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7.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问：经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为 （）
A.$(9+7)x=1$
B.$(9-7)x=1$
C.$(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})x=1$
D.$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$
A.$(9+7)x=1$
B.$(9-7)x=1$
C.$(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})x=1$
D.$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$
答案
D
解析
【分析】
这是行程类的相遇问题，解题时先把南海到北海的总路程看作单位“1”，分别求出野鸭和大雁的飞行速度，再根据“相向而行时，两者的路程和等于总路程”的等量关系列方程即可。第一步先求速度：野鸭7天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{7}$；大雁9天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{9}$。第二步找等量关系：x天里野鸭飞行的路程+大雁飞行的路程=总路程1，据此就能列出方程。
【解析】
解：设南海到北海的总路程为单位“1”。
野鸭的飞行速度为：$1÷7=\frac{1}{7}$（单位/天）
大雁的飞行速度为：$1÷9=\frac{1}{9}$（单位/天）
经过x天相遇时，野鸭飞行的路程为$\frac{1}{7}x$，大雁飞行的路程为$\frac{1}{9}x$，两者路程和等于总路程1，因此列方程得：
$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x = 1$
整理得：$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、行程相遇问题、单位“1”设定
【点评】
本题结合中国古代数学名著《九章算术》的内容出题，既考查了行程相遇问题的核心等量关系，也体现了传统数学文化的渗透，解题的关键是合理设定单位“1”求出两者的速度，再根据路程和的关系列方程，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
这是行程类的相遇问题，解题时先把南海到北海的总路程看作单位“1”，分别求出野鸭和大雁的飞行速度，再根据“相向而行时，两者的路程和等于总路程”的等量关系列方程即可。第一步先求速度：野鸭7天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{7}$；大雁9天飞完全程，每天飞全程的$\frac{1}{9}$。第二步找等量关系：x天里野鸭飞行的路程+大雁飞行的路程=总路程1，据此就能列出方程。
【解析】
解：设南海到北海的总路程为单位“1”。
野鸭的飞行速度为：$1÷7=\frac{1}{7}$（单位/天）
大雁的飞行速度为：$1÷9=\frac{1}{9}$（单位/天）
经过x天相遇时，野鸭飞行的路程为$\frac{1}{7}x$，大雁飞行的路程为$\frac{1}{9}x$，两者路程和等于总路程1，因此列方程得：
$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x = 1$
整理得：$(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})x=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、行程相遇问题、单位“1”设定
【点评】
本题结合中国古代数学名著《九章算术》的内容出题，既考查了行程相遇问题的核心等量关系，也体现了传统数学文化的渗透，解题的关键是合理设定单位“1”求出两者的速度，再根据路程和的关系列方程，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
8. (2024·烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题:“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫.问织几何?”意思是:现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同,第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,问:一共织了多少布? ()
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
答案
C
解析
【分析】
解题时首先梳理题意：女子每天织布减少的数量相同，说明每日织布量是均匀变化的，这种情况下平均每天的织布量等于第一天和最后一天织布量的平均值，再用平均每天的织布量乘以总天数，即可求出总织布量。
【解析】
因为每天减少的织布量相同，所以先计算平均每天织布的长度：
$(5 + 1) ÷ 2 = 3$（尺）
已知一共织了30天，总织布量为平均日织布量乘以总天数：
$3 × 30 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
平均数的应用、有理数混合运算
【点评】
本题结合中国古代数学著作的经典问题出题，既考查了平均数的实际应用能力，也能让学生感受到中国古代数学的智慧，解题的关键是抓住“每日减少量相同”的条件，推导出日均织布量可用首尾两日的织布量平均值计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题意：女子每天织布减少的数量相同，说明每日织布量是均匀变化的，这种情况下平均每天的织布量等于第一天和最后一天织布量的平均值，再用平均每天的织布量乘以总天数，即可求出总织布量。
【解析】
因为每天减少的织布量相同，所以先计算平均每天织布的长度：
$(5 + 1) ÷ 2 = 3$（尺）
已知一共织了30天，总织布量为平均日织布量乘以总天数：
$3 × 30 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
