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一、选择题(每小题4分,共32分)
1.【新课标·传统文化】被誉为全国第三大露天碑林的“语溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值.下面四个悬针篆文中,明显不是轴对称图形的是 (
1.【新课标·传统文化】被誉为全国第三大露天碑林的“语溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值.下面四个悬针篆文中,明显不是轴对称图形的是 (
C
)答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个图形不是轴对称图形，首先要明确轴对称图形的判定依据：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，反之则不是。接下来我们只需要逐个判断四个选项里的篆文图形是否能找到满足上述要求的直线即可，找不到对应直线的图形就是本题的答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对四个选项逐一判断：
A选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
B选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
C选项：不存在任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两旁的部分重合，不是轴对称图形，符合题意；
D选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别；轴对称图形的定义
【点评】
本题结合传统篆文文化考查轴对称相关知识，题目形式新颖，侧重对基础概念的考查，能够让学生在做题的同时感受传统文化的魅力。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形不是轴对称图形，首先要明确轴对称图形的判定依据：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，反之则不是。接下来我们只需要逐个判断四个选项里的篆文图形是否能找到满足上述要求的直线即可，找不到对应直线的图形就是本题的答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对四个选项逐一判断：
A选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
B选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
C选项：不存在任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两旁的部分重合，不是轴对称图形，符合题意；
D选项：沿竖直方向的直线折叠，图形左右两部分可以完全重合，是轴对称图形，不符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别；轴对称图形的定义
【点评】
本题结合传统篆文文化考查轴对称相关知识，题目形式新颖，侧重对基础概念的考查，能够让学生在做题的同时感受传统文化的魅力。
【难度系数】
0.8
2.在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,−1),点A与点B关于x轴对称,则点A的坐标是 (
A.(4,1)
B.(−1,4)
C.(−4,−1)
D.(−1,−4)
A
)A.(4,1)
B.(−1,4)
C.(−4,−1)
D.(−1,−4)
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。本题已知点B的坐标，且点A与点B关于x轴对称，直接套用该规律即可求出点A的坐标，再匹配对应选项。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点B的坐标为(4,−1)，则点A的横坐标与点B相同，为4；点A的纵坐标是-1的相反数，即1。
因此点A的坐标为(4,1)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律、相反数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查坐标轴对称的点的坐标变化规律，只要牢记对称时横、纵坐标的对应变化规则，即可快速得出答案，是坐标对称类问题的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。本题已知点B的坐标，且点A与点B关于x轴对称，直接套用该规律即可求出点A的坐标，再匹配对应选项。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点B的坐标为(4,−1)，则点A的横坐标与点B相同，为4；点A的纵坐标是-1的相反数，即1。
因此点A的坐标为(4,1)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律、相反数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查坐标轴对称的点的坐标变化规律，只要牢记对称时横、纵坐标的对应变化规则，即可快速得出答案，是坐标对称类问题的典型基础题。
【难度系数】
0.9
3.等腰三角形的一个内角是$70°$,则它的顶角是（
A.$40°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$40°$或$70°$
D
）A.$40°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$40°$或$70°$
答案
3. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质。题目仅说明一个内角是70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算两种场景下的顶角度数，再判断是否符合三角形内角的要求，最终确定所有可能的结果。
【解析】
已知等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 当70°的内角为顶角时，此时顶角就是70°，满足三角形内角和要求；
2. 当70°的内角为底角时，顶角度数 = 180° - 2×70° = 40°，也满足三角形内角和要求。
因此该等腰三角形的顶角为40°或70°。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键在于明确未指定类型的内角可能是顶角也可能是底角，需要分类讨论避免漏解，同时计算后可通过内角和规则验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质。题目仅说明一个内角是70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算两种场景下的顶角度数，再判断是否符合三角形内角的要求，最终确定所有可能的结果。
【解析】
已知等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 当70°的内角为顶角时，此时顶角就是70°，满足三角形内角和要求；
