1. 因式分解的定义
(1)把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式。
(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c)$
2. 公因式的概念
一个多项式的各项都含有的一个的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。
3. 提公因式法
一般地，如果多项式的各项有，可以把这个提取出来，将多项式写成与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。

1.(1) 乘积 分解因式
2. 公共
3. 公因式 公因式 公因式

【分析】
本题是因式分解相关基础概念的识记类填空题，解题时只需回忆对应教材定义逐一匹配填空即可：①回忆因式分解的定义，对应填写1(1)的两个空；②回忆公因式的概念，填写第2题的空；③回忆提公因式法的定义，填写第3题的三个空。
【解析】
1.(1)根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，因此前两空依次填乘积、分解因式；
2.根据公因式的概念：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做多项式各项的公因式，因此本空填公共；
3.根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种方法叫提公因式法，因此三个空依次填公因式、公因式、公因式。
【答案】
1.(1) 乘积；分解因式
2. 公共
3. 公因式；公因式；公因式
【知识点】
因式分解的定义，公因式的概念，提公因式法
【点评】
本题属于基础概念考查题，全部内容均来自教材基础定义，熟练掌握核心概念是解决此类问题的关键，也是后续学习因式分解相关运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

[典例1]下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是().
A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C. $(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
D. $a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止.
[举一反三]下列由左边到右边的式子变形中,属于因式分解的是().
A. $a(m+n)=am+an$
B. $a^2 -b^2 -c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C. $10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D. $x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$

举一反三 C

【分析】
解题前先明确因式分解的3个判定标准：①变形的对象是多项式；②最终结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边值相等。我们只需对照这三个标准逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐个分析选项：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不符合要求，排除；
选项B：右边是两个整式的乘积减$c^2$，不是纯乘积形式，不符合要求，排除；
选项C：左边是多项式$10x^2-5x$，右边是整式$5x$和$(2x-1)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的要求，当选；
选项D：右边是两个整式的乘积加$6x$，不是纯乘积形式，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解判定的基础题型，解题核心是抓住因式分解“结果为若干整式乘积”的核心特征，同时要注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，避免混淆两种变形。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解与整式乘法的关系
[典例2]把多项式 $x^3 + mx$ 分解因式得 $x(x + n)(x - \frac{1}{2})$，则 $m,n$ 的值可能是().

A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$

B

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解：因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，与整式乘法是互逆运算，因此将分解后的结果$x(x + n)(x - \frac{1}{2})$通过整式乘法展开，得到的多项式与原多项式$x^3 + mx$的对应同类项系数必然相等，据此即可列等式求出m、n的值。
【解析】
首先将因式分解的结果展开：
第一步，根据多项式乘多项式法则计算$(x + n)(x - \frac{1}{2})$：
$(x + n)(x - \frac{1}{2}) = x^2 - \frac{1}{2}x + nx - \frac{1}{2}n = x^2 + (n - \frac{1}{2})x - \frac{n}{2}$
第二步，将上述结果乘以x：
$x(x + n)(x - \frac{1}{2}) = x·[x^2 + (n - \frac{1}{2})x - \frac{n}{2}] = x^3 + (n - \frac{1}{2})x^2 - \frac{n}{2}x$
已知展开后的多项式与原多项式$x^3 + mx$相等，因此对应同类项的系数相等：
1. 原多项式没有$x^2$项，即$x^2$项系数为0，可得$n - \frac{1}{2} = 0$，解得$n = \frac{1}{2}$
2. 对比x项的系数可得$-\frac{n}{2} = m$，将$n = \frac{1}{2}$代入得$m = -\frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$
因此$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆关系
2. 整式乘法运算
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题核心考查因式分解与整式乘法的互逆性，解题关键是将因式分解的结果还原为多项式，通过对应系数相等建立等式求解，解题时注意原式中缺失的项对应系数为0，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.7