例1 如图,在△ABC中,BC//x轴,B(-3,1),BC=2,则△ABC关于y轴对称的△A'B'C'中,点B',C'的坐标分别是。

反思归纳 平面直角坐标系中,关于x轴对称的两点,横坐标相等,纵坐标相反;关于y轴对称的两点,横坐标相反,纵坐标相等。

例1 (3,1),(1,1)

【分析】
要得到点B'、C'的坐标，首先需要确定原图形中点C的坐标，再结合关于y轴对称的点的坐标规律计算即可。第一步求点C坐标：已知BC平行于x轴，因此B、C两点纵坐标相同，再结合BC的长度和点B的横坐标，即可求出点C的横坐标；第二步根据“关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等”的规律，分别计算B、C的对称点坐标。
【解析】
1. 求点C的坐标：
∵ BC//x轴，点B的坐标为(-3,1)，
∴ 点C的纵坐标与点B相等，即$y_C=1$，
又
∵ BC=2，点C在点B的右侧，
∴ 点C的横坐标为$-3+2=-1$，即点C的坐标为$(-1,1)$。
2. 求B'、C'的坐标：
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴ 点B$(-3,1)$关于y轴对称的点B'的坐标为$(3,1)$，
点C$(-1,1)$关于y轴对称的点C'的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(3,1)$，$(1,1)$
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中坐标变换的基础题，解题核心是先结合平行于坐标轴的点的坐标特征求出未知点C的坐标，再熟练运用对称点的坐标变化规律求解，掌握对应规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

1.如图，若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，$BB'$交$MN$于点$O$.则下列说法中不一定正确的是（）

A.$∠ ABC=∠ A'B'C'$
B.$AA'⊥ MN$
C.$AB// A'B'$
D.$BO=B'O$

C

【分析】
本题考查轴对称的性质，解题思路如下：首先回忆轴对称的相关性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形，对应角、对应边都相等；②对应点所连的线段被对称轴垂直平分。接下来逐一分析四个选项，判断每个选项是否符合上述性质，找到不一定正确的选项即可。
【解析】
已知$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，根据轴对称的性质：
1. 关于直线对称的两个图形全等，因此$△ ABC≌△ A'B'C'$，可得对应角$∠ ABC=∠ A'B'C'$，故A选项说法正确，不符合题意；
2. 对应点的连线被对称轴垂直平分，$AA'$、$BB'$都是对应点的连线，因此$AA'⊥ MN$，且$MN$平分$BB'$，即$BO=B'O$，故B、D选项说法正确，不符合题意；
3. 对应边$AB$和$A'B'$的位置关系不一定平行，二者也可能相交（交点在对称轴$MN$上），因此$AB// A'B'$不一定成立，故C选项符合题意。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对轴对称性质的理解，解题的关键是熟练掌握轴对称的相关性质，明确轴对称的两个图形中对应边可能平行也可能相交，不要误认为对应边一定平行。
【难度系数】
0.8

例2 如图,在△ABC中,BC = 14,∠BAC = 100°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.则△AEG的周长是,∠EAG=°.

反思归纳 线段的垂直平分线的性质是证明线段相等的依据,遇到线段的垂直平分线通常构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离。

例2 14 20

【分析】
遇到线段垂直平分线，优先运用其性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。求△AEG周长时，可借助垂直平分线性质将AE、AG转化为BC上的BE、GC，凑出BC的长度即可求出周长；求∠EAG度数时，先通过三角形内角和求出∠B与∠C的和，再结合等边对等角得到∠BAE=∠B、∠CAG=∠C，最后用∠BAC减去∠BAE与∠CAG的和即可得到结果。
【解析】
1. 计算△AEG的周长：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴AE=BE
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴AG=GC
△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC
已知BC=14，因此△AEG的周长为14。
2. 计算∠EAG的度数：
在△ABC中，∠BAC=100°，根据三角形内角和为180°可得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B
∵AG=GC，
∴∠CAG=∠C
∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=80°
∴∠EAG=∠BAC-(∠BAE+∠CAG)=100°-80°=20°
【答案】14；20
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段和角的等量转化，将未知量转化为与已知条件直接关联的量求解，是垂直平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7

2.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点D在AC上,若$△ ABC$的周长为22,$BC=6$,$△ BCD$的周长为14,则点D在线段AB的。
。

