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6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.
答案
6. 证明:
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF,DE=DF.
∴AD 垂直平分 EF.
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF,DE=DF.
∴AD 垂直平分 EF.
解析
【分析】
要证明AD垂直平分EF，可结合线段垂直平分线的判定推导：首先利用已知的角平分线条件和两条高的垂直关系，结合公共边AD，证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，得到AE=AF、DE=DF，说明点A和点D都在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可推出AD垂直平分EF。
【解析】
证明：
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
又
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF。
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD 垂直平分 EF。
【答案】
证明:
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF,DE=DF.
∴AD 垂直平分 EF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查多个基础几何知识点的综合应用，解题核心是先通过角平分线和垂直条件证明三角形全等，得到线段相等关系后结合垂直平分线判定得出结论，能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.75
要证明AD垂直平分EF，可结合线段垂直平分线的判定推导：首先利用已知的角平分线条件和两条高的垂直关系，结合公共边AD，证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，得到AE=AF、DE=DF，说明点A和点D都在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可推出AD垂直平分EF。
【解析】
证明：
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
又
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF。
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD 垂直平分 EF。
【答案】
证明:
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,又
∵AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF,DE=DF.
∴AD 垂直平分 EF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查多个基础几何知识点的综合应用，解题核心是先通过角平分线和垂直条件证明三角形全等，得到线段相等关系后结合垂直平分线判定得出结论，能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.75
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,则∠ADB= (
A.100°
B.105°
C.110°
D.115°
B
)A.100°
B.105°
C.110°
D.115°
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰三角形△ABC入手：已知AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可先算出底角∠C的度数；再根据“以B为圆心，BC的长为半径画弧”的作图规则，可得BD=BC，因此△BCD也是等腰三角形，同理可得∠BDC=∠C；最后观察∠ADB与∠BDC是邻补角，二者和为180°，代入∠BDC的度数即可求出∠ADB的大小。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和定理：
$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-30°)÷2=75°$，
∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，
∴BD=BC，
∴$∠ BDC=∠ C=75°$，
又
∵$∠ ADB+∠ BDC=180°$（邻补角互补），
∴$∠ ADB=180°-75°=105°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合等腰三角形的性质挖掘图中相等的角，解题的关键是根据作图特征得到BD=BC，再结合内角和与邻补角的关系逐步推导即可，对基础几何性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等腰三角形△ABC入手：已知AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可先算出底角∠C的度数；再根据“以B为圆心，BC的长为半径画弧”的作图规则，可得BD=BC，因此△BCD也是等腰三角形，同理可得∠BDC=∠C；最后观察∠ADB与∠BDC是邻补角，二者和为180°，代入∠BDC的度数即可求出∠ADB的大小。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和定理：
$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-30°)÷2=75°$，
∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，
∴BD=BC，
∴$∠ BDC=∠ C=75°$，
又
∵$∠ ADB+∠ BDC=180°$（邻补角互补），
∴$∠ ADB=180°-75°=105°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合等腰三角形的性质挖掘图中相等的角，解题的关键是根据作图特征得到BD=BC，再结合内角和与邻补角的关系逐步推导即可，对基础几何性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC=6$,$∠ B=60°$,AD是BC边上的中线.点E在AC边上,且$∠ EDA=30°$,则直线ED与AB的位置关系是________,$ED$的长为________.
