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【例】如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$为$BC$上一点,$E$为$AC$上一点.
(1)如图①,若$∠ BAC=56°$,$∠ BAD=36°$,$AD=AE$,则$∠ B$的度数为
(2)若$△ ABC$的一边长为3,一边长为4,则$△ ABC$的周长为
(3)如图②,若$∠ ABC=60°$,点$D$为$BC$中点,则$△ ABC$是
(4)如图②,若$AD$是$△ ABC$的中线,$DE// AB$,求证:$△ ADE$为等腰三角形.
(1)如图①,若$∠ BAC=56°$,$∠ BAD=36°$,$AD=AE$,则$∠ B$的度数为
62°
,$∠ EDC$的度数为18°
;(2)若$△ ABC$的一边长为3,一边长为4,则$△ ABC$的周长为
10 或 11
;(3)如图②,若$∠ ABC=60°$,点$D$为$BC$中点,则$△ ABC$是
等边
三角形,$∠ BAD=$30°
,$∠ ADB=$90°
;(4)如图②,若$AD$是$△ ABC$的中线,$DE// AB$,求证:$△ ADE$为等腰三角形.
答案
1. 62° 18°
2. 10 或 11
3. 等边 30° 90°
4. 证明:
∵ AB=AC,AD是△ABC的中线,∠BAD=∠CAD. 又
∵ DE//AB,
∴ ∠BAD=∠ADE. ∠CAD=∠ADE.
∴ EA=ED.
∴ △ADE为等腰三角形.
2. 10 或 11
3. 等边 30° 90°
4. 证明:
∵ AB=AC,AD是△ABC的中线,∠BAD=∠CAD. 又
∵ DE//AB,
∴ ∠BAD=∠ADE. ∠CAD=∠ADE.
∴ EA=ED.
∴ △ADE为等腰三角形.
解析
【分析】
本题围绕等腰、等边三角形的核心知识点展开，各小问解题思路如下：
(1) 先利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和，计算△ABC的底角∠B；再通过三角形外角性质求出∠ADC，结合AD=AE算出△ADE的底角∠ADE，二者作差即可得到∠EDC的度数。
(2) 等腰三角形已知两边求周长，需分类讨论腰长为3或4两种情况，再结合三角形三边关系验证两种情况均成立，分别计算周长即可。
(3) 根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABC的形状；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是△ABC的高和角平分线，即可算出对应角度。
(4) 要证△ADE是等腰三角形，只需证两个内角相等：先由等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，再结合平行线的性质导角，得到∠CAD=∠ADE，即可根据“等角对等边”得证。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$，
$\because ∠ BAC=56°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-56°)÷2=62°$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=62°+36°=98°$，
$∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD=56°-36°=20°$，
$\because AD=AE$，$\therefore △ ADE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ ADE=(180°-∠ DAE)÷2=(180°-20°)÷2=80°$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=98°-80°=18°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为4，三边长为3、3、4，满足三角形三边关系，周长$=3+3+4=10$；
② 若腰长为4，底边长为3，三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长$=4+4+3=11$。
故周长为10或11。
(3) $\because AB=AC$，$∠ ABC=60°$，$\therefore △ ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\because D$为$BC$中点，根据等腰三角形三线合一，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，也是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC÷2=60°÷2=30°$，$∠ ADB=90°$。
(4) 证明：
$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形三线合一），即$∠ BAD=∠ CAD$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$，
$\therefore EA=ED$（等角对等边），
$\therefore △ ADE$为等腰三角形。
【答案】
(1) $62°$，$18°$；(2) 10或11；(3) 等边，$30°$，$90°$；(4) 证明见解析
【知识点】
1. 等腰（边）三角形的性质与判定
2. 三角形三边关系
3. 平行线的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础综合题，侧重考查等腰三角形相关性质的应用，解题时注意分类讨论思想的运用，如求周长时要分情况讨论腰长，同时要验证三边是否满足三角形构成条件；证明题要注意逻辑严谨，导角过程要写清依据。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰、等边三角形的核心知识点展开，各小问解题思路如下：
(1) 先利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和，计算△ABC的底角∠B；再通过三角形外角性质求出∠ADC，结合AD=AE算出△ADE的底角∠ADE，二者作差即可得到∠EDC的度数。
