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分式的加、减、乘、除及乘方的混合运算，先算
分式的加、减、乘、除及乘方的混合运算，先算
乘方
，再算乘除
，最后算加减
，有括号的要先算括号
里面的.在运算过程中要注意正确运用运算法则，灵活运用运算律，使运算尽量简便.答案
乘方 乘除 加减 括号
解析
【分析】
这道题考查分式混合运算的顺序规则，我们可以结合已学的有理数混合运算顺序思考：运算存在优先级差异，乘方属于高级运算优先级最高，其次是乘除运算，最后是加减运算；括号的作用是改变运算顺序，因此有括号时要优先计算括号内的内容，按照优先级从高到低的顺序填空即可。
【解析】
分式混合运算的顺序与有理数混合运算顺序完全一致：首先计算优先级最高的乘方运算，其次计算乘除运算，最后计算加减运算；如果式子中含有括号，需要先计算括号里面的内容，同级运算按照从左到右的顺序计算。因此空缺处依次填入乘方、乘除、加减、括号。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号
【知识点】
分式混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记题，是开展分式混合运算的核心基础，熟练掌握运算顺序能有效避免运算时的顺序类错误，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式混合运算的顺序规则，我们可以结合已学的有理数混合运算顺序思考：运算存在优先级差异，乘方属于高级运算优先级最高，其次是乘除运算，最后是加减运算；括号的作用是改变运算顺序，因此有括号时要优先计算括号内的内容，按照优先级从高到低的顺序填空即可。
【解析】
分式混合运算的顺序与有理数混合运算顺序完全一致：首先计算优先级最高的乘方运算，其次计算乘除运算，最后计算加减运算；如果式子中含有括号，需要先计算括号里面的内容，同级运算按照从左到右的顺序计算。因此空缺处依次填入乘方、乘除、加减、括号。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号
【知识点】
分式混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记题，是开展分式混合运算的核心基础，熟练掌握运算顺序能有效避免运算时的顺序类错误，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
1. 计算$(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x}) · x^2$的结果为 （
A.$-x$
B.$\frac{1}{x}$
C.$-\frac{x^2}{2}$
D.$\frac{x}{2}$
D
）A.$-x$
B.$\frac{1}{x}$
C.$-\frac{x^2}{2}$
D.$\frac{x}{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，有两种解题思路可选择：思路一：按照运算顺序，先计算括号内的分式减法，通分化简后再和括号外的整式相乘；思路二：利用乘法分配律，将括号外的$x^2$分别乘括号内的两个分式，再相减，该方法计算更简便，能减少通分出错的概率。
【解析】
方法一：利用乘法分配律简便计算
$\begin{aligned}( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} ) · x^2&=\frac{1}{x} · x^2 - \frac{1}{2x} · x^2\\&=x - \frac{x}{2}\\&=\frac{x}{2}\end{aligned}$
方法二：先算括号内的减法再算乘法
$\begin{aligned}( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} ) · x^2&=( \frac{2}{2x} - \frac{1}{2x} ) · x^2\\&=\frac{1}{2x} · x^2\\&=\frac{x}{2}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算、乘法分配律
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时可根据式子特点灵活选择运算顺序，合理使用运算律能简化计算步骤，提升运算准确率，是分式运算章节需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的混合运算，有两种解题思路可选择：思路一：按照运算顺序，先计算括号内的分式减法，通分化简后再和括号外的整式相乘；思路二：利用乘法分配律，将括号外的$x^2$分别乘括号内的两个分式，再相减，该方法计算更简便，能减少通分出错的概率。
【解析】
方法一：利用乘法分配律简便计算
$\begin{aligned}( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} ) · x^2&=\frac{1}{x} · x^2 - \frac{1}{2x} · x^2\\&=x - \frac{x}{2}\\&=\frac{x}{2}\end{aligned}$
方法二：先算括号内的减法再算乘法
$\begin{aligned}( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} ) · x^2&=( \frac{2}{2x} - \frac{1}{2x} ) · x^2\\&=\frac{1}{2x} · x^2\\&=\frac{x}{2}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算、乘法分配律
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时可根据式子特点灵活选择运算顺序，合理使用运算律能简化计算步骤，提升运算准确率，是分式运算章节需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$( \dfrac{a}{a+b} + \dfrac{2b}{a+b} ) · \dfrac{a}{a+2b} =$
$\frac{a}{a+b}$
答案
2. $\frac{a}{a+b}$
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题时遵循先算括号内、再算乘法的运算顺序：第一步先计算括号内的加法，括号中两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加即可合并括号内的式子；第二步将合并后的结果与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式，约分后就能得到最终结果。
【解析】