答案
8. ED//AB 3
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件判断△ABC的形状：已知AC=BC且∠B=60°，可先推出△ABC是等边三角形，得到各角和各边的数值；再结合AD是BC边上的中线，利用等边三角形“三线合一”的性质得到∠BAD的度数，对比∠EDA的度数，通过内错角相等判断两直线的位置关系；最后根据平行线和中点的条件，利用三角形中位线定理计算ED的长度。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
∵ $AC=BC$，$∠B=60°$
∴ $△ ABC$是等边三角形
∴ $AB=BC=AC=6$，$∠BAC=60°$
2. 推导ED与AB的位置关系：
∵ AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形
∴ AD平分$∠BAC$（等边三角形三线合一）
∴ $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$
又
∵ $∠EDA=30°$
∴ $∠EDA=∠BAD$
∴ $ED// AB$（内错角相等，两直线平行）
3. 计算ED的长度：
∵ D是BC的中点，$ED// AB$
∴ E是AC的中点，即ED是$△ ABC$的中位线
∴ $ED=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
$ED// AB$；$3$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是先判定三角形为等边三角形，再结合三线合一、平行线判定和中位线定理逐步推导，考查对基础几何定理的掌握和应用能力，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件判断△ABC的形状：已知AC=BC且∠B=60°，可先推出△ABC是等边三角形，得到各角和各边的数值；再结合AD是BC边上的中线，利用等边三角形“三线合一”的性质得到∠BAD的度数，对比∠EDA的度数，通过内错角相等判断两直线的位置关系；最后根据平行线和中点的条件，利用三角形中位线定理计算ED的长度。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
∵ $AC=BC$，$∠B=60°$
∴ $△ ABC$是等边三角形
∴ $AB=BC=AC=6$，$∠BAC=60°$
2. 推导ED与AB的位置关系：
∵ AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形
∴ AD平分$∠BAC$（等边三角形三线合一）
∴ $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$
又
∵ $∠EDA=30°$
∴ $∠EDA=∠BAD$
∴ $ED// AB$（内错角相等，两直线平行）
3. 计算ED的长度：
∵ D是BC的中点，$ED// AB$
∴ E是AC的中点，即ED是$△ ABC$的中位线
∴ $ED=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
$ED// AB$；$3$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是先判定三角形为等边三角形，再结合三线合一、平行线判定和中位线定理逐步推导，考查对基础几何定理的掌握和应用能力，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9.(2024·南宁期末)如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，垂足为点D，若$∠ B = 2∠ C$，$BC = 4$，则$CD =$
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠B=2∠C的条件求出∠C、∠B的度数；再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度；接着在Rt△ABD中，再次利用30°角的直角三角形性质求出BD的长度；最后用BC的长度减去BD的长度即可得到CD的长度。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ B+∠ C=90°$。
已知$∠ B=2∠ C$，代入得$2∠ C+∠ C=90°$，解得$∠ C=30°$，$∠ B=60°$。
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边$BC=4$，因此$AB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=30°$，因此$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
则$CD=BC-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形两锐角互余；30°直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题主要考查直角三角形的角度与边长关系的应用，解题关键是先推导得到特殊锐角的度数，再借助30°角对应的直角边性质逐步计算边长，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠B=2∠C的条件求出∠C、∠B的度数；再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度；接着在Rt△ABD中，再次利用30°角的直角三角形性质求出BD的长度；最后用BC的长度减去BD的长度即可得到CD的长度。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ B+∠ C=90°$。
已知$∠ B=2∠ C$，代入得$2∠ C+∠ C=90°$，解得$∠ C=30°$，$∠ B=60°$。
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边$BC=4$，因此$AB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=90°$，在$Rt△ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=30°$，因此$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
则$CD=BC-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形两锐角互余；30°直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题主要考查直角三角形的角度与边长关系的应用，解题关键是先推导得到特殊锐角的度数，再借助30°角对应的直角边性质逐步计算边长，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.(2024·兴义月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E.(1)若∠C=40°,则∠BAD的度数是
50°
;(2)过点E作EF//BC交AB于点F.①求证:△BEF是等腰三角形;②若BE平分△ABC的周长,△AEF的周长为15,则△ABC的周长是30
.答案
10. (1) 50° (2) ①证明:
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.又
∵EF//BC,
∴∠EBC=∠BEF.
∴∠EBF=∠FEB.
∴BF=EF,
∴△BEF 是等腰三角形. ② 30
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.又
∵EF//BC,
∴∠EBC=∠BEF.
∴∠EBF=∠FEB.
