1.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，$E,F$分别是$AB,AC$上的点，且$BE=AF$。
求证：$△ DEF$为等腰直角三角形。

1. 证明:连接 AD,$\because AB=AC,∠ BAC=90°$,D 是 BC 的中点,$\therefore ∠ B=∠ C=45°,∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°,∠ ADB=90°. \therefore ∠ B=∠ BAD=∠ C=∠ CAD,\therefore BD=AD.$ 又$\because ∠ B=∠ CAD,BE=AF,\therefore △ BDE≌△ ADF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=DF,∠ BDE=∠ ADF. \because ∠ ADB=∠ BDE+∠ ADE=90°,\therefore ∠ ADF+∠ ADE=90°,$即$∠ EDF=90°. \therefore △ EDF$为等腰直角三角形.

【分析】
要证明△DEF为等腰直角三角形，需同时证明DE=DF（等腰）和∠EDF=90°（直角）两个结论。首先结合等腰直角三角形ABC及D为BC中点的条件，联想到等腰三角形三线合一的性质，连接辅助线AD，可得到AD=BD、∠B=∠DAF=45°的边角关系；再结合已知BE=AF，可通过SAS判定△BDE≌△ADF，利用全等性质得到DE=DF，最后通过角的和差关系推导∠EDF=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，∠ADB=90°，
∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD，
∴BD=AD。
又
∵∠B=∠CAD，BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）。
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF。
∵∠ADB=∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°。
∴△EDF为等腰直角三角形。
【答案】
△DEF为等腰直角三角形
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形综合的典型证明题，解题的突破口是连接AD构造全等三角形，既考查了等腰直角三角形的特殊性质，也考查了全等三角形的判定及性质的应用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

2. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是 （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

2. B

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质：两个底角度数相等，同时结合三角形内角和为180°的定理求解。我们可以通过设未知数列方程的方法解答：先设底角的度数为x，根据题意表示出顶角的度数，再利用三个内角之和为180°列出方程，求解即可得到底角的度数。
【解析】
设这个等腰三角形的底角度数为$x°$，
由题意可知，顶角度数为$(2x + 20)°$，
根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + x + (2x + 20) = 180$
合并同类项得：$4x + 20 = 180$
移项得：$4x = 160$
解得：$x = 40$
即底角的度数是$40°$。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.三角形内角和定理
3.一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的性质与方程思想结合考查，只要熟练掌握等腰三角形的角的特性和三角形内角和定理，就能快速列方程求解。
【难度系数】
0.9

3. 问题提出：
某班级在探究“牧民饮马问题”时抽象出数学模型：直线$ l $同旁有两个定点$ A,B $，在直线$ l $上存在点$ P $，使得$ PA+PB $的值最小。
解法：如图1，作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，连接$ A'B $，则$ A'B $与直线$ l $的交点即为$ P $，且$ PA+PB $的最小值为$ A'B $。

(1) 如图2，在等边$ △ ABC $中，$ E $是$ AB $上的点，$ AD $是$ ∠ BAC $的平分线，$ P $是$ AD $上的点，若$ AD=6 $，则$ PE+PB $的最小值为。
问题解决：
(2) 如图3，草地边缘$ OM $与小河河岸$ ON $在点$ O $处形成$ 30° $的夹角，牧马人从$ A $地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到$ A $地。已知$ OA=5 \ \mathrm{km} $，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程。

3. 解:(1)6
(2)分别作出点 A 关于 OM,ON 的对称点 B,C,连接 BC 分别交 OM,ON 于点D,E,连接 AD,AE,则线段 AD,DE,EA 之和即为所求的最短路径. 由题意,得OB=OA=OC=5,∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE,
∵∠MON=∠AOD+∠AOE=30°,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°.
∴△OBC为等边三角形.
∴BC=OB=5. AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5 km,
∴整个过程所行的路程为 5 km.

【分析】
(1) 本题为单动点最短路径问题，解题思路为利用轴对称转化相等线段：首先根据等边三角形三线合一的性质，AD是∠BAC的平分线，因此AD垂直平分BC，即点B关于AD的对称点是点C，可得PB=PC，那么PE+PB=PE+PC。根据两点之间线段最短，PE+PC的最小值为点C到AB的垂线段长度，等边三角形各边上的高长度相等，已知AD是BC边上的高为6，因此最小值为6。
(2) 本题为双动点最短路径问题，需通过两次轴对称转化线段：要使路径$A\to 草地边OM\to 河岸ON\to A$总长度最短，即$AD+DE+EA$最小，分别作点A关于OM、ON的对称点，根据轴对称性质可将折线段转化为两点之间的线段，再结合已知角度和边长推导等边三角形，即可求出最短路径长度。
【解析】
(1) 解：
∵$△ ABC$是等边三角形，AD是$∠ BAC$的平分线，
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于AD对称，
∴$PB=PC$，
∴$PE+PB=PE+PC$，
当C、P、E三点共线且$CE⊥ AB$时，$PE+PC$取得最小值，最小值为AB边上的高的长度。
∵等边三角形各边上的高相等，AD是BC边上的高，$AD=6$，
∴$PE+PB$的最小值为6。
(2) 解：分别作点A关于OM的对称点B，关于ON的对称点C，连接BC，分别交OM于点D、交ON于点E，连接AD、AE，则路径$A\to D\to E\to A$即为最短路径。
由轴对称的性质可得：$OB=OA=5$，$OC=OA=5$，$∠ BOD=∠ AOD$，$∠ COE=∠ AOE$，
∵$∠ MON=∠ AOD+∠ AOE=30°$，
∴$∠ BOC=∠ BOD+∠ AOD+∠ COE+∠ AOE=2(∠ AOD+∠ AOE)=2×30°=60°$，
又
∵$OB=OC=5$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=5\ \mathrm{km}$，
∵$AD=BD$，$AE=CE$，
∴$AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5\ \mathrm{km}$，
即整个过程所行的路程为5 km。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) 最短路线为：从A地出发到OM上的点D，再到ON上的点E，最后返回A地；整个过程所行路程为$\boldsymbol{5\ \mathrm{km}}$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际考查最短路径的求解，核心解题方法是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算总长度，既考查了基础几何性质的掌握，也考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6