先计算括号内的同分母分式加法：
$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{2b}{a+b} = \dfrac{a + 2b}{a + b}$
再计算分式乘法，约去分子分母的公因式$a+2b$（默认$a+2b ≠ 0, a+b ≠ 0$）：
$\dfrac{a + 2b}{a + b} · \dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac{a}{a + b}$
【答案】
$\dfrac{a}{a+b}$
【知识点】
同分母分式加减、分式乘法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，考查分式混合运算的基本规则，运算时严格遵循运算顺序，熟练掌握同分母分式加减法则和约分技巧即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是分式的混合运算题，解题时遵循先算括号内、再算乘法的运算顺序：第一步先计算括号内的加法，括号中两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加即可合并括号内的式子；第二步将合并后的结果与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式，约分后就能得到最终结果。
【解析】
先计算括号内的同分母分式加法：
$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{2b}{a+b} = \dfrac{a + 2b}{a + b}$
再计算分式乘法，约去分子分母的公因式$a+2b$（默认$a+2b ≠ 0, a+b ≠ 0$）：
$\dfrac{a + 2b}{a + b} · \dfrac{a}{a + 2b} = \dfrac{a}{a + b}$
【答案】
$\dfrac{a}{a+b}$
【知识点】
同分母分式加减、分式乘法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，考查分式混合运算的基本规则，运算时严格遵循运算顺序，熟练掌握同分母分式加减法则和约分技巧即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1)
(2) $\frac{4 - a}{a - 1} ÷ \frac{a^2 - 16}{a - 1} + \frac{3}{a + 4}$；
(3) (2024·大连)$( \frac{1}{a + 3} + \frac{1}{a^2 - 9} ) ÷ \frac{a - 2}{2a + 6}$；
(4)$( \frac{2x - 1}{x + 1} - 1 ) ÷ \frac{x^2 - 2x}{x^2 + 2x + 1}$。
(1)
(2) $\frac{4 - a}{a - 1} ÷ \frac{a^2 - 16}{a - 1} + \frac{3}{a + 4}$；
(3) (2024·大连)$( \frac{1}{a + 3} + \frac{1}{a^2 - 9} ) ÷ \frac{a - 2}{2a + 6}$；
(4)$( \frac{2x - 1}{x + 1} - 1 ) ÷ \frac{x^2 - 2x}{x^2 + 2x + 1}$。
答案
(1) 解:原式$=\frac{(x+1)^2}{x+2} · \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{2}{x+2}$
(2) 解:原式$=\frac{4-a}{a-1} · \frac{a-1}{(a+4)(a-4)} + \frac{3}{a+4} = -\frac{1}{a+4} + \frac{3}{a+4} = \frac{2}{a+4}$
(3) 解:原式$=\frac{a-3+1}{(a+3)(a-3)} · \frac{2(a+3)}{a-2} = \frac{2}{a-3}$
(4) 解:原式$=\frac{2x-1-(x+1)}{x+1} ÷ \frac{x(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{x+1}{x}$
(2) 解:原式$=\frac{4-a}{a-1} · \frac{a-1}{(a+4)(a-4)} + \frac{3}{a+4} = -\frac{1}{a+4} + \frac{3}{a+4} = \frac{2}{a+4}$
(3) 解:原式$=\frac{a-3+1}{(a+3)(a-3)} · \frac{2(a+3)}{a-2} = \frac{2}{a-3}$
(4) 解:原式$=\frac{2x-1-(x+1)}{x+1} ÷ \frac{x(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{x+1}{x}$
解析
【分析】
这四道题均属于分式的混合运算题，解题遵循以下思路：1. 先处理运算中的除法：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法统一为乘法运算；2. 对所有分子、分母中的多项式进行因式分解（常用完全平方公式、平方差公式、提取公因式法）；3. 对乘法部分的分式进行约分，化简后再计算加减运算：同分母分式加减时分母不变，分子相加减；有括号的先计算括号内的运算，异分母分式先通分再加减；4. 最后将结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分，最后计算同分母减法：
原式$=\frac{(x+1)^2}{x+2} · \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{x+2}$
约掉公因式$(x+1)$和$(x-1)$得：$\frac{x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x+2}$
同分母分式相减，分子合并：$\frac{(x+1)-(x-1)}{x+2}=\frac{2}{x+2}$
(2) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分，再计算同分母加法：
原式$=\frac{4-a}{a-1} · \frac{a-1}{(a+4)(a-4)} + \frac{3}{a+4}$
约掉公因式$(a-1)$，注意$4-a=-(a-4)$，约掉$(a-4)$得：$-\frac{1}{a+4} + \frac{3}{a+4}$
同分母分式相加，分子合并：$\frac{-1+3}{a+4}=\frac{2}{a+4}$
(3) 先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分后化简：
先对括号内分式通分，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，得：
