运算不一致，等式就不成立。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
已知a=b，逐一分析选项：
选项A：等式左边减2，右边加2，两边运算不一致，等式不成立，排除；
选项B：先将等式a=b两边同时乘2，得2a=2b，再将两边同时加2，可得2a+2=2b+2，符合等式的基本性质，等式成立；
选项C：等式左边先乘2再减2，右边仅减2未乘2，两边运算不一致，等式不成立，排除；
选项D：等式左边乘2后减2，右边乘2后加2，两边加减的数不同，等式不成立，排除。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对等式基本性质的掌握程度，解题时需注意等式两边的运算必须完全一致，避免出现单边运算或两边运算规则不同的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是根据已知条件a=b，结合等式的两条基本性质，逐一验证四个选项中的等式是否成立：等式两边必须同时进行加、减、乘同一个数（或除以同一个不为0的数）的运算，等式才仍然成立，只要两边运算不一致，等式就不成立。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
已知a=b，逐一分析选项：
选项A：等式左边减2，右边加2，两边运算不一致，等式不成立，排除；
选项B：先将等式a=b两边同时乘2，得2a=2b，再将两边同时加2，可得2a+2=2b+2，符合等式的基本性质，等式成立；
选项C：等式左边先乘2再减2，右边仅减2未乘2，两边运算不一致，等式不成立，排除；
选项D：等式左边乘2后减2，右边乘2后加2，两边加减的数不同，等式不成立，排除。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对等式基本性质的掌握程度，解题时需注意等式两边的运算必须完全一致，避免出现单边运算或两边运算规则不同的错误。
【难度系数】
0.9
3. 如图1，其中图①②中天平保持左右平衡，现要使图③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的质量为（）
A.25克
B.30克
C.40克
D.50克
A.25克
B.30克
C.40克
D.50克
答案
C
解析
【分析】
我们可以设每个黑色三角形的质量为x克，每个黑色圆形的质量为y克，天平平衡代表左右两边质量相等，因此根据图①、图②的平衡条件可以列出两个方程，组成二元一次方程组。先求出x、y的数值，再计算图③左侧2个圆形加1个三角形的总质量，该质量就是右盘需要放入的砝码质量。
【解析】
设每个黑色三角形质量为x克，每个黑色圆形质量为y克。
根据图①、图②的天平平衡条件，列方程组得：
$\begin{cases}3x + 2y = 80&①\\2x + 3y = 70&②\end{cases}$
将①+②，得：$5x + 5y = 150$，化简得$x + y = 30$ ③
将①-②，得：$x - y = 10$ ④
联立③和④，③+④得$2x = 40$，解得$x=20$，把$x=20$代入③得$y=10$。
图③左侧总质量为$2y + x = 2×10 + 20 = 40$（克），因此右盘需要放入40克的砝码。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；等式的性质；天平平衡原理
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查方程的应用，解题核心是从平衡状态中提取等量关系列方程，既可以通过解方程组求出单个图形的质量再计算，也可以用整体代入的方法简化计算步骤，能够锻炼学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以设每个黑色三角形的质量为x克，每个黑色圆形的质量为y克，天平平衡代表左右两边质量相等，因此根据图①、图②的平衡条件可以列出两个方程，组成二元一次方程组。先求出x、y的数值，再计算图③左侧2个圆形加1个三角形的总质量，该质量就是右盘需要放入的砝码质量。
【解析】
设每个黑色三角形质量为x克，每个黑色圆形质量为y克。
根据图①、图②的天平平衡条件，列方程组得：
$\begin{cases}3x + 2y = 80&①\\2x + 3y = 70&②\end{cases}$
将①+②，得：$5x + 5y = 150$，化简得$x + y = 30$ ③
将①-②，得：$x - y = 10$ ④
联立③和④，③+④得$2x = 40$，解得$x=20$，把$x=20$代入③得$y=10$。
图③左侧总质量为$2y + x = 2×10 + 20 = 40$（克），因此右盘需要放入40克的砝码。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；等式的性质；天平平衡原理
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查方程的应用，解题核心是从平衡状态中提取等量关系列方程，既可以通过解方程组求出单个图形的质量再计算，也可以用整体代入的方法简化计算步骤，能够锻炼学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 对于实数$a,b$,规定$a\oplus b=a-2b$,若$4\oplus (x-3)=2$,则$x$的值为
$\begin{array}{llll}\mathrm{A.}-2 & \mathrm{B.}-\dfrac{1}{2} & \mathrm{C.}\dfrac{5}{2} & \mathrm{D.}4\end{array}$