∴BF=EF,
∴△BEF 是等腰三角形. ② 30
解析
【分析】
（1）首先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，得到∠ABC=∠C，结合三角形内角和求出∠BAC的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD平分∠BAC，即可计算出∠BAD的度数；
（2）①要证明△BEF是等腰三角形，只需证明两个底角相等：先根据角平分线的定义得∠ABE=∠EBC，再结合平行线的内错角相等得∠EBC=∠BEF，等量代换得到两角相等，即可推出边相等，完成证明；
②由①的结论BF=EF，可将△AEF的周长转化为AB+AE=15，再结合BE平分△ABC周长的条件，可得BC+CE与AB+AE相等，两部分相加即为△ABC的总周长。
【解析】
（1）解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-40°=100°$，
∵D是BC中点，AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
（2）①证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EBC=∠BEF，
∴∠ABE=∠BEF，即$∠ EBF=∠ FEB$，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形。
②解：由①得BF=EF，
∴△AEF的周长$=AE+AF+EF=AE+AF+BF=AE+AB=15$，
∵BE平分△ABC的周长，
∴$AB+AE=BC+CE=15$，
∴△ABC的周长$=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC=(AB+AE)+(CE+BC)=15+15=30$。
【答案】
(1) $50°$；(2) ①证明见解析；② $30$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础综合题，考查了等腰三角形相关性质、平行线性质等核心知识点，解题的关键是熟练掌握几何基本性质，学会用转化思想处理周长计算类问题，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，得到∠ABC=∠C，结合三角形内角和求出∠BAC的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD平分∠BAC，即可计算出∠BAD的度数；
（2）①要证明△BEF是等腰三角形，只需证明两个底角相等：先根据角平分线的定义得∠ABE=∠EBC，再结合平行线的内错角相等得∠EBC=∠BEF，等量代换得到两角相等，即可推出边相等，完成证明；
②由①的结论BF=EF，可将△AEF的周长转化为AB+AE=15，再结合BE平分△ABC周长的条件，可得BC+CE与AB+AE相等，两部分相加即为△ABC的总周长。
【解析】
（1）解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-40°=100°$，
∵D是BC中点，AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
（2）①证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EBC=∠BEF，
∴∠ABE=∠BEF，即$∠ EBF=∠ FEB$，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形。
②解：由①得BF=EF，
∴△AEF的周长$=AE+AF+EF=AE+AF+BF=AE+AB=15$，
∵BE平分△ABC的周长，
∴$AB+AE=BC+CE=15$，
∴△ABC的周长$=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC=(AB+AE)+(CE+BC)=15+15=30$。
【答案】
(1) $50°$；(2) ①证明见解析；② $30$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础综合题，考查了等腰三角形相关性质、平行线性质等核心知识点，解题的关键是熟练掌握几何基本性质，学会用转化思想处理周长计算类问题，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E,F两动点分别在线段AD,AB上运动,若∠BAC=48°,则当BE+EF取得最小值时,∠BEF的度数为 (
A.24°
B.30°
C.48°
D.50°
C
)A.24°
B.30°
C.48°
D.50°
答案
11. C
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径结合等腰三角形性质的综合题，解题思路如下：①首先根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点为点C，可得BE=CE，将BE+EF转化为CE+EF；②根据“垂线段最短”，要使CE+EF最小，需满足C、E、F三点共线且CF⊥AB，此时BE+EF取得最小值；③最后结合等腰三角形角度性质、直角三角形两锐角互余计算∠BEF的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=48°，
