登录
14. 如图3,正方形ABCD的边长为1,电子蚂蚁P从点A以每秒1个单位长度的速度沿正方形的边顺时针运动,同时电子蚂蚁Q从点A以每秒3个单位长度的速度沿正方形的边逆时针运动,则电子蚂蚁P和Q第423次相遇在点处.
答案
解：正方形ABCD的周长为$4×1=4$。
两只蚂蚁的速度和为$1+3=4$单位/秒，从同一点反向沿正方形边运动，每次相遇的时间间隔为$4÷4=1$秒。
第1次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×1=1$，对应点B；
第2次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×2=2$，对应点C；
第3次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×3=3$，对应点D；
第4次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×4=4$，对应点A；
由此可得相遇点以B、C、D、A为周期循环，周期长度为4。
计算得$423÷4=105······3$，余数为3，对应周期内第3个点。
答：电子蚂蚁P和Q第423次相遇在点D处。
两只蚂蚁的速度和为$1+3=4$单位/秒，从同一点反向沿正方形边运动，每次相遇的时间间隔为$4÷4=1$秒。
第1次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×1=1$，对应点B；
第2次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×2=2$，对应点C；
第3次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×3=3$，对应点D；
第4次相遇时，蚂蚁P走过的路程为$1×4=4$，对应点A；
由此可得相遇点以B、C、D、A为周期循环，周期长度为4。
计算得$423÷4=105······3$，余数为3，对应周期内第3个点。
答：电子蚂蚁P和Q第423次相遇在点D处。
解析
【分析】
这是环形路线反向相遇问题，解题思路如下：首先计算正方形周长，明确每次相遇两只蚂蚁一共走完1圈周长；再结合二者的速度和，算出每次相遇的时间间隔，依次推出前几次的相遇点，就能发现相遇点是按固定周期循环的；最后用总相遇次数除以周期长度，根据余数即可找到第423次的相遇点。
【解析】
第一步：计算正方形ABCD的周长：$4×1=4$。
第二步：求每次相遇的间隔：两只蚂蚁反向运动，速度和为$1+3=4$单位/秒，每次相遇共走1圈，因此每次相遇的时间间隔为$4÷4=1$秒。
第三步：推导相遇点的周期规律：
第1次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×1=1$，沿顺时针从A出发走1个单位，到达点B；
第2次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×2=2$，沿顺时针走2个单位，到达点C；
第3次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×3=3$，沿顺时针走3个单位，到达点D；
第4次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×4=4$，沿顺时针走4个单位回到点A；
因此相遇点按B、C、D、A的顺序循环，周期长度为4。
第四步：计算第423次相遇的位置：$423÷4=105······3$，余数为3，对应周期内第3个点，即点D。
【答案】
D
【知识点】
行程相遇问题，周期规律，正方形周长计算
【点评】
本题结合了行程相遇和周期规律两个考点，解题核心是先通过前几次相遇的位置总结出循环周期，再利用带余除法确定最终位置，计算余数时要注意对应周期内的顺序，避免数错位置。
【难度系数】
0.7
这是环形路线反向相遇问题，解题思路如下：首先计算正方形周长，明确每次相遇两只蚂蚁一共走完1圈周长；再结合二者的速度和，算出每次相遇的时间间隔，依次推出前几次的相遇点，就能发现相遇点是按固定周期循环的；最后用总相遇次数除以周期长度，根据余数即可找到第423次的相遇点。
【解析】
第一步：计算正方形ABCD的周长：$4×1=4$。
第二步：求每次相遇的间隔：两只蚂蚁反向运动，速度和为$1+3=4$单位/秒，每次相遇共走1圈，因此每次相遇的时间间隔为$4÷4=1$秒。
第三步：推导相遇点的周期规律：
第1次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×1=1$，沿顺时针从A出发走1个单位，到达点B；
第2次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×2=2$，沿顺时针走2个单位，到达点C；
第3次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×3=3$，沿顺时针走3个单位，到达点D；
第4次相遇时，蚂蚁P走过路程为$1×4=4$，沿顺时针走4个单位回到点A；
因此相遇点按B、C、D、A的顺序循环，周期长度为4。
第四步：计算第423次相遇的位置：$423÷4=105······3$，余数为3，对应周期内第3个点，即点D。
【答案】
D
【知识点】
行程相遇问题，周期规律，正方形周长计算
【点评】
本题结合了行程相遇和周期规律两个考点，解题核心是先通过前几次相遇的位置总结出循环周期，再利用带余除法确定最终位置，计算余数时要注意对应周期内的顺序，避免数错位置。
【难度系数】
0.7
15. $a,b,c,d$为有理数,规定一种新的运算: $\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$,那么 $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1-x & 5 \end{vmatrix}=23$时,$x=$ ______ .
