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[举一反三]$(x-5)(x-3)$是多项式$x^2 - px +15$因式分解的结果，则$p$的值是(
A.2
B.$-2$
C.8
D.$-8$
C
)。A.2
B.$-2$
C.8
D.$-8$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：因式分解与整式乘法是互逆运算，因此我们可以先将因式分解的结果$(x-5)(x-3)$利用多项式乘多项式法则展开，再将展开后的式子与题目给出的多项式$x^2 - px +15$对比，根据同类项系数相等的原则，即可求出$p$的值。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开$(x-5)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=x· x - 3· x -5· x + (-5)×(-3)\\&=x^2 -3x -5x +15\\&=x^2 -8x +15\end{aligned}$
由题意可知$(x-5)(x-3)=x^2 - px +15$，因此有：
$x^2 -8x +15 = x^2 - px +15$
对比等式两边一次项的系数，可得：$-8 = -p$
解得：$p=8$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解的逆用，系数对应法
【点评】
本题核心考察因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，注意符号运算避免出错，属于基础题型，掌握对应知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：因式分解与整式乘法是互逆运算，因此我们可以先将因式分解的结果$(x-5)(x-3)$利用多项式乘多项式法则展开，再将展开后的式子与题目给出的多项式$x^2 - px +15$对比，根据同类项系数相等的原则，即可求出$p$的值。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开$(x-5)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=x· x - 3· x -5· x + (-5)×(-3)\\&=x^2 -3x -5x +15\\&=x^2 -8x +15\end{aligned}$
由题意可知$(x-5)(x-3)=x^2 - px +15$，因此有：
$x^2 -8x +15 = x^2 - px +15$
对比等式两边一次项的系数，可得：$-8 = -p$
解得：$p=8$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解的逆用，系数对应法
【点评】
本题核心考察因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，注意符号运算避免出错，属于基础题型，掌握对应知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 公因式是单字母的因式分解
[典例3]把下列各式分解因式：
(1)$2b^2 - ab$；
(2)$ax -4bx +x$。
典例解析
[典例3]把下列各式分解因式：
(1)$2b^2 - ab$；
(2)$ax -4bx +x$。
典例解析
答案
解：
(1)
$2b^2 - ab$
$=b· 2b - b· a$
$=b(2b - a)$
(2)
$ax - 4bx + x$
$=x· a - x· 4b + x· 1$
$=x(a - 4b + 1)$
(1)
$2b^2 - ab$
$=b· 2b - b· a$
$=b(2b - a)$
(2)
$ax - 4bx + x$
$=x· a - x· 4b + x· 1$
$=x(a - 4b + 1)$
解析
【分析】
这两道题是公因式为单字母的因式分解基础题，解题思路如下：首先识别公因式：观察多项式的每一项，找出共同含有的单字母，取该字母的最低次幂作为公因式；其次提取公因式：把公因式写在括号外，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果依次作为括号内的项，特别注意：如果多项式中有一项恰好就是公因式本身，提取后该项剩余的1不能省略，避免出现漏项错误。
【解析】
(1)
$2b^2 - ab$
$=b· 2b - b· a$
$=b(2b - a)$
(2)
$ax - 4bx + x$
$=x· a - x· 4b + x· 1$
$=x(a - 4b + 1)$
【答案】
(1)$b(2b-a)$；(2)$x(a-4b+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的入门题型，重点考查单字母公因式的提取方法，解题的关键是准确找到公因式，牢记提公因式后不要漏写系数为1的项，熟练掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这两道题是公因式为单字母的因式分解基础题，解题思路如下：首先识别公因式：观察多项式的每一项，找出共同含有的单字母，取该字母的最低次幂作为公因式；其次提取公因式：把公因式写在括号外，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果依次作为括号内的项，特别注意：如果多项式中有一项恰好就是公因式本身，提取后该项剩余的1不能省略，避免出现漏项错误。
【解析】
(1)
$2b^2 - ab$
$=b· 2b - b· a$
$=b(2b - a)$
(2)
$ax - 4bx + x$
$=x· a - x· 4b + x· 1$
$=x(a - 4b + 1)$
【答案】
(1)$b(2b-a)$；(2)$x(a-4b+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的入门题型，重点考查单字母公因式的提取方法，解题的关键是准确找到公因式，牢记提公因式后不要漏写系数为1的项，熟练掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
典例1
答案D
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;B项,是整式的乘法;C项,是整式的乘法;D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.故选D.