∴AD垂直平分BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=24°，∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-48°}{2}$=66°。
∵点B与点C关于AD对称，
∴BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF，根据垂线段最短，当CF⊥AB且C、E、F共线时，CE+EF的值最小，即此时BE+EF取得最小值，∠BFE=90°。
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠BAC=90°-48°=42°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ACF=66°-42°=24°，
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=24°，
∴∠EBF=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°，
在Rt△BFE中，∠BEF=90°-∠EBF=90°-42°=48°。
【答案】
C
【知识点】
轴对称最短路径，等腰三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题核心考查轴对称最短路径的判定及等腰三角形性质的应用，解题的突破口是利用对称将两条线段和转化为可求最小值的形式，再结合角度运算得到结果，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题属于轴对称最短路径结合等腰三角形性质的综合题，解题思路如下：①首先根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点为点C，可得BE=CE，将BE+EF转化为CE+EF；②根据“垂线段最短”，要使CE+EF最小，需满足C、E、F三点共线且CF⊥AB，此时BE+EF取得最小值；③最后结合等腰三角形角度性质、直角三角形两锐角互余计算∠BEF的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=48°，
∴AD垂直平分BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=24°，∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-48°}{2}$=66°。
∵点B与点C关于AD对称，
∴BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF，根据垂线段最短，当CF⊥AB且C、E、F共线时，CE+EF的值最小，即此时BE+EF取得最小值，∠BFE=90°。
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠BAC=90°-48°=42°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ACF=66°-42°=24°，
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=24°，
∴∠EBF=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°，
在Rt△BFE中，∠BEF=90°-∠EBF=90°-42°=48°。
【答案】
C
【知识点】
轴对称最短路径，等腰三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题核心考查轴对称最短路径的判定及等腰三角形性质的应用，解题的突破口是利用对称将两条线段和转化为可求最小值的形式，再结合角度运算得到结果，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
12.如图,在等边三角形 ABC 中,点 E 是边 AC
上一定点,点 D 是直线 BC 上一动点,以 DE
为一边作等边三角形 DEF,连接 CF.
【问题解决】
如图1,若点 D 在边 BC 上,CF,CE,CD 之
间的数量关系是
【类比探究】
如图2,若点 D 在边 BC 的延长线上,请探究
线段 CE,CF 与 CD 之间存在怎样的数量关
系?并说明理由.
上一定点,点 D 是直线 BC 上一动点,以 DE
为一边作等边三角形 DEF,连接 CF.
【问题解决】
如图1,若点 D 在边 BC 上,CF,CE,CD 之
间的数量关系是
CF+CE=CD
;【类比探究】
如图2,若点 D 在边 BC 的延长线上,请探究
线段 CE,CF 与 CD 之间存在怎样的数量关
系?并说明理由.
答案
12. CF+CE=CD 解:【类比探究】CF=CE+CD.理由如下;过点 D 作 DG//AB 交 AC 延长线于点 G,则∠A=∠G,∠B=∠BDG.
∵等边△ABC,
∴∠A=∠B=60°.
∴∠G=∠BDG=60°.
∴△GDC 是等边三角形.
∴DG=CG=DC.
∵等边△EDF,
∴ED=FD,∠EDF=60°.
∴∠EDF=∠GDC.
∴∠EDG=∠CDF.
∴△EDG≌△FDC(SAS).
∴EG=CF.
∵EG=EC+CG=EC+CD,
∴FC=EC+CD.
∵等边△ABC,
∴∠A=∠B=60°.
∴∠G=∠BDG=60°.
∴△GDC 是等边三角形.
∴DG=CG=DC.
∵等边△EDF,
∴ED=FD,∠EDF=60°.
∴∠EDF=∠GDC.
∴∠EDG=∠CDF.
∴△EDG≌△FDC(SAS).
∴EG=CF.
∵EG=EC+CG=EC+CD,
∴FC=EC+CD.