$\begin{array}{llll}\mathrm{A.}-2 & \mathrm{B.}-\dfrac{1}{2} & \mathrm{C.}\dfrac{5}{2} & \mathrm{D.}4\end{array}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为两步：第一步先准确理解题目给出的新运算规则$a\oplus b=a-2b$，明确运算中第一个数对应$a$，第二个数对应$b$；第二步将$4\oplus (x-3)$按照规则转化为常规的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求出$x$的值即可。
【解析】
根据新定义$a\oplus b=a-2b$，可得$4\oplus (x-3)$中$a=4$，$b=x-3$，代入规则列方程：
$4 - 2(x - 3) = 2$
去括号，得：
$4 - 2x + 6 = 2$
合并同类项，得：
$10 - 2x = 2$
移项，得：
$-2x = 2 - 10$
计算得：
$-2x = -8$
系数化为1，得：
$x = 4$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和运用能力，只要能正确将新定义运算转化为熟悉的一元一次方程，按照解方程的规范步骤计算即可得到正确结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为两步：第一步先准确理解题目给出的新运算规则$a\oplus b=a-2b$，明确运算中第一个数对应$a$，第二个数对应$b$；第二步将$4\oplus (x-3)$按照规则转化为常规的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求出$x$的值即可。
【解析】
根据新定义$a\oplus b=a-2b$，可得$4\oplus (x-3)$中$a=4$，$b=x-3$，代入规则列方程：
$4 - 2(x - 3) = 2$
去括号，得：
$4 - 2x + 6 = 2$
合并同类项，得：
$10 - 2x = 2$
移项，得：
$-2x = 2 - 10$
计算得：
$-2x = -8$
系数化为1，得：
$x = 4$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和运用能力，只要能正确将新定义运算转化为熟悉的一元一次方程，按照解方程的规范步骤计算即可得到正确结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5. 下列解一元一次方程的过程正确的是 ()
A.方程 $x-2(3-x)=1$ 去括号得 $x-6+2x=1$
B.方程 $3x+2=2x-2$ 移项得 $3x-2x=-2+2$
C.方程 $\dfrac{2x+1}{3}-1=x$ 去分母得 $2x+1-1=3x$
D.方程 $\dfrac{0.1x-2}{0.2}-\dfrac{0.2x+1}{0.5}=1$ 分母化为整数得 $\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{2x+1}{5}=1$
A.方程 $x-2(3-x)=1$ 去括号得 $x-6+2x=1$
B.方程 $3x+2=2x-2$ 移项得 $3x-2x=-2+2$
C.方程 $\dfrac{2x+1}{3}-1=x$ 去分母得 $2x+1-1=3x$
D.方程 $\dfrac{0.1x-2}{0.2}-\dfrac{0.2x+1}{0.5}=1$ 分母化为整数得 $\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{2x+1}{5}=1$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元一次方程求解过程中的各类变形规则，解题时需逐个分析每个选项的变形是否符合对应规则：首先回忆去括号、移项、去分母、分母化整数的运算要求，依次验证每个选项的变形是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：对方程$x-2(3-x)=1$去括号，根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，且要满足乘法分配律：$-2×3=-6$，$-2×(-x)=+2x$，因此去括号结果为$x-6+2x=1$，该变形正确。
B选项：对方程$3x+2=2x-2$移项，移项要变号，将$2x$移到左边变为$-2x$，$+2$移到右边变为$-2$，正确结果应为$3x-2x=-2-2$，选项中右边的$+2$错误，因此该变形错误。
C选项：对方程$\dfrac{2x+1}{3}-1=x$去分母，两边同乘公分母3时，每一项都要乘3，常数项$-1$也要乘3，正确结果应为$2x+1-3=3x$，选项中$-1$未乘3，因此该变形错误。
D选项：将方程$\dfrac{0.1x-2}{0.2}-\dfrac{0.2x+1}{0.5}=1$的分母化为整数，是利用分数的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘10，右边的常数1不参与乘10：第一个分式变形为$\dfrac{(0.1x-2)×10}{0.2×10}=\dfrac{x-20}{2}$，第二个分式变形为$\dfrac{(0.2x+1)×10}{0.5×10}=\dfrac{2x+10}{5}$，选项中第一个分式分子的常数项未乘10，因此该变形错误。