典例2
答案B
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
[举一反三]分解因式:$x^2+3x=$
答案D
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;B项,是整式的乘法;C项,是整式的乘法;D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.故选D.
典例2
答案B
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
[举一反三]分解因式:$x^2+3x=$
$x(x+3)$
.答案
$x(x+3)$
解析
【分析】
本题考查公因式为单字母的因式分解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，先找各项共有的字母，再取该字母的最低次幂作为公因式的一部分，系数取各项系数的最大公约数，本题中多项式两项的系数最大公约数是1，共有字母为x，x的最低次幂是1次，因此公因式为x；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式即可得到结果。
【解析】
对多项式$x^2+3x$进行因式分解：
1. 识别公因式：多项式的两项$x^2$、$3x$都含有公因式$x$；
2. 提取公因式：将公因式$x$提出后，$x^2$除以$x$得$x$，$3x$除以$x$得3，因此原式可整理为$x(x+3)$。
【答案】
$x(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题，主要考查公因式为单字母时的提公因式法应用，掌握公因式的判断方法是解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查公因式为单字母的因式分解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，先找各项共有的字母，再取该字母的最低次幂作为公因式的一部分，系数取各项系数的最大公约数，本题中多项式两项的系数最大公约数是1，共有字母为x，x的最低次幂是1次，因此公因式为x；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式即可得到结果。
【解析】
对多项式$x^2+3x$进行因式分解：
1. 识别公因式：多项式的两项$x^2$、$3x$都含有公因式$x$；
2. 提取公因式：将公因式$x$提出后，$x^2$除以$x$得$x$，$3x$除以$x$得3，因此原式可整理为$x(x+3)$。
【答案】
$x(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题，主要考查公因式为单字母时的提公因式法应用，掌握公因式的判断方法是解题的核心。
【难度系数】
0.9
4. 利用因式分解进行计算
[典例4]利用因式分解计算：
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}-10^{2026}$。
[举一反三]利用因式分解计算：
(1)$3.14×51+3.14×49$；
(2)$\dfrac{2023^4 - 2023^3 - 2022}{2023^4 + 2023^3 - 2024}$。
$\therefore n-\dfrac{1}{2}=0, -\dfrac{1}{2}n=m,$
$\therefore n=\dfrac{1}{2}, m=-\dfrac{1}{4}.$ 故选 B.
典例3
解 (1)$2b^2 - ab = b(2b - a).$
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1).$
典例4
[典例4]利用因式分解计算：
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}-10^{2026}$。
[举一反三]利用因式分解计算：
(1)$3.14×51+3.14×49$；
(2)$\dfrac{2023^4 - 2023^3 - 2022}{2023^4 + 2023^3 - 2024}$。
$\therefore n-\dfrac{1}{2}=0, -\dfrac{1}{2}n=m,$
$\therefore n=\dfrac{1}{2}, m=-\dfrac{1}{4}.$ 故选 B.
典例3
解 (1)$2b^2 - ab = b(2b - a).$
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1).$
典例4
答案
(1) 原式=3.14×(51+49)=3.14×100=314.