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的计算结果是左上角元素乘右下角元素，减去左下角元素乘右上角元素。我们先把题目里行列式对应的数值和代数式代入这个规则，就能得到一个关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解，就能算出x的值。
【解析】根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，将$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1-x & 5 \end{vmatrix}=23$代入可得：
$3×5 - 4×(1-x) = 23$
计算得：$15 - 4(1-x) = 23$
去括号：$15 - 4 + 4x = 23$
合并同类项：$11 + 4x = 23$
移项：$4x = 23 - 11$
计算得：$4x = 12$
系数化为1：$x = 3$
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】新定义运算，解一元一次方程
【点评】本题属于新定义类基础题，核心是正确把新运算转化为我们熟悉的方程问题，求解时注意去括号的符号规则就不容易出错。
【难度系数】0.8
【解析】根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，将$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1-x & 5 \end{vmatrix}=23$代入可得：
$3×5 - 4×(1-x) = 23$
计算得：$15 - 4(1-x) = 23$
去括号：$15 - 4 + 4x = 23$
合并同类项：$11 + 4x = 23$
移项：$4x = 23 - 11$
计算得：$4x = 12$
系数化为1：$x = 3$
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】新定义运算，解一元一次方程
【点评】本题属于新定义类基础题，核心是正确把新运算转化为我们熟悉的方程问题，求解时注意去括号的符号规则就不容易出错。
【难度系数】0.8
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (10分)解方程:
(1)$\frac{x-3}{2}+\frac{2x-1}{3}=x-1$;
(2)$3(5x-6)=3-20x$.
16. (10分)解方程:
(1)$\frac{x-3}{2}+\frac{2x-1}{3}=x-1$;
(2)$3(5x-6)=3-20x$.
答案
解：
(1) 去分母，两边同乘6，得
$3(x-3) + 2(2x-1) = 6(x-1)$
去括号，得
$3x - 9 + 4x - 2 = 6x - 6$
移项，得
$3x + 4x - 6x = -6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$x = 5$
(2) 去括号，得
$15x - 18 = 3 - 20x$
移项，得
$15x + 20x = 3 + 18$
合并同类项，得
$35x = 21$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{5}$
(1) 去分母，两边同乘6，得
$3(x-3) + 2(2x-1) = 6(x-1)$
去括号，得
$3x - 9 + 4x - 2 = 6x - 6$
移项，得
$3x + 4x - 6x = -6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$x = 5$
(2) 去括号，得
$15x - 18 = 3 - 20x$
移项，得
$15x + 20x = 3 + 18$
合并同类项，得
$35x = 21$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{5}$
解析
【分析】
这两道题均为一元一次方程求解类题目，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。第(1)题方程含有分母，先找到分母2和3的最小公倍数6，方程两边同乘6去掉分母，再按后续步骤计算即可；第(2)题不含分母，直接先去括号，再按后续步骤求解即可，计算时需注意去括号的符号规则、移项要变号，避免出现计算错误。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘6，得
$3(x-3) + 2(2x-1) = 6(x-1)$
去括号，得
$3x - 9 + 4x - 2 = 6x - 6$
移项，得
$3x + 4x - 6x = -6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$x = 5$
(2) 去括号，得
$15x - 18 = 3 - 20x$
移项，得
$15x + 20x = 3 + 18$
合并同类项，得
$35x = 21$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{5}$
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=\frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程解法的基础题型，重点考查解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时注意符号变化，移项要变号，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
