8.【教材P154例4变式】已知甲、乙两人分别从相距4 km的A,B两地同时匀速出发,若相向而行,则经过a min后两人相遇,若同向而行,则经过b(b＞a)min后甲追上乙.
(1)试用含a,b的代数式表示甲、乙两人的速度$v_1,v_2$;
(2)若甲、乙两人相向而行,当甲到达B地时,求乙此时与A地的距离.
03 素养练 学科素养培育

8. 解:(1)根据题意,得 $\begin{cases}a(v_1+v_2)=4,\\b(v_1-v_2)=4.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}v_1=\frac{2a+2b}{ab},\\v_2=\frac{2b-2a}{ab}.\end{cases}$
(2) $\because$ 甲到 B 地的时间 $t_1=\frac{4}{v_1}=\frac{2ab}{a+b}\mathrm{min},\therefore$ 乙行驶的路程为 $v_2 · t_1=\frac{2b-2a}{ab} · \frac{2ab}{a+b}=\frac{4b-4a}{a+b}\mathrm{km}. \therefore$ 乙与 A 地的距离为 $4-\frac{4b-4a}{a+b}=\frac{4a+4b-4b+4a}{a+b}=\frac{8a}{a+b}\mathrm{km}.$ 答:乙此时与 A 地的距离为 $\frac{8a}{a+b}\mathrm{km}.$

【分析】
(1) 本题是行程中的相遇与追及综合问题，首先找准两个核心等量关系：相向而行相遇时，两人路程和等于A、B两地总距离4km；同向而行甲追上乙时，两人路程差等于A、B两地总距离4km。根据等量关系列出关于$v_1、v_2$的二元一次方程组，用加减消元法求解即可得到两人速度的代数式。
(2) 先根据“时间=路程÷速度”求出甲从A地到B地的总时长，再用该时长乘乙的速度得到乙行驶的路程，由于乙从B地出发向A地行驶，因此乙距A地的距离等于总路程4km减去乙已行驶的路程，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}a(v_1+v_2)=4\\b(v_1-v_2)=4\end{cases}$
将方程组变形为：
$\begin{cases}v_1+v_2=\dfrac{4}{a} ①\\v_1-v_2=\dfrac{4}{b} ②\end{cases}$
①+②得：$2v_1=\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}=\dfrac{4a+4b}{ab}$，解得$v_1=\dfrac{2a+2b}{ab}$
①-②得：$2v_2=\dfrac{4}{a}-\dfrac{4}{b}=\dfrac{4b-4a}{ab}$，解得$v_2=\dfrac{2b-2a}{ab}$
(2) 甲到达B地的时间：$t_1=\dfrac{4}{v_1}=\dfrac{4}{\dfrac{2a+2b}{ab}}=\dfrac{2ab}{a+b}\ (\mathrm{min})$
这段时间乙行驶的路程：$s_2=v_2· t_1=\dfrac{2b-2a}{ab}×\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{4b-4a}{a+b}\ (\mathrm{km})$
乙与A地的距离：
$4-s_2=4-\dfrac{4b-4a}{a+b}=\dfrac{4(a+b)-(4b-4a)}{a+b}=\dfrac{8a}{a+b}\ (\mathrm{km})$
【答案】
(1) $\begin{cases}v_1=\dfrac{2a+2b}{ab}\\v_2=\dfrac{2b-2a}{ab}\end{cases}$
(2) $\dfrac{8a}{a+b}\ \mathrm{km}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程相遇追及问题；分式化简运算
【点评】
本题结合行程经典模型，考查列方程解决实际问题的能力，同时涉及分式的化简计算，解题核心是准确梳理路程的等量关系，计算时需注意分式通分、约分的规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7

9.【新课标·代数推理】观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{1}+\frac{0}{2}+\frac{1}{1}×\frac{0}{2}=1$；
第2个等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=1$；
第3个等式：$\frac{1}{3}+\frac{2}{4}+\frac{1}{3}×\frac{2}{4}=1$；
第4个等式：$\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{4}×\frac{3}{5}=1$；
第5个等式：$\frac{1}{5}+\frac{4}{6}+\frac{1}{5}×\frac{4}{6}=1$；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：.
(2)写出你猜想的第n个等式：（n为正整数），并证明.

9. (1) $\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$
(2) $\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n} · \frac{n-1}{n+1}=1$
证明:$\because$ 左边$=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n} · \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1+n(n-1)+n-1}{n(n+1)} =1=$ 右边,$\therefore$ 原等式成立.

【分析】
解决这类规律探究题，首先观察已知等式的共同结构，再梳理各部分与等式序号的对应关系：
1. 所有等式结构统一为：第一个分数+第二个分数+两个分数的乘积=1；
2. 第一个分数分子恒为1，分母等于等式的序号（第k个等式分母为k）；
3. 第二个分数的分子为“序号-1”，分母为“序号+1”；
据此可直接写出第6个等式，再推广得到第n个等式，证明时只需对等式左边做分式通分化简，验证结果等于1即可。
【解析】
(1) 第6个等式的序号为6，因此第一个分数为$\frac{1}{6}$，第二个分数分子为$6-1=5$，分母为$6+1=7$，按结构书写得：
$\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$
(2) 第n个等式的序号为n，因此第一个分数为$\frac{1}{n}$，第二个分数分子为$n-1$，分母为$n+1$，猜想等式为：
$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n} · \frac{n-1}{n+1}=1$
证明：左边通分，公分母为$n(n+1)$
左边$=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n} · \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1+n(n-1)+n-1}{n(n+1)} = \frac{n(n+1)}{n(n+1)}=1=$右边
因此原等式成立。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$
(2) $\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n} · \frac{n-1}{n+1}=1$，证明见解析
【知识点】
1. 数式规律探究
2. 分式混合运算
【点评】
本题考查观察归纳能力和分式运算能力，解题核心是找准等式各部分与序号的对应关系，证明过程遵循分式运算规则化简即可，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.75