2. 当70°的内角为底角时，顶角度数 = 180° - 2×70° = 40°，也满足三角形内角和要求。
因此该等腰三角形的顶角为40°或70°。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键在于明确未指定类型的内角可能是顶角也可能是底角，需要分类讨论避免漏解，同时计算后可通过内角和规则验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
4. 等腰三角形的一边长为6，另一边的长为13，
则它的周长为 （
A.25
B.25或32
C.32
D.19
则它的周长为 （
C
）A.25
B.25或32
C.32
D.19
答案
4. C
解析
【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质分情况讨论，确定腰和底的长度，其次必须根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证每种情况能否构成三角形，排除不成立的情况后，再计算符合条件的三角形周长。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为6和13，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6，底边长为13，则三边长为6、6、13。
此时$6+6=12＜13$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为13，底边长为6，则三边长为13、13、6。
此时$13+6=19＞13$，$13+13=26＞6$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为：$13+13+6=32$。
综上，该等腰三角形的周长为32，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长误选B，解题时要牢记构成三角形的前提条件，避免漏验证导致出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质分情况讨论，确定腰和底的长度，其次必须根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证每种情况能否构成三角形，排除不成立的情况后，再计算符合条件的三角形周长。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为6和13，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6，底边长为13，则三边长为6、6、13。
此时$6+6=12＜13$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为13，底边长为6，则三边长为13、13、6。
此时$13+6=19＞13$，$13+13=26＞6$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为：$13+13+6=32$。
综上，该等腰三角形的周长为32，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长误选B，解题时要牢记构成三角形的前提条件，避免漏验证导致出错。
【难度系数】
0.7
5. 如图是屋架设计图的一部分，其中$∠ A=30°$，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，AB=16 m，则DE的长为（
A.8 m
B.4 m
C.2 m
D.6 m
B
）A.8 m
B.4 m
C.2 m
D.6 m
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：DE垂直于AC，可得△ADE是直角三角形，且已知∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，要求DE的长度，只需先求出斜边AD的长度即可；结合已知条件D是AB中点、AB=16m，可先算出AD的长度，代入性质即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵点D是AB的中点，AB=16m
∴$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8m$
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，即△ADE是直角三角形
又
∵∠A=30°，在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴$DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×8 = 4m$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 线段中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的关键是准确识别出含30°角的直角三角形，结合线段中点的性质即可快速求出线段长度，属于基础常考题，掌握直角三角形的特殊角度性质是解题核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：DE垂直于AC，可得△ADE是直角三角形，且已知∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，要求DE的长度，只需先求出斜边AD的长度即可；结合已知条件D是AB中点、AB=16m，可先算出AD的长度，代入性质即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵点D是AB的中点，AB=16m
∴$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8m$
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，即△ADE是直角三角形
又
∵∠A=30°，在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴$DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×8 = 4m$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 线段中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的关键是准确识别出含30°角的直角三角形，结合线段中点的性质即可快速求出线段长度，属于基础常考题，掌握直角三角形的特殊角度性质是解题核心。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$△ ABD$ 是等边三角形，$AC=AD$，$∠ CBD=15°$，则$∠ ACB$ 的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
D
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