括号内$=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)} + \frac{1}{(a+3)(a-3)}=\frac{a-3+1}{(a+3)(a-3)}=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
再处理除法：$2a+6=2(a+3)$，除法变乘法得：
原式$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)} · \frac{2(a+3)}{a-2}$
约掉公因式$(a-2)$和$(a+3)$得：$\frac{2}{a-3}$
(4) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
括号内将1化为$\frac{x+1}{x+1}$，得：$\frac{2x-1-(x+1)}{x+1}=\frac{x-2}{x+1}$
再对除式因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，除法变乘法得：
原式$=\frac{x-2}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x(x-2)}$
约掉公因式$(x-2)$和$(x+1)$得：$\frac{x+1}{x}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{2}{x+2}}$；(2) $\boxed{\frac{2}{a+4}}$；(3) $\boxed{\frac{2}{a-3}}$；(4) $\boxed{\frac{x+1}{x}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的约分与通分
【点评】
这几道题是分式运算的典型基础题，核心考查分式运算的顺序、因式分解的灵活运用，以及约分、通分的运算规则，计算时要注意互为相反数的因式约分时需添加负号，避免出现符号错误，熟练掌握乘法公式是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
这四道题均属于分式的混合运算题，解题遵循以下思路：1. 先处理运算中的除法：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法统一为乘法运算；2. 对所有分子、分母中的多项式进行因式分解（常用完全平方公式、平方差公式、提取公因式法）；3. 对乘法部分的分式进行约分，化简后再计算加减运算：同分母分式加减时分母不变，分子相加减；有括号的先计算括号内的运算，异分母分式先通分再加减；4. 最后将结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分，最后计算同分母减法：
原式$=\frac{(x+1)^2}{x+2} · \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{x+2}$
约掉公因式$(x+1)$和$(x-1)$得：$\frac{x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x+2}$
同分母分式相减，分子合并：$\frac{(x+1)-(x-1)}{x+2}=\frac{2}{x+2}$
(2) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分，再计算同分母加法：
原式$=\frac{4-a}{a-1} · \frac{a-1}{(a+4)(a-4)} + \frac{3}{a+4}$
约掉公因式$(a-1)$，注意$4-a=-(a-4)$，约掉$(a-4)$得：$-\frac{1}{a+4} + \frac{3}{a+4}$
同分母分式相加，分子合并：$\frac{-1+3}{a+4}=\frac{2}{a+4}$
(3) 先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分后化简：
先对括号内分式通分，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，得：
括号内$=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)} + \frac{1}{(a+3)(a-3)}=\frac{a-3+1}{(a+3)(a-3)}=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
再处理除法：$2a+6=2(a+3)$，除法变乘法得：
原式$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)} · \frac{2(a+3)}{a-2}$
约掉公因式$(a-2)$和$(a+3)$得：$\frac{2}{a-3}$
(4) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
括号内将1化为$\frac{x+1}{x+1}$，得：$\frac{2x-1-(x+1)}{x+1}=\frac{x-2}{x+1}$
再对除式因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，除法变乘法得：
原式$=\frac{x-2}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x(x-2)}$
约掉公因式$(x-2)$和$(x+1)$得：$\frac{x+1}{x}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{2}{x+2}}$；(2) $\boxed{\frac{2}{a+4}}$；(3) $\boxed{\frac{2}{a-3}}$；(4) $\boxed{\frac{x+1}{x}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的约分与通分
【点评】
这几道题是分式运算的典型基础题，核心考查分式运算的顺序、因式分解的灵活运用，以及约分、通分的运算规则，计算时要注意互为相反数的因式约分时需添加负号，避免出现符号错误，熟练掌握乘法公式是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
4. 计算$(a - \dfrac{2ab - b^2}{a}) ÷ \dfrac{a - b}{a}$的结果是（
A.$\dfrac{(a + b)^2}{a - b}$
B.$a - b$
C.$a + b$
D.$1$
【点拨】先把“a”改写成分母是“1”的“分式”再通分，在做同分母的减法时，应把减数的分子填在括号内，再去括号合并。
B
）A.$\dfrac{(a + b)^2}{a - b}$
B.$a - b$
