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1. 将多项式$3a + 6a^2b$进行因式分解，得到的结果是(
A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$
A
).A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定要分别看系数的最大公约数、相同字母的最低次幂；第二步将公因式提取出来，用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的因式，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
对多项式$3a + 6a^2b$因式分解：
1. 确定公因式：
系数部分：3和6的最大公因数是3；
字母部分：两项都含有字母$a$，$a$的最低次数是1次，因此公因式为$3a$。
2. 提取公因式：
$3a + 6a^2b = 3a × 1 + 3a × 2ab = 3a(1 + 2ab)$
对应选项可知A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，提取公因式时要注意原多项式首项提取公因式后剩余的常数项1不要遗漏，避免出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定要分别看系数的最大公约数、相同字母的最低次幂；第二步将公因式提取出来，用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的因式，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
对多项式$3a + 6a^2b$因式分解：
1. 确定公因式：
系数部分：3和6的最大公因数是3；
字母部分：两项都含有字母$a$，$a$的最低次数是1次，因此公因式为$3a$。
2. 提取公因式：
$3a + 6a^2b = 3a × 1 + 3a × 2ab = 3a(1 + 2ab)$
对应选项可知A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，提取公因式时要注意原多项式首项提取公因式后剩余的常数项1不要遗漏，避免出错。
【难度系数】
0.9
2. 把多项式$m^2(a-2)+m(2-a)$分解因式的结果是(
A.$(a-2)(m^2+m)$
B.$(a-2)(m^2-m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$
C
).A.$(a-2)(m^2+m)$
B.$(a-2)(m^2-m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题首先要观察多项式两项的结构，发现两项中含有的$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，首先将二者统一为相同的因式形式，再找出所有公因式提取，最后要验证因式分解是否彻底（即不能再继续分解），再对应选项判断即可。
【解析】
首先对原式中的$(2-a)$进行符号变形：
∵ $2-a=-(a-2)$
∴ 原式$=m^2(a-2) - m(a-2)$
观察变形后的式子，两项的公因式为$m(a-2)$，提取公因式：
$=m(a-2)(m - 1)$
该结果已经不能再继续分解，对应选项为C。
其余选项验证：A、B选项提取公因式不彻底，还可以继续提取公因式m；D选项提取公因式时符号处理错误，故均排除。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，多项式符号变形，因式分解的彻底性
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，易错点有两处：一是对互为相反数的多项式变形时符号处理错误，二是提取公因式不彻底，仅提取了多项式公因式而遗漏了单项式公因式m，解题时需注意做完后检查分解结果是否符合因式分解的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要观察多项式两项的结构，发现两项中含有的$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，首先将二者统一为相同的因式形式，再找出所有公因式提取，最后要验证因式分解是否彻底（即不能再继续分解），再对应选项判断即可。
【解析】
首先对原式中的$(2-a)$进行符号变形：
∵ $2-a=-(a-2)$
∴ 原式$=m^2(a-2) - m(a-2)$
观察变形后的式子，两项的公因式为$m(a-2)$，提取公因式：
$=m(a-2)(m - 1)$
该结果已经不能再继续分解，对应选项为C。
其余选项验证：A、B选项提取公因式不彻底，还可以继续提取公因式m；D选项提取公因式时符号处理错误，故均排除。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，多项式符号变形，因式分解的彻底性
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，易错点有两处：一是对互为相反数的多项式变形时符号处理错误，二是提取公因式不彻底，仅提取了多项式公因式而遗漏了单项式公因式m，解题时需注意做完后检查分解结果是否符合因式分解的要求。
【难度系数】
0.7