6. D
解析
【分析】解题时首先从已知的等边三角形入手，利用等边三角形三边相等的性质得到AB=AD，结合AC=AD的条件可推出AB=AC，由此可知△ABC为等腰三角形，两个底角∠ABC与∠ACB相等。接下来结合已知∠CBD的度数，计算出∠ABC的度数，即可得到∠ACB的大小。
【解析】
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
又
∵AC=AD，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
∴∠ACB=∠ABC，
由图可知∠ABC=∠ABD - ∠CBD，且∠CBD=15°，
∴∠ABC=60° - 15°=45°，
∴∠ACB=45°。
故选：D。
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质；角度计算
【点评】本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是通过等量代换得到AB=AC，将所求角转化为等腰三角形的底角进行计算，需要结合图形准确判断角的和差关系。
【难度系数】0.7
【解析】
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
又
∵AC=AD，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
∴∠ACB=∠ABC，
由图可知∠ABC=∠ABD - ∠CBD，且∠CBD=15°，
∴∠ABC=60° - 15°=45°，
∴∠ACB=45°。
故选：D。
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质；角度计算
【点评】本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是通过等量代换得到AB=AC，将所求角转化为等腰三角形的底角进行计算，需要结合图形准确判断角的和差关系。
【难度系数】0.7
7. 如图，∠EAF=15°, AB=BC=CD=DE=EF, 则∠DEF 等于（
A.90°
B.75°
C.70°
D.60°
D
）A.90°
B.75°
C.70°
D.60°
答案
7. D
解析
【分析】
本题可根据已知的相等边得到多个等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，从已知的∠EAF=15°出发，多次利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导后续三角形的底角度数，最后利用三角形内角和定理求出∠DEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB=BC，∠EAF=15°
∴ △ABC为等腰三角形，∠ACB=∠A=15°
根据三角形外角性质，∠CBD=∠A+∠ACB=15°+15°=30°
∵ BC=CD
∴ △BCD为等腰三角形，∠CDB=∠CBD=30°
同理可得∠DCE=∠A+∠CDB=15°+30°=45°
∵ CD=DE
∴ △CDE为等腰三角形，∠CED=∠DCE=45°
∠EDF=∠A+∠CED=15°+45°=60°
∵ DE=EF
∴ △DEF为等腰三角形，∠EFD=∠EDF=60°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-60°-60°=60°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形角度相关定理的综合应用，解题时需要按顺序逐步推导角度，注意每一步外角对应的不相邻内角不要混淆，逻辑清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题可根据已知的相等边得到多个等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，从已知的∠EAF=15°出发，多次利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导后续三角形的底角度数，最后利用三角形内角和定理求出∠DEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB=BC，∠EAF=15°
∴ △ABC为等腰三角形，∠ACB=∠A=15°
根据三角形外角性质，∠CBD=∠A+∠ACB=15°+15°=30°
∵ BC=CD
∴ △BCD为等腰三角形，∠CDB=∠CBD=30°
同理可得∠DCE=∠A+∠CDB=15°+30°=45°
∵ CD=DE
∴ △CDE为等腰三角形，∠CED=∠DCE=45°
∠EDF=∠A+∠CED=15°+45°=60°
∵ DE=EF
∴ △DEF为等腰三角形，∠EFD=∠EDF=60°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-60°-60°=60°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形角度相关定理的综合应用，解题时需要按顺序逐步推导角度，注意每一步外角对应的不相邻内角不要混淆，逻辑清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上。若 PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，则线段 QR 的长为（
A.4.5 cm
B.5.5 cm
C.6.5 cm
D.7 cm
A
）A.4.5 cm
B.5.5 cm
C.6.5 cm
D.7 cm
答案
8. A
解析
【分析】
遇到涉及点关于直线对称的问题，首先联想轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则这条直线是两点连线的垂直平分线，对称点到直线上任意一点的距离相等。本题中我们可以先根据轴对称性质得到PM=MQ、PN=NR，再结合已知线段长度，先求出QN的长度，最后通过QR=QN+NR计算出QR的长度即可。
【解析】
解：
∵点P与点Q关于OA对称，
∴OA垂直平分PQ，可得MQ = PM = 2.5 cm，
∵点P与点R关于OB对称，
∴OB垂直平分PR，可得NR = PN = 3 cm，
已知MN = 4 cm，
∴QN = MN - MQ = 4 - 2.5 = 1.5 cm，
∴QR = QN + NR = 1.5 + 3 = 4.5 cm。
【答案】
A
【知识点】
1.轴对称的性质
2.线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查轴对称性质的应用，解题的突破口是利用轴对称得到相等的线段，再结合线段的和差关系求解，此类题型是轴对称章节的高频考点，需要熟练掌握对应性质。
【难度系数】
0.7
遇到涉及点关于直线对称的问题，首先联想轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则这条直线是两点连线的垂直平分线，对称点到直线上任意一点的距离相等。本题中我们可以先根据轴对称性质得到PM=MQ、PN=NR，再结合已知线段长度，先求出QN的长度，最后通过QR=QN+NR计算出QR的长度即可。
【解析】
解：
∵点P与点Q关于OA对称，
∴OA垂直平分PQ，可得MQ = PM = 2.5 cm，
