4.【新中考·新运算型阅读理解题】定义一种新运算，规则是 $ x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y} $，根据此规则化简 $ (m+1)*(m-1) $ 的结果为 （）

A.$ \frac{2m}{m^2 -1} $
B.$ \frac{-2m}{m^2 -1} $
C.$ \frac{-2}{m^2 -1} $
D.$ \frac{2}{m^2 -1} $

4. C

【分析】
解决这道题首先要准确理解新定义的运算规则：$x*y$等于$x$的倒数减去$y$的倒数。第一步先确定新运算中对应的$x$和$y$，本题中$x$是$m+1$，$y$是$m-1$，将其代入新运算公式后，转化为分式的减法运算，接下来按照分式减法的计算步骤，先通分，再合并分子，最后化简即可得到结果，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
根据新运算规则$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$，可得：
$(m+1)*(m-1)=\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m-1}$
对两个分式通分，公分母为$(m+1)(m-1)$：
$=\frac{m-1}{(m+1)(m-1)}-\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}$
合并分子：
$=\frac{(m-1)-(m+1)}{(m+1)(m-1)}$
计算分子，去括号注意符号：
$=\frac{m-1-m-1}{m^2-1}$
$=\frac{-2}{m^2-1}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分式的加减，平方差公式
【点评】
本题核心是正确理解新运算规则，将陌生运算转化为已学的分式运算，解题时需注意通分和去括号时的符号问题，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7

5. 一辆货车送货上山，并按原路返回，上山速度是$a$千米/时，下山速度是$b$千米/时，则货车上、下山的平均速度是（）

A.$\frac{1}{2}(a+b)$千米/时
B.$\frac{ab}{a+b}$千米/时
C.$\frac{a+b}{2ab}$千米/时
D.$\frac{2ab}{a+b}$千米/时

5. D

【分析】
计算平均速度的核心公式是“平均速度=总路程÷总时间”，注意不要直接对上下山的速度取平均值。解题时我们可以先设上山的单程路程为s千米，先分别求出上山、下山的行驶时间，再计算出上下山的总路程和总时间，最后代入平均速度公式化简即可得到结果。
【解析】
设上山的单程路程为$s$千米：
1. 上山时间：根据$时间=路程÷ 速度$，可得上山时间$t_1=\frac{s}{a}$小时；
2. 下山时间：下山原路返回，路程同样为$s$千米，可得下山时间$t_2=\frac{s}{b}$小时；
3. 总路程：上下山总路程为$2s$千米；
4. 总时间：总时间为上下山时间之和，即$t=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$；
5. 代入平均速度公式计算：
$v=\frac{总路程}{总时间}=\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}=\frac{2s}{\frac{sb+sa}{ab}}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}$（千米/时）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均速度计算；分式化简；行程问题公式
【点评】
本题是行程类的典型易错题，解题的关键是牢记平均速度的定义，不要混淆“平均速度”和“速度的平均值”两个概念，通过设辅助参数计算，最后化简消去参数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6

6.已知$ab=1$，$t=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}$，则$t^{2024}=$

6. 1

【分析】
本题要求$t^{2024}$的值，核心是先求出$t$的取值。已知条件给出$ab=1$，我们可以先按照异分母分式的加减运算法则，对$t=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}$进行通分化简，再将$ab=1$代入化简后的式子计算出$t$，最后根据负数的偶次幂的运算性质求出最终结果。
【解析】
先对$t$的表达式进行通分化简：
$\begin{aligned}t&=\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}\\&=\frac{a(1-b)+b(1-a)}{(1-a)(1-b)}\\&=\frac{a-ab+b-ab}{1-a-b+ab}\\&=\frac{a+b-2ab}{1-(a+b)+ab}\end{aligned}$
将$ab=1$代入上式：
$\begin{aligned}t&=\frac{a+b-2×1}{1-(a+b)+1}\\&=\frac{(a+b)-2}{2-(a+b)}\\&=\frac{-(2-(a+b))}{2-(a+b)}\\&=-1\end{aligned}$
根据乘方的运算性质，负数的偶次幂为正，可得：
$t^{2024}=(-1)^{2024}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础的分式化简求值题，解题的关键是熟练掌握分式通分的运算规则，代入已知条件后注意观察分子分母的关系进行约分，计算乘方时注意判断指数的奇偶性。
【难度系数】
0.7

7.【教材P153练习T2变式】计算：
(1) ；
(2)(2025·柳州模拟)$\frac{x^2}{x+1} - x +1$

7. (1) 解:原式 $=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}-\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\frac{x+9}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x+9)(x-3)-(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{36}{9-x^2}$； (2) 解:原式 $=\frac{x^2}{x+1}-\frac{(x-1)}{1}=\frac{x^2-(x-1)(x+1)}{x+1}=\frac{1}{x+1}$.