3. 已知 $ x(y - 1) + (\_\_\_\_\_\_) = (y - 1)(x + 3) $，若括号内所填的式子记为A，则 $ A = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
3. 3y−3
解析
【分析】
要求出式子A，我们可利用等式的基本性质，将A单独分离到等式一侧，即A等于等式右边的乘积式减去左边已知的$x(y-1)$。接下来可以选择两种思路计算：一是直接观察到两项都含有公因式$(y-1)$，提取公因式后简化计算；二是先利用多项式乘多项式法则展开两边的式子，再合并同类项得到结果，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
根据题意可得：
$A = (y - 1)(x + 3) - x(y - 1)$
方法一（提公因式法）：
观察到两项均含有公因式$(y-1)$，提取公因式得：
$A = (y - 1)[(x + 3) - x]$
化简括号内的式子：$x+3-x=3$
因此$A = 3(y - 1) = 3y - 3$
方法二（展开计算法）：
先展开等式右边的乘积：
$(y-1)(x+3) = xy - x + 3y - 3$
再展开左边已知项：$x(y-1) = xy - x$
代入计算得：
$A = (xy - x + 3y - 3) - (xy - x) = 3y - 3$
【答案】
$3y-3$
【知识点】
提公因式法因式分解、整式乘法运算、等式变形
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先通过等式变形分离出未知项，再结合整式运算规则或提公因式法化简，熟练掌握公因式为多项式的提取方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要求出式子A，我们可利用等式的基本性质，将A单独分离到等式一侧，即A等于等式右边的乘积式减去左边已知的$x(y-1)$。接下来可以选择两种思路计算：一是直接观察到两项都含有公因式$(y-1)$，提取公因式后简化计算；二是先利用多项式乘多项式法则展开两边的式子，再合并同类项得到结果，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
根据题意可得：
$A = (y - 1)(x + 3) - x(y - 1)$
方法一（提公因式法）：
观察到两项均含有公因式$(y-1)$，提取公因式得：
$A = (y - 1)[(x + 3) - x]$
化简括号内的式子：$x+3-x=3$
因此$A = 3(y - 1) = 3y - 3$
方法二（展开计算法）：
先展开等式右边的乘积：
$(y-1)(x+3) = xy - x + 3y - 3$
再展开左边已知项：$x(y-1) = xy - x$
代入计算得：
$A = (xy - x + 3y - 3) - (xy - x) = 3y - 3$
【答案】
$3y-3$
【知识点】
提公因式法因式分解、整式乘法运算、等式变形
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先通过等式变形分离出未知项，再结合整式运算规则或提公因式法化简，熟练掌握公因式为多项式的提取方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 分解因式：
(1)$-2x^2 + 32x$；
(2)$6x(x+y) - 4y(x+y)$；
(3)$a(x-a) + b(a-x) - c(x-a)$。
(1)$-2x^2 + 32x$；
(2)$6x(x+y) - 4y(x+y)$；
(3)$a(x-a) + b(a-x) - c(x-a)$。
答案
解 (1)$-2x^2+32x=-2x(x-16)$。
(2)$6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y)$。
(3)$a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c)$。
(2)$6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y)$。
(3)$a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c)$。
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题核心是先准确确定公因式，再提取公因式，注意符号处理和公因式要提彻底。对于第(1)题，公因式是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，因首项系数为负，可将负号一同作为公因式的部分提取；第(2)题公因式是多项式(x+y)，同时系数存在公因子2，需将系数公因子和多项式公因式结合提取；第(3)题先将(a-x)变形为-(x-a)，统一公因式为(x-a)后再提取，最后合并剩余整式项即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$-2x$，提取公因式：
$\begin{aligned}-2x^2 + 32x&=-2x· x + (-2x)·(-16)\\&=-2x(x-16)\end{aligned}$
(2) 确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
$\begin{aligned}6x(x+y) - 4y(x+y)&=2(x+y)·3x + 2(x+y)·(-2y)\\&=2(x+y)(3x-2y)\end{aligned}$