C.$a + b$
D.$1$
【点拨】先把“a”改写成分母是“1”的“分式”再通分，在做同分母的减法时，应把减数的分子填在括号内，再去括号合并。
答案
4. B
解析
【分析】
这是分式混合运算题，解题思路遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步，先将括号内的整式$a$改写为分母为$a$的分式$\frac{a^2}{a}$，和后一个分式通分，做同分母减法时要注意把减数的分子$2ab - b^2$整体放在括号里，避免去括号时出现符号错误；第二步，括号内的分子合并后用完全平方公式因式分解；第三步，将分式除法转化为乘法，约分化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(a - \dfrac{2ab - b^2}{a}) ÷ \dfrac{a - b}{a}\\=&(\dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a}) × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{a^2 - (2ab - b^2)}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{(a - b)^2}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&a - b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式；通分与约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是计算括号内分式减法时漏加括号导致符号出错，熟练掌握通分、因式分解、约分的规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算题，解题思路遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步，先将括号内的整式$a$改写为分母为$a$的分式$\frac{a^2}{a}$，和后一个分式通分，做同分母减法时要注意把减数的分子$2ab - b^2$整体放在括号里，避免去括号时出现符号错误；第二步，括号内的分子合并后用完全平方公式因式分解；第三步，将分式除法转化为乘法，约分化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(a - \dfrac{2ab - b^2}{a}) ÷ \dfrac{a - b}{a}\\=&(\dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a}) × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{a^2 - (2ab - b^2)}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&\dfrac{(a - b)^2}{a} × \dfrac{a}{a - b}\\=&a - b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式；通分与约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是计算括号内分式减法时漏加括号导致符号出错，熟练掌握通分、因式分解、约分的规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 若式子$(M+\frac{2}{1-x})÷\frac{x-2}{2x-2}$的化简结果为$2x+2$，则整式$M$为（
A.$-x$
B.$x$
C.$1-x$
D.$x+1$
B
）A.$-x$
B.$x$
C.$1-x$
D.$x+1$
答案
5. B
解析
【分析】
本题已知分式化简结果求未知整式M，解题时可将原式转化为关于M的等式，利用逆运算思路求解：首先根据“被除数=商×除数”求出括号内整体的表达式，再通过移项、分式的加减运算化简即可得到M，计算时注意先对多项式因式分解，能约分的先约分简化计算。
【解析】
根据题意可得等式：
$(M+\frac{2}{1-x})÷\frac{x-2}{2x-2}=2x+2$
根据除法各部分关系，变形得：
$M+\frac{2}{1-x}=(2x+2)×\frac{x-2}{2x-2}$
先对右侧式子因式分解并化简：
$2x+2=2(x+1)$，$2x-2=2(x-1)$，代入得：
右侧$=2(x+1)×\frac{x-2}{2(x-1)}=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$
移项求M，同时将$\frac{2}{1-x}$变形为$-\frac{2}{x-1}$：
$M=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}-\frac{2}{1-x}=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}+\frac{2}{x-1}$
合并同分母分式，展开并化简分子：
分子$=(x^2-2x+x-2)+2=x^2-x=x(x-1)$
则$M=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$（$x≠1$，符合分式有意义的条件）
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、整式乘法、分式化简
【点评】
本题核心考查分式运算的灵活运用，解题时既可以顺向运算列等式求解，也可以通过逆运算反向推导，计算过程中要注意分式变号的规则，约分时需保证分母不为0。
【难度系数】
0.7
本题已知分式化简结果求未知整式M，解题时可将原式转化为关于M的等式，利用逆运算思路求解：首先根据“被除数=商×除数”求出括号内整体的表达式，再通过移项、分式的加减运算化简即可得到M，计算时注意先对多项式因式分解，能约分的先约分简化计算。
【解析】
根据题意可得等式：
$(M+\frac{2}{1-x})÷\frac{x-2}{2x-2}=2x+2$
根据除法各部分关系，变形得：
$M+\frac{2}{1-x}=(2x+2)×\frac{x-2}{2x-2}$
先对右侧式子因式分解并化简：
$2x+2=2(x+1)$，$2x-2=2(x-1)$，代入得：
右侧$=2(x+1)×\frac{x-2}{2(x-1)}=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$
移项求M，同时将$\frac{2}{1-x}$变形为$-\frac{2}{x-1}$：
$M=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}-\frac{2}{1-x}=\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}+\frac{2}{x-1}$