【分析】
这是两道分式加减运算题，解题思路如下：①先对每个分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分，简化计算量；②对于异分母分式（包括整式与分式相加减的情况），先确定最简公分母，将式子通分化为同分母分式；③按照同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，对分子进行整式运算；④最后将结果约分化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解再约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x(x+9)}{x(x+3)}-\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}\\&=\frac{x+9}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
确定最简公分母为$(x+3)(x-3)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+9)(x-3)-(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{(x^2+6x-27)-(x^2+6x+9)}{x^2-9}\\&=\frac{-36}{x^2-9}\\&=\frac{36}{9-x^2}\end{aligned}$
(2) 将整式部分看作分母为1的分式，再通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2}{x+1}-\frac{x-1}{1}\\&=\frac{x^2-(x-1)(x+1)}{x+1}\\&=\frac{x^2-(x^2-1)}{x+1}\\&=\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{\frac{36}{9-x^2}}$；(2)$\boldsymbol{\frac{1}{x+1}}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、约分与通分
【点评】
本题是分式加减的典型基础题，解题时先约分再通分可以有效降低计算量，整式与分式相加减时要注意将整式整体看作分母为1的分式再通分，计算分子时要注意符号问题，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7

8. 已知$\frac{A}{x-1} - \frac{B}{2-x} = \frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，求A，B的值。
03 素养练
学科素养培育

8. 解: $\frac{A}{x-1}-\frac{B}{2-x}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$,$\therefore \begin{cases} A+B=2,\\ -2A-B=-6, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} A=4,\\ B=-2. \end{cases}$

【分析】
这是分式恒等求参数的问题，解题思路如下：第一步先对左侧的分式进行通分，注意将分母$2-x$变形为$-(x-2)$，统一左右两边的分母为$(x-1)(x-2)$；第二步对通分后的分子展开、合并同类项，整理成关于$x$的一次多项式形式；第三步根据“两个分式相等且分母相同时，分子对应项的系数相等”，列出关于$A$、$B$的二元一次方程组；第四步解方程组即可得到$A$、$B$的值。
【解析】
解：先对左侧分式变形通分：
$\frac{A}{x-1} - \frac{B}{2-x} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$
通分后分母为$(x-1)(x-2)$，分子为$A(x-2) + B(x-1)$，展开合并同类项得：
$A(x-2) + B(x-1) = (A+B)x - 2A - B$
因此左侧分式可化为$\frac{(A+B)x - 2A - B}{(x-1)(x-2)}$，与右侧分式$\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$相等，且分母相同，故分子对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A+B=2 \\ -2A - B = -6 \end{cases}$
将两个方程相加，得$-A = -4$，解得$A=4$，将$A=4$代入$A+B=2$，得$4+B=2$，解得$B=-2$。
【答案】
$A=4$，$B=-2$
【知识点】
分式通分；分式恒等性质；二元一次方程组解法
【点评】
本题核心考察分式的变形与恒等性质，解题的易错点是处理分母$2-x$时的符号转换，熟练掌握通分规则和多项式对应系数相等的原理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

9.(2024·玉林期末)已知$m＞n＞0$，如果将分式$\frac{n}{m}$的分子、分母都加上同一个不为0的数，所得分式的值比$\frac{n}{m}$是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究.
(1)比较大小：$\frac{2}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{2+1}{3+1}$.
(2)当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论.
(3)当所加的这个数为$a(a＞0)$时，你能得到什么结论？请说明理由.

9. 解:(1) $＜$ (2) 结论:增大了. 理由: $\because \frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1}=\frac{n-m}{m(m+1)}＜0$,$\therefore \frac{n}{m}＜\frac{n+1}{m+1}$. (3) 结论:增大了. 理由: $\because \frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}＜0$,$\therefore \frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$.

【分析】
本题核心解题方法是作差法比较大小：若两个代数式的差大于0，则前者更大；若差小于0，则后者更大。
(1) 可直接通分计算两个分数的大小，得出结果；
(2) 加的数为1时，将两个分式作差，通分化简后，结合已知$m＞n＞0$判断差的正负，即可得到大小关系；
(3) 加的数为$a(a＞0)$时，沿用(2)的作差思路，通分化简后结合已知条件判断差的正负，即可得到通用结论。
【解析】
(1) 计算得$\frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}$，通分后$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$，因为$\frac{8}{12}＜\frac{9}{12}$，所以$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$。
(2) 结论：所得分式的值比$\frac{n}{m}$增大了。
理由：作差得$\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1}=\frac{n(m+1)-m(n+1)}{m(m+1)}=\frac{n-m}{m(m+1)}$，
$\because m＞n＞0$，$\therefore n-m＜0$，$m(m+1)＞0$，
$\therefore \frac{n-m}{m(m+1)}＜0$，即$\frac{n}{m}＜\frac{n+1}{m+1}$，分式值增大。
(3) 结论：所得分式的值比$\frac{n}{m}$增大了。
理由：作差得$\frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{n(m+a)-m(n+a)}{m(m+a)}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}$，
$\because m＞n＞0$，$a＞0$，$\therefore a(n-m)＜0$，$m(m+a)＞0$，
$\therefore \frac{a(n-m)}{m(m+a)}＜0$，即$\frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$，分式值增大。
【答案】
(1) $＜$
(2) 所得分式的值增大了，理由：$\because \frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1}=\frac{n-m}{m(m+1)}＜0$,$\therefore \frac{n}{m}＜\frac{n+1}{m+1}$；
(3) 所得分式的值增大了，理由：$\because \frac{n}{m}-\frac{n+a}{m+a}=\frac{a(n-m)}{m(m+a)}＜0$,$\therefore \frac{n}{m}＜\frac{n+a}{m+a}$。
【知识点】
作差法比较大小，分式的加减运算，不等式的性质
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究形式，考查分式大小比较的常用方法，解题关键是熟练掌握作差法的应用，通分化简后结合已知条件判断差的符号即可求解，是分式应用的基础典型题。
【难度系数】
0.8