平均数的应用、有理数混合运算
【点评】
本题结合中国古代数学著作的经典问题出题，既考查了平均数的实际应用能力，也能让学生感受到中国古代数学的智慧，解题的关键是抓住“每日减少量相同”的条件，推导出日均织布量可用首尾两日的织布量平均值计算。
【难度系数】
0.7
9. (2024·广州)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为 ()
A.$1.2x + 1\ 100 = 35\ 060$
B.$1.2x - 1\ 100 = 35\ 060$
C.$1.2(x + 1\ 100) = 35\ 060$
D.$x - 1\ 100 = 35\ 060 × 1.2$
A.$1.2x + 1\ 100 = 35\ 060$
B.$1.2x - 1\ 100 = 35\ 060$
C.$1.2(x + 1\ 100) = 35\ 060$
D.$x - 1\ 100 = 35\ 060 × 1.2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这类列方程的题目，首先需要从题干中提取核心等量关系。本题的关键表述为“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”，我们可以把这个表述拆解为：去年5月交付量的1.2倍加上1100辆，就等于今年5月的交付量。已知去年交付量设为x，今年交付量为35060辆，将对应量代入等量关系即可得到方程。
【解析】
首先明确等量关系：$\mathrm{去年5月交付量} × 1.2 + 1100 = \mathrm{今年5月交付量}$。
已知去年5月交付新车$x$辆，今年5月交付35060辆，将数值和未知数代入等量关系，可得：
$1.2x + 1100 = 35060$，因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；等量关系识别
【点评】
本题是基础应用题，主要考查将文字描述的数量关系转化为数学式子的能力，解题核心是准确理解“比某数的几倍多几”的表述含义，避免把加法和减法搞混。
【难度系数】
0.9
要解决这类列方程的题目，首先需要从题干中提取核心等量关系。本题的关键表述为“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”，我们可以把这个表述拆解为：去年5月交付量的1.2倍加上1100辆，就等于今年5月的交付量。已知去年交付量设为x，今年交付量为35060辆，将对应量代入等量关系即可得到方程。
【解析】
首先明确等量关系：$\mathrm{去年5月交付量} × 1.2 + 1100 = \mathrm{今年5月交付量}$。
已知去年5月交付新车$x$辆，今年5月交付35060辆，将数值和未知数代入等量关系，可得：
$1.2x + 1100 = 35060$，因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；等量关系识别
【点评】
本题是基础应用题，主要考查将文字描述的数量关系转化为数学式子的能力，解题核心是准确理解“比某数的几倍多几”的表述含义，避免把加法和减法搞混。
【难度系数】
0.9
10. 如图2,从某个月的月历表中取一个2×2方块使其中包括4个日期.已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44,求这4个方格中的日期.若设左上角的日期为x,则下列方程正确的是 ()
A.$x+(x+1)+(x+7)+(x+14)=44$
B.$x+(x+1)+(x+6)+(x+12)=44$
C.$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44$
D.$x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=44$
A.$x+(x+1)+(x+7)+(x+14)=44$
B.$x+(x+1)+(x+6)+(x+12)=44$
C.$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44$
D.$x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=44$
答案
C
解析
【分析】
首先明确月历表的日期排列规律：同一行内相邻日期相差1（右侧日期比左侧大1），同一列内相邻日期相差7（下侧日期比上侧大7，每周为7天）。题目设左上角日期为x，我们只需按规律依次表示出剩余3个日期，再结合4个日期之和为44的条件列方程，最后和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
设左上角的日期为x：
1. 与左上角同行右侧的相邻日期为：$x+1$
2. 与左上角同列下方的相邻日期为：$x+7$
3. 右下角的日期，是$x+7$同行右侧的相邻日期，即$x+7+1=x+8$
已知4个日期之和为44，可列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，月历数字规律
【点评】
本题是结合生活场景的方程基础应用题，解题核心是掌握月历的日期排列特点，准确表示出未知日期后根据等量关系列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确月历表的日期排列规律：同一行内相邻日期相差1（右侧日期比左侧大1），同一列内相邻日期相差7（下侧日期比上侧大7，每周为7天）。题目设左上角日期为x，我们只需按规律依次表示出剩余3个日期，再结合4个日期之和为44的条件列方程，最后和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
设左上角的日期为x：
1. 与左上角同行右侧的相邻日期为：$x+1$
2. 与左上角同列下方的相邻日期为：$x+7$
3. 右下角的日期，是$x+7$同行右侧的相邻日期，即$x+7+1=x+8$
已知4个日期之和为44，可列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，月历数字规律
【点评】
本题是结合生活场景的方程基础应用题，解题核心是掌握月历的日期排列特点，准确表示出未知日期后根据等量关系列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 已知$x=-1$是方程$2ax - 5 = a - 2$的解,则$a=$.