(2) 等腰三角形已知两边求周长，需分类讨论腰长为3或4两种情况，再结合三角形三边关系验证两种情况均成立，分别计算周长即可。
(3) 根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABC的形状；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是△ABC的高和角平分线，即可算出对应角度。
(4) 要证△ADE是等腰三角形，只需证两个内角相等：先由等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，再结合平行线的性质导角，得到∠CAD=∠ADE，即可根据“等角对等边”得证。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$，
$\because ∠ BAC=56°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-56°)÷2=62°$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=62°+36°=98°$，
$∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD=56°-36°=20°$，
$\because AD=AE$，$\therefore △ ADE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ ADE=(180°-∠ DAE)÷2=(180°-20°)÷2=80°$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=98°-80°=18°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为4，三边长为3、3、4，满足三角形三边关系，周长$=3+3+4=10$；
② 若腰长为4，底边长为3，三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长$=4+4+3=11$。
故周长为10或11。
(3) $\because AB=AC$，$∠ ABC=60°$，$\therefore △ ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\because D$为$BC$中点，根据等腰三角形三线合一，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，也是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC÷2=60°÷2=30°$，$∠ ADB=90°$。
(4) 证明：
$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形三线合一），即$∠ BAD=∠ CAD$，
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$，
$\therefore EA=ED$（等角对等边），
$\therefore △ ADE$为等腰三角形。
【答案】
(1) $62°$，$18°$；(2) 10或11；(3) 等边，$30°$，$90°$；(4) 证明见解析
【知识点】
1. 等腰（边）三角形的性质与判定
2. 三角形三边关系
3. 平行线的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础综合题，侧重考查等腰三角形相关性质的应用，解题时注意分类讨论思想的运用，如求周长时要分情况讨论腰长，同时要验证三边是否满足三角形构成条件；证明题要注意逻辑严谨，导角过程要写清依据。
【难度系数】
0.7
1.【新课标·传统文化】西安碑林博物馆收藏的字体包括篆书、隶书、楷书、行书等，这些字体不仅展示了中国书法的演变历程，还体现了不同历史时期的艺术风格.下面四个篆体字是轴对称图形的是（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。我们只需要按照这个标准，逐个判断四个选项的篆体字是否存在满足要求的直线，即可得出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一分析选项：
选项A：不存在能让图形折叠后两边完全重合的直线，不是轴对称图形；
选项B：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项D：沿中间竖直的直线折叠后，左右两部分可以完全重合，属于轴对称图形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题结合传统篆体书法考查轴对称相关知识，形式新颖，既考查了基础知识点的掌握情况，也能让学生感知传统文化中蕴含的数学元素，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆轴对称图形的定义：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。我们只需要按照这个标准，逐个判断四个选项的篆体字是否存在满足要求的直线，即可得出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一分析选项：
选项A：不存在能让图形折叠后两边完全重合的直线，不是轴对称图形；
选项B：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项D：沿中间竖直的直线折叠后，左右两部分可以完全重合，属于轴对称图形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题结合传统篆体书法考查轴对称相关知识，形式新颖，既考查了基础知识点的掌握情况，也能让学生感知传统文化中蕴含的数学元素，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$l$对称，连接$AA'$，$BB'$，$CC'$，其中$BB'$分别交$AC$，$A'C'$于点$D$，$D'$，下列结论：①$AA' // BB'$；②$∠ ADB = ∠ A'D'B'$；③直线$l$垂直平分$AA'$；④直线$AB$与$A'B'$的交点不一定在直线$l$上.其中正确的是（填序号）.