垂直平分线上，依次填入两个空为垂直平分线、上。

【分析】
解题思路可分为三步：①首先利用等腰△ABC的周长和底边长，计算出腰AB、AC的长度；②结合△BCD的周长，推导得出BD与AD的数量关系；③根据线段垂直平分线的判定定理，确定点D的位置。
【解析】
解：
∵△ABC的周长为22，BC=6，且AB=AC，
∴$AB=AC=\frac{22-6}{2}=8$，
又
∵△BCD的周长为14，BC=6，
∴$BD+CD=14-6=8$，
∵$AC=AD+CD=8$，
∴$AD+CD=BD+CD$，
两边同时减去CD得：$AD=BD$，
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点D在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
垂直平分线；上
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过周长的数量关系推导出AD=BD，再结合垂直平分线的判定定理即可得出结论，需要熟练掌握线段垂直平分线的判定规则。
【难度系数】
0.7

例3 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD ⊥ BC$，垂足为$G$，且$AD=AB$，$∠ EDF=60°$，其两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$。求证：
(1)$△ ABD$是等边三角形；
(2)$BE=AF$。

例3 证明:(1) $\because AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°. \because AB=AD, \therefore △ ABD$ 是等边三角形；
(2) $\because$ 等边 $△ ABD, \therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°=∠ ADE+∠ BDE, BD=AD$. 又 $\because ∠ EDF=60°=∠ ADE+∠ ADF. \therefore ∠ BDE=∠ ADF$. 由 (1) 知 $∠ DAC=60°$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DAC$. 在 $△ BDE$ 和 $△ ADF$ 中, $\begin{cases}∠ ABD=∠ DAC,\\BD=AD,\\∠ BDE=∠ ADF,\end{cases}$ $\therefore △ BDE≌△ ADF. \therefore BE=AF.$

【分析】
(1) 要证△ABD是等边三角形，已知AB=AD，只需证明该三角形有一个内角为60°即可。结合等腰△ABC三线合一的性质，AD⊥BC可推出AD平分∠BAC，由∠BAC=120°可得∠BAD=60°，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证BE=AF，可通过证明两条线段所在的△BDE和△ADF全等实现。先由等边△ABD的性质得到BD=AD、∠ABD=60°，再结合∠EDF=60°、∠ADB=60°，通过角度的等量代换推出∠BDE=∠ADF，又因为∠DAF=∠BAD=60°，即可用ASA判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又
∵$AB=AD$，
∴$△ ABD$是等边三角形。
(2) 证明：
∵$△ ABD$是等边三角形，
∴$∠ABD=∠ADB=60°$，$BD=AD$，
∵$∠ADB=∠BDE+∠ADE=60°$，$∠EDF=∠ADF+∠ADE=60°$，
∴$∠BDE=∠ADF$，
由(1)可知$∠DAC=∠BAD=60°$，
∴$∠DBE=∠DAF$，
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠DBE=∠DAF \\BD=AD \\∠BDE=∠ADF\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ ADF$（ASA），
∴$BE=AF$。
【答案】
(1) $△ ABD$是等边三角形，证明成立；
(2) $BE=AF$，证明成立。
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 等边三角形的判定与性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查三角形相关性质的综合运用，解题的核心是通过角度等量代换找到全等的判定条件，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=.

3. 18°

【分析】
要计算∠CBD的度数，我们可以按两步推导：第一步，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，先求出等腰△ABC的底角∠C的度数；第二步，因为BD⊥AC，可知△BDC是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数，即可得到∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC为等腰三角形，两底角相等，即∠ABC=∠C
根据三角形内角和定理：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
又
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，△BDC为直角三角形
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CBD=90°-∠ C=90°-72°=18°$
【答案】
18°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将等腰三角形的角的性质与直角三角形的锐角互余性质结合应用，解题的关键是先求出等腰三角形底角的度数，再推导待求角。
【难度系数】
0.8

4.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠BAD的平分线AE交BC于点E,△ABE是三角形;若BC=5,CE=2,则AB的长是.

4. 等腰 3

【分析】
解题时先结合已知的AD//BC，利用平行线的内错角相等得到∠DAE=∠AEB，再结合AE是∠BAD的平分线，得到∠DAE=∠BAE，等量代换后得到△ABE中两个底角相等，根据等角对等边即可判断三角形形状；再根据线段和差关系求出BE的长度，结合前面得到的AB=BE即可求出AB的长。
【解析】
1. 判断△ABE的形状：
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE（等角对等边），
∴△ABE是等腰三角形。
2. 计算AB的长度：
∵BE=BC-CE，已知BC=5，CE=2，
∴BE=5-2=3，
又
∵AB=BE，
∴AB=3。
【答案】
等腰；3
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线性质、角平分线定义与等腰三角形判定相结合考查，解题的关键是通过角的等量代换得到等角，进而推导出等边，是平面几何中比较典型的基础考法。
【难度系数】
0.85