∵点P与点R关于OB对称，
∴OB垂直平分PR，可得NR = PN = 3 cm，
已知MN = 4 cm，
∴QN = MN - MQ = 4 - 2.5 = 1.5 cm，
∴QR = QN + NR = 1.5 + 3 = 4.5 cm。
【答案】
A
【知识点】
1.轴对称的性质
2.线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查轴对称性质的应用，解题的突破口是利用轴对称得到相等的线段，再结合线段的和差关系求解，此类题型是轴对称章节的高频考点，需要熟练掌握对应性质。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.如图,△ABC与△A₁B₁C₁关于某条直线成轴对称,则∠A₁=
9.如图,△ABC与△A₁B₁C₁关于某条直线成轴对称,则∠A₁=
75°
.答案
9. 75°
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形，对应角相等，因此∠A₁和△ABC中的∠A是对应角，二者相等。接下来只需要利用三角形内角和为180°，算出△ABC中∠A的度数，即可得到∠A₁的度数。
【解析】
∵△ABC与△A₁B₁C₁关于某条直线成轴对称，
∴△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴∠A₁=∠A。
根据三角形内角和定理，在△ABC中，结合题图给出的∠B=50°、∠C=55°的条件可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-55°=75°，
因此∠A₁=75°。
【答案】
75°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称性质的应用，解题的关键是明确成轴对称的两个图形全等、对应角相等，结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形，对应角相等，因此∠A₁和△ABC中的∠A是对应角，二者相等。接下来只需要利用三角形内角和为180°，算出△ABC中∠A的度数，即可得到∠A₁的度数。
【解析】
∵△ABC与△A₁B₁C₁关于某条直线成轴对称，
∴△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴∠A₁=∠A。
根据三角形内角和定理，在△ABC中，结合题图给出的∠B=50°、∠C=55°的条件可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-55°=75°，
因此∠A₁=75°。
【答案】
75°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称性质的应用，解题的关键是明确成轴对称的两个图形全等、对应角相等，结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.如图，在等边△ABC中，AD是高，若AB=6，则CD的长为
3
。答案
10. 3
解析
【分析】
解题思路：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形三条边长度相等，且等边三角形的高、对应边上的中线、对应角的角平分线重合（即三线合一）。已知AB的长度，可先得到BC的长度，再结合AD是高，利用三线合一可知AD也是BC边上的中线，即D是BC中点，由此可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6
∴BC=AB=6
又
∵AD是等边△ABC的高
根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC边上的中线
∴点D是BC的中点
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等边三角形相关性质的直接应用，熟练掌握三线合一的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形三条边长度相等，且等边三角形的高、对应边上的中线、对应角的角平分线重合（即三线合一）。已知AB的长度，可先得到BC的长度，再结合AD是高，利用三线合一可知AD也是BC边上的中线，即D是BC中点，由此可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6
∴BC=AB=6
又
∵AD是等边△ABC的高
根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC边上的中线
∴点D是BC的中点
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等边三角形相关性质的直接应用，熟练掌握三线合一的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若$∠ BAC=110°$,则$∠ BAE$的大小为
55°
.答案
11. 55°
解析
【分析】
首先梳理已知条件：①已知AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形；②题中描述的尺规作图步骤，是作线段BC垂直平分线的标准作法。结合等腰三角形“三线合一”的性质可知，直线AD既是BC的垂直平分线，也是∠BAC的角平分线，因此∠BAE为∠BAC的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
由尺规作图的步骤可知，直线AD是线段BC的垂直平分线。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
【答案】
55°
【知识点】
等腰三角形性质，尺规作垂直平分线，角平分线定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题关键是能根据尺规作图的操作特征判断出AD的性质，熟练掌握常见尺规作图的作法和等腰三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：①已知AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形；②题中描述的尺规作图步骤，是作线段BC垂直平分线的标准作法。结合等腰三角形“三线合一”的性质可知，直线AD既是BC的垂直平分线，也是∠BAC的角平分线，因此∠BAE为∠BAC的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
由尺规作图的步骤可知，直线AD是线段BC的垂直平分线。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
【答案】
55°
【知识点】
等腰三角形性质，尺规作垂直平分线，角平分线定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题关键是能根据尺规作图的操作特征判断出AD的性质，熟练掌握常见尺规作图的作法和等腰三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$的N处,则N处与灯塔P的距离为
80
海里.答案
12. 80