(3) 先将$a-x$变形为$-(x-a)$，统一公因式为$(x-a)$后提取：
$\begin{aligned}a(x-a) + b(a-x) - c(x-a)&=a(x-a) - b(x-a) - c(x-a)\\&=(x-a)(a-b-c)\end{aligned}$
【答案】
(1)$-2x(x-16)$；(2)$2(x+y)(3x-2y)$；(3)$(x-a)(a-b-c)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，需注意公因式既可以是单项式也可以是多项式，提取公因式时要做到不遗漏项、不搞错符号，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题核心是先准确确定公因式，再提取公因式，注意符号处理和公因式要提彻底。对于第(1)题，公因式是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，因首项系数为负，可将负号一同作为公因式的部分提取；第(2)题公因式是多项式(x+y)，同时系数存在公因子2，需将系数公因子和多项式公因式结合提取；第(3)题先将(a-x)变形为-(x-a)，统一公因式为(x-a)后再提取，最后合并剩余整式项即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$-2x$，提取公因式：
$\begin{aligned}-2x^2 + 32x&=-2x· x + (-2x)·(-16)\\&=-2x(x-16)\end{aligned}$
(2) 确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
$\begin{aligned}6x(x+y) - 4y(x+y)&=2(x+y)·3x + 2(x+y)·(-2y)\\&=2(x+y)(3x-2y)\end{aligned}$
(3) 先将$a-x$变形为$-(x-a)$，统一公因式为$(x-a)$后提取：
$\begin{aligned}a(x-a) + b(a-x) - c(x-a)&=a(x-a) - b(x-a) - c(x-a)\\&=(x-a)(a-b-c)\end{aligned}$
【答案】
(1)$-2x(x-16)$；(2)$2(x+y)(3x-2y)$；(3)$(x-a)(a-b-c)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，需注意公因式既可以是单项式也可以是多项式，提取公因式时要做到不遗漏项、不搞错符号，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
5. 把多项式$-8a^{2}b^{3}c + 16a^{2}b^{2}c^{2} - 24a^{3}bc^{3}$因式分解，应提的公因式是（
A.$-8a^{2}bc$
B.$2a^{2}b^{2}c^{3}$
C.$-4abc$
D.$24a^{3}b^{3}c^{3}$
A
）。A.$-8a^{2}bc$
B.$2a^{2}b^{2}c^{3}$
C.$-4abc$
D.$24a^{3}b^{3}c^{3}$
答案
5. A
解析
【分析】要确定多项式因式分解时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则分步推导：首先确定系数部分，取各项系数的最大公约数，若多项式首项系数为负，通常要提取负号；其次确定字母部分，取各项都含有的相同字母，且相同字母的次数取最低次幂；最后将系数部分和字母部分组合，即可得到要提取的公因式。
【解析】
1. 确定公因式的系数部分：
多项式三项的系数分别为-8、16、-24，三个数的最大公约数是8，又因为首项系数为负，因此系数部分取-8。
2. 确定公因式的字母及对应次数：
观察发现三项都含有字母a、b、c：
字母a在三项中的次数分别为2、2、3，最低次幂是$a^2$；
字母b在三项中的次数分别为3、2、1，最低次幂是$b$；
字母c在三项中的次数分别为1、2、3，最低次幂是$c$。
3. 组合得到公因式：
将系数和字母部分合并，公因式为$-8a^2bc$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】本题属于基础题，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握系数、字母两部分的确定规则即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】
1. 确定公因式的系数部分：
多项式三项的系数分别为-8、16、-24，三个数的最大公约数是8，又因为首项系数为负，因此系数部分取-8。
2. 确定公因式的字母及对应次数：
观察发现三项都含有字母a、b、c：
字母a在三项中的次数分别为2、2、3，最低次幂是$a^2$；
字母b在三项中的次数分别为3、2、1，最低次幂是$b$；
字母c在三项中的次数分别为1、2、3，最低次幂是$c$。
3. 组合得到公因式：
将系数和字母部分合并，公因式为$-8a^2bc$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】本题属于基础题，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握系数、字母两部分的确定规则即可快速解题。
【难度系数】0.9
6. 