这两道题均为一元一次方程求解类题目，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。第(1)题方程含有分母，先找到分母2和3的最小公倍数6，方程两边同乘6去掉分母，再按后续步骤计算即可；第(2)题不含分母，直接先去括号，再按后续步骤求解即可，计算时需注意去括号的符号规则、移项要变号，避免出现计算错误。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘6，得
$3(x-3) + 2(2x-1) = 6(x-1)$
去括号，得
$3x - 9 + 4x - 2 = 6x - 6$
移项，得
$3x + 4x - 6x = -6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$x = 5$
(2) 去括号，得
$15x - 18 = 3 - 20x$
移项，得
$15x + 20x = 3 + 18$
合并同类项，得
$35x = 21$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{5}$
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=\frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程解法的基础题型，重点考查解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号时注意符号变化，移项要变号，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
17. (9分)m为何值时,代数式$2m-\dfrac{5m-1}{3}$的值与代数式$\dfrac{7-m}{2}$的值的和等于5?
答案
解：根据题意列方程得
$2m - \frac{5m-1}{3} + \frac{7-m}{2} = 5$
去分母（方程两边同时乘6），得
$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 30$
去括号，得
$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 30$
移项，得
$12m - 10m - 3m = 30 - 2 - 21$
合并同类项，得
$-m = 7$
系数化为1，得
$m = -7$
答：当$m=-7$时，代数式$2m-\dfrac{5m-1}{3}$的值与代数式$\dfrac{7-m}{2}$的值的和等于5。
$2m - \frac{5m-1}{3} + \frac{7-m}{2} = 5$
去分母（方程两边同时乘6），得
$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 30$
去括号，得
$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 30$
移项，得
$12m - 10m - 3m = 30 - 2 - 21$
合并同类项，得
$-m = 7$
系数化为1，得
$m = -7$
答：当$m=-7$时，代数式$2m-\dfrac{5m-1}{3}$的值与代数式$\dfrac{7-m}{2}$的值的和等于5。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需从题目中提取等量关系：代数式$2m-\dfrac{5m-1}{3}$与代数式$\dfrac{7-m}{2}$的和等于5，据此可列出关于m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，即可求出m的取值。
【解析】
根据题意列方程得
$2m - \frac{5m-1}{3} + \frac{7-m}{2} = 5$
去分母（方程两边同时乘6），得
$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 30$
去括号，得
$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 30$
移项，得
$12m - 10m - 3m = 30 - 2 - 21$
合并同类项，得
$-m = 7$
系数化为1，得
$m = -7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题型，重点考查根据文字描述提取等量关系的能力，以及解一元一次方程基础步骤的掌握程度，计算时要注意去分母不要漏乘常数项、去括号时注意符号变化，是需要熟练掌握的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需从题目中提取等量关系：代数式$2m-\dfrac{5m-1}{3}$与代数式$\dfrac{7-m}{2}$的和等于5，据此可列出关于m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，即可求出m的取值。
【解析】
根据题意列方程得
$2m - \frac{5m-1}{3} + \frac{7-m}{2} = 5$
去分母（方程两边同时乘6），得
$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 30$
去括号，得
$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 30$
移项，得
$12m - 10m - 3m = 30 - 2 - 21$
合并同类项，得
$-m = 7$
系数化为1，得
$m = -7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题型，重点考查根据文字描述提取等量关系的能力，以及解一元一次方程基础步骤的掌握程度，计算时要注意去分母不要漏乘常数项、去括号时注意符号变化，是需要熟练掌握的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
