【例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$.判断以点$C$为圆心，下列$r$为半径的$\odot C$与直线$AB$的位置关系.
(1)$r=1.5\ \mathrm{cm}$.
(2)$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(3)$r=2\ \mathrm{cm}$.

|思路分析|
思考:题目中已知圆的半径,所以只需求出的距离,比较大小,即可判断出直线与圆的位置关系.
解:

过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
因此$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}×2}{4}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，即圆心C到直线AB的距离$d=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时，$d=\sqrt{3}\approx1.732＞1.5$，即$d＞r$，$\odot C$与直线AB相离。
(2) 当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，$\odot C$与直线AB相切。
(3) 当$r=2\ \mathrm{cm}$时，$d=\sqrt{3}＜2$，即$d＜r$，$\odot C$与直线AB相交。

|变式训练|
1.在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，以点$A$为圆心作一个半径为3的圆.下列结论正确的是（）

A.点$B$在$\odot A$内
B.点$C$在$\odot A$上
C.直线$BC$与$\odot A$相切
D.直线$BC$与$\odot A$相离

1. C

2.已知$\odot O$的半径$r$为一元二次方程$x^2 - 5x - 6 = 0$的一个根，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是.

2. 相切

【例2】在$△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}.$
(1)若以点$C$为圆心，$2\ \mathrm{cm}$长为半径画$\odot C$，则直线$AB$与$\odot C$的位置关系如何？
(2)若直线$AB$与半径为$r$的$\odot C$相切，求$r$的值.
解:

(1) 直线 AB 与$\odot C$的位置关系是相离.
(2) $r=2.4\ \mathrm{cm}$.