(2) 原式=$\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
=$\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
=$\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
=$\frac{2022}{2024}$
=$\frac{1011}{1012}.$
(2) 原式=$\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
=$\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
=$\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
=$\frac{2022}{2024}$
=$\frac{1011}{1012}.$
解析
【分析】
(1)观察式子可发现两项都含有公共因数3.14，因此可以用提取公因式法，先提取公因式3.14，再计算剩余部分的和，凑整后即可快速得到结果，无需分别计算乘法再相加。
(2)分子和分母都包含高次幂，直接计算运算量极大，因此先对分子、分母的前两项分别提取公因式$2023^3$，简化后可发现分子、分母又分别出现公因式2022和2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的非零因式$2023^3-1$，可以直接约分化简，最后约分得到最简分数即可。
【解析】
(1) 提取公因式3.14计算：
$\begin{aligned}原式&=3.14×(51+49)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 分步提取公因式化简计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}\\&=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}\\&=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)} \quad (2023^3-1≠0,可约分)\\&=\frac{2022}{2024}\\&=\frac{1011}{1012}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 因式分解的简便应用
3. 分式约分
【点评】
这两道题是因式分解在简便计算中的典型应用，核心是通过观察式子结构准确找到公因式，将复杂的四则运算或高次幂运算通过因式分解简化，避免硬算带来的计算错误。第(2)题需要两次提取公因式，对式子结构的观察能力有一定要求，掌握方法后可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.7
(1)观察式子可发现两项都含有公共因数3.14，因此可以用提取公因式法，先提取公因式3.14，再计算剩余部分的和，凑整后即可快速得到结果，无需分别计算乘法再相加。
(2)分子和分母都包含高次幂，直接计算运算量极大，因此先对分子、分母的前两项分别提取公因式$2023^3$，简化后可发现分子、分母又分别出现公因式2022和2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的非零因式$2023^3-1$，可以直接约分化简，最后约分得到最简分数即可。
【解析】
(1) 提取公因式3.14计算：
$\begin{aligned}原式&=3.14×(51+49)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 分步提取公因式化简计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}\\&=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}\\&=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)} \quad (2023^3-1≠0,可约分)\\&=\frac{2022}{2024}\\&=\frac{1011}{1012}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 因式分解的简便应用
3. 分式约分
【点评】
这两道题是因式分解在简便计算中的典型应用，核心是通过观察式子结构准确找到公因式，将复杂的四则运算或高次幂运算通过因式分解简化，避免硬算带来的计算错误。第(2)题需要两次提取公因式，对式子结构的观察能力有一定要求，掌握方法后可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.7
解 (1) $13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98 = 9.98 × (13 + 56 + 31) = 9.98 × 100 = 998.$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025} = 10^{2025} × (9 - 10) = -10^{2025}.$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025} = 10^{2025} × (9 - 10) = -10^{2025}.$
答案
解：
(1) $13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98$
$= 9.98 × (13 + 56 + 31)$
$= 9.98 × 100$
$= 998$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026}$
$= 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}$
(1) $13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98$
$= 9.98 × (13 + 56 + 31)$
$= 9.98 × 100$
$= 998$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026}$
$= 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}$
解析
【分析】
这两道题均可以通过提取公因式法实现简便运算：
(1)观察算式的三个项，发现都含有相同的因数9.98，因此将9.98作为公因式提取出来，先计算剩余系数的和，再与公因式相乘即可快速得到结果；
(2)首先利用同底数幂乘法的逆运算，把$10^{2026}$转化为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后计算系数的差，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98$
$= 9.98 × (13 + 56 + 31)$
$= 9.98 × 100$
$= 998$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026}$
$= 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{998}$；(2) $\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法、同底数幂的运算
【点评】
这是利用因式分解进行简便运算的典型习题，解题核心是准确识别或变形得到各项的公因式，通过提取公因式可以将复杂的运算大幅简化，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
这两道题均可以通过提取公因式法实现简便运算：
(1)观察算式的三个项，发现都含有相同的因数9.98，因此将9.98作为公因式提取出来，先计算剩余系数的和，再与公因式相乘即可快速得到结果；
(2)首先利用同底数幂乘法的逆运算，把$10^{2026}$转化为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后计算系数的差，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98$
$= 9.98 × (13 + 56 + 31)$
$= 9.98 × 100$
$= 998$
(2) $9 × 10^{2025} - 10^{2026}$
$= 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{998}$；(2) $\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法、同底数幂的运算
【点评】
这是利用因式分解进行简便运算的典型习题，解题核心是准确识别或变形得到各项的公因式，通过提取公因式可以将复杂的运算大幅简化，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