答案
①②③
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的相关性质，再逐个对4个结论进行判断：①根据对称轴与对应点连线的位置关系，结合平行线的判定定理判断；②根据轴对称图形对应角相等的性质判断；③根据轴对称中对称轴与对应点连线的关系直接判断；④根据对应线段所在直线的交点与对称轴的位置关系判断。
【解析】
根据轴对称的性质逐一分析：
1. 若两个图形关于直线$l$对称，则直线$l$垂直于每一组对应点的连线，因此$l ⊥ AA'$，$l ⊥ BB'$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$AA' // BB'$，故①正确；
2. 关于某条直线对称的两个图形全等，对应角相等，$∠ ADB$和$∠ A'D'B'$是一组对应角，因此$∠ ADB = ∠ A'D'B'$，故②正确；
3. 根据轴对称的性质，对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，因此直线$l$垂直平分$AA'$，故③正确；
4. 关于某条直线对称的两个图形，对应线段所在直线的交点一定在对称轴上，因此直线$AB$与$A'B'$的交点一定在直线$l$上，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
轴对称的性质；平行线的判定；垂直平分线的性质
【点评】
本题侧重考查轴对称基础性质的应用，只要熟练掌握轴对称中对应点连线、对应角、对应线段的相关特征，即可快速判断各结论的正误，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆轴对称的相关性质，再逐个对4个结论进行判断：①根据对称轴与对应点连线的位置关系，结合平行线的判定定理判断；②根据轴对称图形对应角相等的性质判断；③根据轴对称中对称轴与对应点连线的关系直接判断；④根据对应线段所在直线的交点与对称轴的位置关系判断。
【解析】
根据轴对称的性质逐一分析：
1. 若两个图形关于直线$l$对称，则直线$l$垂直于每一组对应点的连线，因此$l ⊥ AA'$，$l ⊥ BB'$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$AA' // BB'$，故①正确；
2. 关于某条直线对称的两个图形全等，对应角相等，$∠ ADB$和$∠ A'D'B'$是一组对应角，因此$∠ ADB = ∠ A'D'B'$，故②正确；
3. 根据轴对称的性质，对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，因此直线$l$垂直平分$AA'$，故③正确；
4. 关于某条直线对称的两个图形，对应线段所在直线的交点一定在对称轴上，因此直线$AB$与$A'B'$的交点一定在直线$l$上，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
轴对称的性质；平行线的判定；垂直平分线的性质
【点评】
本题侧重考查轴对称基础性质的应用，只要熟练掌握轴对称中对应点连线、对应角、对应线段的相关特征，即可快速判断各结论的正误，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
3.(2025·信阳模拟)在平面直角坐标系中，已知点$P(a,1)$与点$Q(2,b)$关于$x$轴对称，则$a+b=$
1
。答案
3. 1
解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。解题时先根据该特征匹配点P和点Q的坐标，分别求出a、b的取值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵点$P(a,1)$与点$Q(2,b)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴$a=2$，$b=-1$，
∴$a+b=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平面直角坐标系内对称点的坐标变化规律，熟记不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速解题，该类题型多以选择、填空的形式出现，得分率较高。
【难度系数】
0.9
首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。解题时先根据该特征匹配点P和点Q的坐标，分别求出a、b的取值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵点$P(a,1)$与点$Q(2,b)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴$a=2$，$b=-1$，
∴$a+b=2+(-1)=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平面直角坐标系内对称点的坐标变化规律，熟记不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速解题，该类题型多以选择、填空的形式出现，得分率较高。
【难度系数】
0.9
4.△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为(1,−1)，点B的坐标为(3,1).
(1)在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标；
(2)作与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；
(3)已知M为网格中的一个格点，若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标.
(1)在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标；
(2)作与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；
(3)已知M为网格中的一个格点，若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标.
答案
4. 解:(1)图略,点 C 的坐标为(3,4).(2)图略.(3)设 M(t,0),
∵△ABM 的面积为 2,AB 与 x 轴交于点(2,0),
∴1/2×|t−2|×2=2,解得 t=0 或 t=4.
∴点 M 的坐标为(0,0)或(4,0).
∵△ABM 的面积为 2,AB 与 x 轴交于点(2,0),
∴1/2×|t−2|×2=2,解得 t=0 或 t=4.
∴点 M 的坐标为(0,0)或(4,0).
