17.(12分)综合与实践
【主题】制作圆锥.
【素材】直径为40 cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶.
【实践操作】
步骤1:如图①,把直径为40 cm的圆形卡纸剪出一个圆心角为$60°$的最大扇形ABC(图②).
步骤2:如图③,将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥,并用透明胶粘住接合处.

【实践探索】
(1)求剪下的扇形ABC的半径.
(2)求这个圆锥的底面圆的半径.

解:(1)如图,连接 $OA$,过点 $O$ 作 $OD⊥ AC$ 于点 $D$，

则 $AD=DC$。
因为$∠ BAC=60°$，
所以$∠ OAD=30°$，
所以 $OD=\frac{1}{2}OA=10$ cm，
所以 $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=10\sqrt{3}$(cm)，
所以 $AC=2AD=20\sqrt{3}$ cm，
即剪下的扇形 $ABC$ 的半径为 $20\sqrt{3}$ cm。
(2)设这个圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm。
$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60π×20\sqrt{3}}{180}=\frac{20\sqrt{3}}{3}π$(cm)，
所以 $2π r=\frac{20\sqrt{3}}{3}π$，
解得 $r=\frac{10}{3}\sqrt{3}$，
即这个圆锥的底面圆的半径为$\frac{10}{3}\sqrt{3}$ cm。

18.(13分)(1)证明定理:圆内接四边形的对角互补.
已知:如图①,四边形ABCD内接于⊙O.
求证:∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
(2)逆命题证明:
若四边形ABCD的一组对角∠A+∠C=180°,则这个四边形的四个顶点共圆,可以用反证法,证明如下:
如图②,经过点A,B,D画⊙O.
假设点C在⊙O外,BC交⊙O于点E,连接DE.
因为四边形ABED内接于⊙O,
所以=180°.
因为∠A+∠C=180°,
所以∠BED=,这与∠BED＞∠C矛盾,所以点C不会在⊙O外.
同理,点C也不会在⊙O内.
所以A,B,C,D四点共圆.
(3)结论运用:如图③,AB⊥BC,AB=8,点E,F分别是线段AB、射线BC上的动点,以EF为斜边向上作等腰直角三角形DEF,∠EDF=90°,连接AD,求AD的最小值.

18.(1)证明:如图,连接 $OB,OD$。

由圆周角定理可得$∠ C=\frac{1}{2}∠ BOD$，$∠ A=\frac{1}{2}(360°-∠ BOD)$，
所以$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}∠ BOD+\frac{1}{2}(360°-∠ BOD)$
$=\frac{1}{2}∠ BOD+\frac{1}{2}×360°-\frac{1}{2}∠ BOD$
$=180°$。
因为四边形 $ABCD$ 的内角和为 $360°$，
所以$∠ B+∠ D=360°-(∠ A+∠ C)=360°-180°=180°$，
所以$∠ A+∠ C=∠ B+∠ D=180°$。
(2)解:用反证法证明如下:
如图,经过点 $A,B,D$ 画$\odot O$。

假设点 $C$ 在$\odot O$外,$BC$ 交$\odot O$ 于点 $E$,连接 $DE$。
因为四边形 $ABED$ 内接于$\odot O$，
所以$∠ A+∠ BED=180°$。
因为$∠ A+∠ C=180°$，
所以$∠ BED=∠ C$，这与$∠ BED＞∠ C$矛盾，所以点 $C$ 不会在$\odot O$外。
同理,点 $C$ 也不会在$\odot O$内。
所以 $A,B,C,D$ 四点共圆。
(3)解:如图,连接 $BD$,并延长。

因为以 $EF$ 为斜边向上作等腰直角三角形 $DEF$,$∠ EDF=90°$，
所以$∠ DEF=∠ DFE=45°$。
因为$∠ ABC=90°$，
所以$∠ EDF+∠ ABC=180°$，
所以点 $D,E,B,F$ 四点共圆，
所以$∠ EBD=∠ DFE=45°$。
因为$∠ ABC=90°$，
所以$∠ DBE=∠ DBF=45°$，
所以点 $D$ 在$∠ ABC$ 的平分线上，
所以当 $AD⊥ BD$ 时,$AD$ 取得最小值,最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×8=4\sqrt{2}$。
所以 $AD$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$。