综上，只有A选项的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、移项法则、一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题，主要考查解一元一次方程过程中各变形步骤的易错点，熟练掌握去括号、移项、去分母等规则是解一元一次方程的核心基础，平时练习时要注意规避各类常见的变形错误。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次方程求解过程中的各类变形规则，解题时需逐个分析每个选项的变形是否符合对应规则：首先回忆去括号、移项、去分母、分母化整数的运算要求，依次验证每个选项的变形是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：对方程$x-2(3-x)=1$去括号，根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，且要满足乘法分配律：$-2×3=-6$，$-2×(-x)=+2x$，因此去括号结果为$x-6+2x=1$，该变形正确。
B选项：对方程$3x+2=2x-2$移项，移项要变号，将$2x$移到左边变为$-2x$，$+2$移到右边变为$-2$，正确结果应为$3x-2x=-2-2$，选项中右边的$+2$错误，因此该变形错误。
C选项：对方程$\dfrac{2x+1}{3}-1=x$去分母，两边同乘公分母3时，每一项都要乘3，常数项$-1$也要乘3，正确结果应为$2x+1-3=3x$，选项中$-1$未乘3，因此该变形错误。
D选项：将方程$\dfrac{0.1x-2}{0.2}-\dfrac{0.2x+1}{0.5}=1$的分母化为整数，是利用分数的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘10，右边的常数1不参与乘10：第一个分式变形为$\dfrac{(0.1x-2)×10}{0.2×10}=\dfrac{x-20}{2}$，第二个分式变形为$\dfrac{(0.2x+1)×10}{0.5×10}=\dfrac{2x+10}{5}$，选项中第一个分式分子的常数项未乘10，因此该变形错误。
综上，只有A选项的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、移项法则、一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题，主要考查解一元一次方程过程中各变形步骤的易错点，熟练掌握去括号、移项、去分母等规则是解一元一次方程的核心基础，平时练习时要注意规避各类常见的变形错误。
【难度系数】
0.7
6. (2026·贵州)在《详解九章算法》中有一道题,大意是:铜的单价是每斤9文,锡的单价是每斤7文,购买相同斤数的铜和锡共花费10贯(1贯=1 000文).问购买铜和锡的花费各是多少?如果设购买相同斤数是$x$,下列方程正确的是 ()
A.$9x+7x=10×1000$
B.$9x-7x=10×1000$
C.$9x+7x=10$
D.$9x-7x=10$
A.$9x+7x=10×1000$
B.$9x-7x=10×1000$
C.$9x+7x=10$
D.$9x-7x=10$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确已知量和等量关系：①已知铜、锡的单价，购买的重量均为x斤，可根据“总价=单价×数量”分别表示出两者的花费；②总花费为10贯，需先统一单位，将贯换算为文；③等量关系为“铜的总花费+锡的总花费=一共花费的钱数”，据此即可列出符合要求的方程。
【解析】
已知购买铜和锡的斤数均为x斤：
1. 计算铜的总花费：铜单价为9文/斤，总价为 $9x$ 文；
2. 计算锡的总花费：锡单价为7文/斤，总价为 $7x$ 文；
3. 统一单位：总花费为10贯，$1贯=1000文$，所以总花费为 $10×1000$ 文；
4. 根据等量关系“铜的花费+锡的花费=总花费”，列方程得：$9x + 7x = 10×1000$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 总价计算关系
3. 单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍背景出题，核心考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系，同时注意不同单位的统一，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确已知量和等量关系：①已知铜、锡的单价，购买的重量均为x斤，可根据“总价=单价×数量”分别表示出两者的花费；②总花费为10贯，需先统一单位，将贯换算为文；③等量关系为“铜的总花费+锡的总花费=一共花费的钱数”，据此即可列出符合要求的方程。
【解析】
已知购买铜和锡的斤数均为x斤：
1. 计算铜的总花费：铜单价为9文/斤，总价为 $9x$ 文；
2. 计算锡的总花费：锡单价为7文/斤，总价为 $7x$ 文；
3. 统一单位：总花费为10贯，$1贯=1000文$，所以总花费为 $10×1000$ 文；
4. 根据等量关系“铜的花费+锡的花费=总花费”，列方程得：$9x + 7x = 10×1000$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 总价计算关系
3. 单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍背景出题，核心考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系，同时注意不同单位的统一，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