解析
【分析】
解决此类含双等边三角形的线段关系探究题，核心思路是利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，构造全等三角形完成线段的等量代换。
1. 针对图1（点D在BC上）：要找CF、CE、CD的数量关系，可过D作平行线构造等边三角形，得到相等的边，再结合等边△DEF的性质证明三角形全等，将CF转化为和CE、CD相关的线段，进而推导三者关系。
2. 针对图2（点D在BC延长线上）：和图1的解题思路一致，同样通过作平行线构造等边三角形，证明全等后将线段等量代换，即可得到对应的数量关系。
【解析】
【问题解决】
过点D作DG//AB交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG//AB，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴△GDC是等边三角形，可得$DG=DC=CG$，
∵△DEF是等边三角形，
∴$ED=FD$，$∠EDF=60°$，
∴$∠EDF=∠GDC=60°$，即$∠EDG=∠FDC$，
在△EDG和△FDC中：
$\{\begin{array}{l}ED=FD\\ ∠ EDG=∠ FDC\\ DG=DC\end{array} $
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴$EG=CF$，
又
∵$CD=CG=CE+EG=CE+CF$，
∴$CF+CE=CD$。
【类比探究】$CF=CE+CD$，理由如下：
过点 D 作 DG//AB 交 AC 延长线于点 G，则$∠A=∠G$，$∠B=∠BDG$。
∵等边△ABC，
∴$∠A=∠B=60°$，
∴$∠G=∠BDG=60°$，
∴△GDC 是等边三角形，
∴$DG=CG=DC$。
∵等边△EDF，
∴$ED=FD$，$∠EDF=60°$，
∴$∠EDF=∠GDC$，
∴$∠EDG=∠CDF$，
∴△EDG≌△FDC(SAS)，
∴$EG=CF$，
∵$EG=EC+CG=EC+CD$，
∴$FC=EC+CD$。
【答案】
【问题解决】$\boldsymbol{CF+CE=CD}$；【类比探究】$\boldsymbol{CF=CE+CD}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何动态探究题，核心是利用双等边三角形的特征构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上推导数量关系，两种情形的解题思路高度一致，体现了类比思想在几何探究中的应用。
【难度系数】
0.6
解决此类含双等边三角形的线段关系探究题，核心思路是利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，构造全等三角形完成线段的等量代换。
1. 针对图1（点D在BC上）：要找CF、CE、CD的数量关系，可过D作平行线构造等边三角形，得到相等的边，再结合等边△DEF的性质证明三角形全等，将CF转化为和CE、CD相关的线段，进而推导三者关系。
2. 针对图2（点D在BC延长线上）：和图1的解题思路一致，同样通过作平行线构造等边三角形，证明全等后将线段等量代换，即可得到对应的数量关系。
【解析】
【问题解决】
过点D作DG//AB交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG//AB，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴△GDC是等边三角形，可得$DG=DC=CG$，
∵△DEF是等边三角形，
∴$ED=FD$，$∠EDF=60°$，
∴$∠EDF=∠GDC=60°$，即$∠EDG=∠FDC$，
在△EDG和△FDC中：
$\{\begin{array}{l}ED=FD\\ ∠ EDG=∠ FDC\\ DG=DC\end{array} $
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴$EG=CF$，
又
∵$CD=CG=CE+EG=CE+CF$，
∴$CF+CE=CD$。
【类比探究】$CF=CE+CD$，理由如下：
过点 D 作 DG//AB 交 AC 延长线于点 G，则$∠A=∠G$，$∠B=∠BDG$。
∵等边△ABC，
∴$∠A=∠B=60°$，
∴$∠G=∠BDG=60°$，
∴△GDC 是等边三角形，
∴$DG=CG=DC$。
∵等边△EDF，
∴$ED=FD$，$∠EDF=60°$，
∴$∠EDF=∠GDC$，
∴$∠EDG=∠CDF$，
∴△EDG≌△FDC(SAS)，
∴$EG=CF$，
∵$EG=EC+CG=EC+CD$，
∴$FC=EC+CD$。
【答案】
【问题解决】$\boldsymbol{CF+CE=CD}$；【类比探究】$\boldsymbol{CF=CE+CD}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何动态探究题，核心是利用双等边三角形的特征构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上推导数量关系，两种情形的解题思路高度一致，体现了类比思想在几何探究中的应用。
【难度系数】
0.6