11. 已知$x=-1$是方程$2ax - 5 = a - 2$的解,则$a=$.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此可将x=-1直接代入原方程，得到一个仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$2ax - 5 = a - 2$的解
∴ 将$x=-1$代入方程，得：
$2a×(-1) - 5 = a - 2$
化简得：$-2a - 5 = a - 2$
移项，得：$-2a - a = -2 + 5$
合并同类项，得：$-3a = 3$
系数化为1，得：$a = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次方程解的概念的应用，解题的关键是熟练掌握方程的解的定义，计算时注意移项要改变符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此可将x=-1直接代入原方程，得到一个仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$2ax - 5 = a - 2$的解
∴ 将$x=-1$代入方程，得：
$2a×(-1) - 5 = a - 2$
化简得：$-2a - 5 = a - 2$
移项，得：$-2a - a = -2 + 5$
合并同类项，得：$-3a = 3$
系数化为1，得：$a = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次方程解的概念的应用，解题的关键是熟练掌握方程的解的定义，计算时注意移项要改变符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
12.(2025·陕西)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg,小悦平均每小时采摘4 kg,小康采摘的时长是小时.
答案
解：设小康采摘的时长为x小时。
根据题意列方程，得
$6x - 4x = 2.4$
合并同类项，得
$2x = 2.4$
系数化为1，得
$x = 1.2$
答：小康采摘的时长是1.2小时。
根据题意列方程，得
$6x - 4x = 2.4$
合并同类项，得
$2x = 2.4$
系数化为1，得
$x = 1.2$
答：小康采摘的时长是1.2小时。
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的等量关系：两人采摘时长相同，小康采摘的总重量减去小悦采摘的总重量等于2.4kg。而采摘总重量=平均每小时采摘重量×采摘时长，我们可以将未知的采摘时长设为x，分别表示出两人的采摘总重量，再根据重量差列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设小康采摘的时长为$x$小时。
根据题意列方程，得
$6x - 4x = 2.4$
合并同类项，得
$2x = 2.4$
系数化为1，得
$x = 1.2$
【答案】
$1.2$
【知识点】
一元一次方程应用；工作总量公式；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用题，解题关键是找准题目中隐含的等量关系，整体逻辑清晰，计算难度低，掌握一元一次方程的基本解法和实际应用的分析方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目中的等量关系：两人采摘时长相同，小康采摘的总重量减去小悦采摘的总重量等于2.4kg。而采摘总重量=平均每小时采摘重量×采摘时长，我们可以将未知的采摘时长设为x，分别表示出两人的采摘总重量，再根据重量差列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设小康采摘的时长为$x$小时。
根据题意列方程，得
$6x - 4x = 2.4$
合并同类项，得
$2x = 2.4$
系数化为1，得
$x = 1.2$
【答案】
$1.2$
【知识点】
一元一次方程应用；工作总量公式；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用题，解题关键是找准题目中隐含的等量关系，整体逻辑清晰，计算难度低，掌握一元一次方程的基本解法和实际应用的分析方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
13.今年女儿6岁，妈妈32岁，若n年后，妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则n的值为。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确年龄问题的核心规律：经过n年，两人的年龄会同时增加n岁。我们可以先分别表示出n年后女儿和妈妈的年龄，再根据“n年后妈妈年龄是女儿年龄的3倍”这一等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到n的值。
【解析】
解：n年后，女儿的年龄为$(6 + n)$岁，妈妈的年龄为$(32 + n)$岁。
根据题意可列方程：
$32 + n = 3(6 + n)$
展开右侧得：$32 + n = 18 + 3n$
移项得：$3n - n = 32 - 18$
合并同类项得：$2n = 14$
系数化为1得：$n = 7$
经检验，$n=7$符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
一元一次方程的应用；年龄问题计算
【点评】
本题是基础的实际应用题，解题关键是抓住年龄同步增长的特点，准确找到等量关系建立方程，掌握一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确年龄问题的核心规律：经过n年，两人的年龄会同时增加n岁。我们可以先分别表示出n年后女儿和妈妈的年龄，再根据“n年后妈妈年龄是女儿年龄的3倍”这一等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到n的值。
【解析】
解：n年后，女儿的年龄为$(6 + n)$岁，妈妈的年龄为$(32 + n)$岁。
根据题意可列方程：
$32 + n = 3(6 + n)$
展开右侧得：$32 + n = 18 + 3n$
移项得：$3n - n = 32 - 18$
合并同类项得：$2n = 14$
系数化为1得：$n = 7$
经检验，$n=7$符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
一元一次方程的应用；年龄问题计算
【点评】
本题是基础的实际应用题，解题关键是抓住年龄同步增长的特点，准确找到等量关系建立方程，掌握一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