合并同分母分式，展开并化简分子：
分子$=(x^2-2x+x-2)+2=x^2-x=x(x-1)$
则$M=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$（$x≠1$，符合分式有意义的条件）
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、整式乘法、分式化简
【点评】
本题核心考查分式运算的灵活运用，解题时既可以顺向运算列等式求解，也可以通过逆运算反向推导，计算过程中要注意分式变号的规则，约分时需保证分母不为0。
【难度系数】
0.7
6. 计算$\dfrac{a^2 -4}{a} ÷ (a+1 - \dfrac{5a -4}{a})$的结果是（
A.$\dfrac{a+2}{a-2}$
B.$\dfrac{a-2}{a+2}$
C.$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a}$
D.$\dfrac{a+2}{a}$
A
）A.$\dfrac{a+2}{a-2}$
B.$\dfrac{a-2}{a+2}$
C.$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a}$
D.$\dfrac{a+2}{a}$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是分式混合运算题，需按照“先算括号内，再算括号外”的顺序计算：①先处理括号内的运算：括号内是整式与分式的减法，先将整式$a+1$通分为分母为$a$的分式，再按同分母分式减法法则计算，将结果的分子因式分解；②再处理除法运算：将除法转化为乘法，同时把被除式的分子用平方差公式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到结果。
【解析】
先计算括号内的减法：
$\begin{aligned}a+1 - \dfrac{5a-4}{a}&=\dfrac{a(a+1)}{a} - \dfrac{5a-4}{a}\\&=\dfrac{a^2+a - (5a - 4)}{a}\\&=\dfrac{a^2+a -5a +4}{a}\\&=\dfrac{a^2 -4a +4}{a}\\&=\dfrac{(a-2)^2}{a}\end{aligned}$
再计算括号外的除法，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{a^2-4}{a} ÷ \dfrac{(a-2)^2}{a}\\&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} × \dfrac{a}{(a-2)^2}\\&=\dfrac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式运算的基本规则，计算时要注意运算顺序，通分、去括号时要留意符号变化，因式分解需彻底才能顺利完成约分。
【难度系数】
0.7
本题是分式混合运算题，需按照“先算括号内，再算括号外”的顺序计算：①先处理括号内的运算：括号内是整式与分式的减法，先将整式$a+1$通分为分母为$a$的分式，再按同分母分式减法法则计算，将结果的分子因式分解；②再处理除法运算：将除法转化为乘法，同时把被除式的分子用平方差公式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到结果。
【解析】
先计算括号内的减法：
$\begin{aligned}a+1 - \dfrac{5a-4}{a}&=\dfrac{a(a+1)}{a} - \dfrac{5a-4}{a}\\&=\dfrac{a^2+a - (5a - 4)}{a}\\&=\dfrac{a^2+a -5a +4}{a}\\&=\dfrac{a^2 -4a +4}{a}\\&=\dfrac{(a-2)^2}{a}\end{aligned}$
再计算括号外的除法，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{a^2-4}{a} ÷ \dfrac{(a-2)^2}{a}\\&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} × \dfrac{a}{(a-2)^2}\\&=\dfrac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式运算的基本规则，计算时要注意运算顺序，通分、去括号时要留意符号变化，因式分解需彻底才能顺利完成约分。
【难度系数】
0.7
7. 下面是亮亮进行分式化简$(\frac{x}{x^2 -4} - \frac{1}{x+2}) ÷ \frac{2}{x-2}$的过程:
解:原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2}$...第一步
$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}] · \frac{x-2}{2}$...第二步
$=\frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2}$...第三步
$=\frac{x -x -2}{x+2} · \frac{1}{2}$...第四步
$=\frac{-2}{x+2} · \frac{1}{2}$...第五步
$=-\frac{2}{x+2}$...第六步
(1)第二步的依据是
(2)亮亮从第
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中,还需要注意哪些事项?请你给其他同学提一条建议.
解:原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2}$...第一步
$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}] · \frac{x-2}{2}$...第二步
$=\frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2}$...第三步
$=\frac{x -x -2}{x+2} · \frac{1}{2}$...第四步
$=\frac{-2}{x+2} · \frac{1}{2}$...第五步
$=-\frac{2}{x+2}$...第六步
(1)第二步的依据是
分式的基本性质
；(2)亮亮从第
四
步开始出现错误,该步错误的原因是括号前是“-”,去括号后,括号内第二项没有变号
；(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中,还需要注意哪些事项?请你给其他同学提一条建议.