解析
【分析】
(1) 要画平面直角坐标系，根据已知点A(1,-1)的坐标，可确定x轴是点A上方1格的水平网格线，y轴是点A左侧1格的竖直网格线，画出坐标系后，根据网格就能读出点C的坐标。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接即可得到△A'B'C'。
(3) 点M在x轴上，可设其坐标为(t,0)，先找到直线AB与x轴的交点，将△ABM拆分为两个共底的小三角形，利用三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 根据点A(1,-1)的坐标，确定原点位置：x轴为点A上方1格的水平网格线，y轴为点A左侧1格的竖直网格线，画出平面直角坐标系。观察网格可得，点C的横坐标为3，纵坐标为4，即C(3,4)。
(2) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得A'(1,1)、B'(3,-1)、C'(3,-4)，在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A'B'C'。
(3) 设点M的坐标为(t,0)，由A(1,-1)、B(3,1)可知直线AB交x轴于点(2,0)。△ABM的面积可看作两个以|t-2|为底，高分别为1（A到x轴的距离）和1（B到x轴的距离）的小三角形面积之和，因此：
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2} × |t-2| × (1+1) = 2$
化简得$|t-2|=2$，解得$t=0$或$t=4$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系略，点C的坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$；
(2) △A'B'C'略；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(4,0)}$。
【知识点】
平面直角坐标系，坐标的轴对称变化，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标系的建立、轴对称作图和动态点的面积求解，解题时要熟练掌握坐标变化规律，求解面积相关的动点问题时注意绝对值方程的解有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要画平面直角坐标系，根据已知点A(1,-1)的坐标，可确定x轴是点A上方1格的水平网格线，y轴是点A左侧1格的竖直网格线，画出坐标系后，根据网格就能读出点C的坐标。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接即可得到△A'B'C'。
(3) 点M在x轴上，可设其坐标为(t,0)，先找到直线AB与x轴的交点，将△ABM拆分为两个共底的小三角形，利用三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 根据点A(1,-1)的坐标，确定原点位置：x轴为点A上方1格的水平网格线，y轴为点A左侧1格的竖直网格线，画出平面直角坐标系。观察网格可得，点C的横坐标为3，纵坐标为4，即C(3,4)。
(2) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得A'(1,1)、B'(3,-1)、C'(3,-4)，在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A'B'C'。
(3) 设点M的坐标为(t,0)，由A(1,-1)、B(3,1)可知直线AB交x轴于点(2,0)。△ABM的面积可看作两个以|t-2|为底，高分别为1（A到x轴的距离）和1（B到x轴的距离）的小三角形面积之和，因此：
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2} × |t-2| × (1+1) = 2$
化简得$|t-2|=2$，解得$t=0$或$t=4$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系略，点C的坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$；
(2) △A'B'C'略；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(4,0)}$。
【知识点】
平面直角坐标系，坐标的轴对称变化，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标系的建立、轴对称作图和动态点的面积求解，解题时要熟练掌握坐标变化规律，求解面积相关的动点问题时注意绝对值方程的解有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.（2025·遵义模拟）如图，
△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD，若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数是（
A.$15°$
B.$20°$
C.$18°$
D.$22°$
△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD，若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数是（B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$18°$
D.$22°$
答案
5. B
解析
【分析】
要求∠ACD的度数，可通过∠ACD=∠ACB-∠DCB的关系推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后结合线段垂直平分线的性质得到DB=DC，推出∠DCB=∠DBC，代入计算即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 70° - 60° = 50°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠DCB = ∠DBC = 30°
∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 50° - 30° = 20°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，将三角形内角和与角平分线、垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是理清所求角度与已知条件的关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
要求∠ACD的度数，可通过∠ACD=∠ACB-∠DCB的关系推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后结合线段垂直平分线的性质得到DB=DC，推出∠DCB=∠DBC，代入计算即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 70° - 60° = 50°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠DCB = ∠DBC = 30°
∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 50° - 30° = 20°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，将三角形内角和与角平分线、垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是理清所求角度与已知条件的关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