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据行程公式“路程=速度×时间”算出M到N的航行距离MN；第二步结合方位角和平角的性质，求出△NPM中∠NPM的度数，再根据正北方向与南北坐标轴平行，利用平行线的内错角相等求出∠M的度数；第三步观察到△NPM中两个角相等，利用等腰三角形“等角对等边”的性质，即可得到N到P的距离等于MN的长度。
【解析】
解：① 计算MN的长度：
海轮的航行速度为40海里/小时，航行时间为2小时，
根据路程公式得：$MN = 40 × 2 = 80$（海里）。
② 求△NPM的内角度数：
由方位角可知，$∠NP北=40°$，$∠MP南=70°$，
因为南北方向为平角，因此$∠ NPM = 180° - 40° - 70° = 70°$；
又因为MN是正北方向航行，因此MN平行于南北方向的直线，
根据“两直线平行，内错角相等”得：$∠ M = ∠ MP南 = 70°$。
③ 判定等腰三角形求NP的长度：
在$△ NPM$中，$∠ M = ∠ NPM = 70°$，
根据“等角对等边”可得：$NP = MN = 80$（海里）。
【答案】
80
【知识点】
方位角识别，等腰三角形判定，路程计算
【点评】
本题是几何与行程结合的基础应用题，解题核心是准确根据方位角梳理出三角形的内角关系，结合等腰三角形的性质即可快速求解，需要注意方位角的定义不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先根据行程公式“路程=速度×时间”算出M到N的航行距离MN；第二步结合方位角和平角的性质，求出△NPM中∠NPM的度数，再根据正北方向与南北坐标轴平行，利用平行线的内错角相等求出∠M的度数；第三步观察到△NPM中两个角相等，利用等腰三角形“等角对等边”的性质，即可得到N到P的距离等于MN的长度。
【解析】
解：① 计算MN的长度：
海轮的航行速度为40海里/小时，航行时间为2小时，
根据路程公式得：$MN = 40 × 2 = 80$（海里）。
② 求△NPM的内角度数：
由方位角可知，$∠NP北=40°$，$∠MP南=70°$，
因为南北方向为平角，因此$∠ NPM = 180° - 40° - 70° = 70°$；
又因为MN是正北方向航行，因此MN平行于南北方向的直线，
根据“两直线平行，内错角相等”得：$∠ M = ∠ MP南 = 70°$。
③ 判定等腰三角形求NP的长度：
在$△ NPM$中，$∠ M = ∠ NPM = 70°$，
根据“等角对等边”可得：$NP = MN = 80$（海里）。
【答案】
80
【知识点】
方位角识别，等腰三角形判定，路程计算
【点评】
本题是几何与行程结合的基础应用题，解题核心是准确根据方位角梳理出三角形的内角关系，结合等腰三角形的性质即可快速求解，需要注意方位角的定义不要混淆。
【难度系数】
0.7
13. 如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值为
8
cm.答案
13. 8
解析
【分析】
本题是求两动点一定点构成的三角形周长最小值问题，属于最短路径类题型。解题思路可按以下步骤展开：第一步，利用轴对称的性质，分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM、PN分别转化为对称点到M、N的距离，此时△MPN的周长就等于两个对称点与M、N连线的长度之和；第二步，根据“两点之间线段最短”，当两个对称点、M、N四点共线时，周长最小，即为两个对称点之间的线段长度；第三步，结合已知∠AOB的度数和OP的长度，判断两个对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出线段长度。
【解析】
1. 分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，此时△MPN的周长最小，最小值等于$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称的性质可知：$OP_1=OP=8\mathrm{cm}$，$OP_2=OP=8\mathrm{cm}$，$∠ AOP_1=∠ AOP$，$∠ BOP_2=∠ BOP$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ AOP_1+∠ AOB+∠ BOP_2=2∠ AOB=2×30°=60°$。
3. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=8\mathrm{cm}$，$∠ P_1OP_2=60°$，故$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$P_1P_2=OP_1=8\mathrm{cm}$，即△MPN周长的最小值为8cm。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题方法是通过轴对称变换将折线的长度和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质完成计算，能较好地考查几何变换的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是求两动点一定点构成的三角形周长最小值问题，属于最短路径类题型。解题思路可按以下步骤展开：第一步，利用轴对称的性质，分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM、PN分别转化为对称点到M、N的距离，此时△MPN的周长就等于两个对称点与M、N连线的长度之和；第二步，根据“两点之间线段最短”，当两个对称点、M、N四点共线时，周长最小，即为两个对称点之间的线段长度；第三步，结合已知∠AOB的度数和OP的长度，判断两个对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出线段长度。
【解析】
1. 分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，此时△MPN的周长最小，最小值等于$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称的性质可知：$OP_1=OP=8\mathrm{cm}$，$OP_2=OP=8\mathrm{cm}$，$∠ AOP_1=∠ AOP$，$∠ BOP_2=∠ BOP$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ AOP_1+∠ AOB+∠ BOP_2=2∠ AOB=2×30°=60°$。
3. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=8\mathrm{cm}$，$∠ P_1OP_2=60°$，故$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$P_1P_2=OP_1=8\mathrm{cm}$，即△MPN周长的最小值为8cm。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题方法是通过轴对称变换将折线的长度和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质完成计算，能较好地考查几何变换的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