答案
7. (1) 分式的基本性质
(2) 四 括号前是“-”,去括号后,括号内第二项没有变号
(3) 原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2} = \frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2} = \frac{2}{x+2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{x+2}$
(4) 在分式化简的过程中,还需要注意的事项有:最后结果应化为最简分式或整式(答案不唯一)
(2) 四 括号前是“-”,去括号后,括号内第二项没有变号
(3) 原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2} = \frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2} = \frac{2}{x+2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{x+2}$
(4) 在分式化简的过程中,还需要注意的事项有:最后结果应化为最简分式或整式(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 第二步是将异分母分式转化为同分母分式的通分操作，通分的依据是分式的基本性质；
(2) 逐步骤核验运算：对分子$x-(x-2)$去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要变号，亮亮在第四步去括号时未将括号内的$-2$改为$+2$，因此从第四步开始出错；
(3) 正确化简遵循分式混合运算顺序：先将除法转化为乘法，再对括号内分式通分计算，最后约分化为最简分式；
(4) 结合分式化简的常见易错点提出合理建议即可，比如结果要化为最简、去括号注意符号等。
【解析】
(1) 第二步通分操作是给$\frac{1}{x+2}$的分子分母同乘不为0的整式$x-2$，变形前后分式的值不变，依据为分式的基本性质。
(2) 第四步去括号时，$x-(x-2)=x-x+2$，亮亮写成了$x-x-2$，错误原因是括号前为负号，去括号后括号内第二项未变号，因此从第四步开始出错。
(3) 正确化简过程：
原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2}$
$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}] · \frac{x-2}{2}$
$=\frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2}$
$=\frac{x-x+2}{x+2} · \frac{1}{2}$
$=\frac{2}{x+2} · \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{x+2}$
(4) 分式化简时要注意运算的每一步都符合运算法则，最终结果要化为最简分式或整式即可。
【答案】
(1) 分式的基本性质
(2) 四；括号前是“-”，去括号后，括号内第二项没有变号
(3) 原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2} = \frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2} = \frac{2}{x+2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{x+2}$
(4) 在分式化简的过程中,还需要注意的事项有:最后结果应化为最简分式或整式(答案不唯一)
【知识点】
分式的基本性质、分式的混合运算、去括号法则
【点评】
本题围绕分式化简的步骤设置问题，重点考查分式运算的规范和常见易错点，能够帮助学生梳理分式化简的正确流程，有效规避运算中符号、约分等常见错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第二步是将异分母分式转化为同分母分式的通分操作，通分的依据是分式的基本性质；
(2) 逐步骤核验运算：对分子$x-(x-2)$去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要变号，亮亮在第四步去括号时未将括号内的$-2$改为$+2$，因此从第四步开始出错；
(3) 正确化简遵循分式混合运算顺序：先将除法转化为乘法，再对括号内分式通分计算，最后约分化为最简分式；
(4) 结合分式化简的常见易错点提出合理建议即可，比如结果要化为最简、去括号注意符号等。
【解析】
(1) 第二步通分操作是给$\frac{1}{x+2}$的分子分母同乘不为0的整式$x-2$，变形前后分式的值不变，依据为分式的基本性质。
(2) 第四步去括号时，$x-(x-2)=x-x+2$，亮亮写成了$x-x-2$，错误原因是括号前为负号，去括号后括号内第二项未变号，因此从第四步开始出错。
(3) 正确化简过程：
原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2}$
$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}] · \frac{x-2}{2}$
$=\frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2}$
$=\frac{x-x+2}{x+2} · \frac{1}{2}$
$=\frac{2}{x+2} · \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{x+2}$
(4) 分式化简时要注意运算的每一步都符合运算法则，最终结果要化为最简分式或整式即可。
【答案】
(1) 分式的基本性质
(2) 四；括号前是“-”，去括号后，括号内第二项没有变号
(3) 原式$=[\frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x+2}] · \frac{x-2}{2} = \frac{x-(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{2} = \frac{2}{x+2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{x+2}$
(4) 在分式化简的过程中,还需要注意的事项有:最后结果应化为最简分式或整式(答案不唯一)
【知识点】
分式的基本性质、分式的混合运算、去括号法则
【点评】
本题围绕分式化简的步骤设置问题，重点考查分式运算的规范和常见易错点，能够帮助学生梳理分式化简的正确流程，有效规避运算中符号、约分等常见错误。
【难度系数】
0.7