，边长为$a$，$b$的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^2b+ab^2$的值为(
A.24
B.70
C.40
D.140
，边长为$a$，$b$的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^2b+ab^2$的值为(B
).A.24
B.70
C.40
D.140
答案
6. B
解析
【分析】
拿到题目后，先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对其因式分解，变形为$ab(a+b)$，此时只需要求出$ab$和$a+b$的值即可计算结果。再结合已知的长方形周长和面积条件，利用周长公式可推出$a+b$的值，利用面积公式可直接得到$ab$的值，最后整体代入变形后的式子就能算出答案。
【解析】
根据长方形的周长和面积公式可得：
1. 周长：$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$；
2. 面积：$ab=10$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$a+b=7$，$ab=10$代入上式：
$ab(a+b)=10×7=70$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题解题的核心是对所求代数式进行合理因式分解，无需单独求解$a$、$b$的具体值，采用整体代入的方法即可快速得出结果，有效简化了计算步骤，体现了整体思想在代数计算中的应用。
【难度系数】
0.8
拿到题目后，先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对其因式分解，变形为$ab(a+b)$，此时只需要求出$ab$和$a+b$的值即可计算结果。再结合已知的长方形周长和面积条件，利用周长公式可推出$a+b$的值，利用面积公式可直接得到$ab$的值，最后整体代入变形后的式子就能算出答案。
【解析】
根据长方形的周长和面积公式可得：
1. 周长：$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$；
2. 面积：$ab=10$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$a+b=7$，$ab=10$代入上式：
$ab(a+b)=10×7=70$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题解题的核心是对所求代数式进行合理因式分解，无需单独求解$a$、$b$的具体值，采用整体代入的方法即可快速得出结果，有效简化了计算步骤，体现了整体思想在代数计算中的应用。
【难度系数】
0.8
7. 先分解因式，再求值：
$4a(b-2)+3a(2-b)^2$，其中$a=\frac{3}{2},b=6.$
$4a(b-2)+3a(2-b)^2$，其中$a=\frac{3}{2},b=6.$
答案
解 $4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2=(b-2)[4a+3a(b-2)]$
$=(b-2)(4a-6a+3ab)$
$=(b-2)(3ab-2a)$
$=a(b-2)(3b-2)$，
当$a=\frac{3}{2},b=6$时，原式$=\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\frac{3}{2}×4×16=96$。
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2=(b-2)[4a+3a(b-2)]$
$=(b-2)(4a-6a+3ab)$
$=(b-2)(3ab-2a)$
$=a(b-2)(3b-2)$，
当$a=\frac{3}{2},b=6$时，原式$=\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\frac{3}{2}×4×16=96$。
解析
【分析】
本题要求先因式分解再求值，解题思路如下：第一步先观察式子结构，注意到$(2-b)^2$和$(b-2)^2$互为相反数的偶次幂，二者相等，先将式子统一为含$(b-2)$的形式；第二步找到两项的公因式$(b-2)$，提取公因式后对剩余部分进行化简合并，再提取公因式$a$得到最简分解结果；最后将$a$、$b$的数值代入最简式计算，比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
解：$4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2$（根据偶次幂的性质，$(2-b)^2=(b-2)^2$）
$=(b-2)[4a+3a(b-2)]$（提取公因式$(b-2)$）
$=(b-2)(4a+3ab-6a)$（去括号展开括号内的乘法）
$=(b-2)(3ab-2a)$（合并同类项$4a-6a=-2a$）
$=a(b-2)(3b-2)$（提取括号内的公因式$a$，完成因式分解）
当$a=\frac{3}{2},b=6$时，代入最简式得：
原式$=\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)$
$=\frac{3}{2}×4×16$
$=6×16$
$=96$
【答案】
$96$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整式的混合运算
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，先分解再求值能大幅简化计算步骤，解题关键是准确识别式子中的公因式，熟练运用互为相反数的偶次幂相等的性质统一因式形式，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
本题要求先因式分解再求值，解题思路如下：第一步先观察式子结构，注意到$(2-b)^2$和$(b-2)^2$互为相反数的偶次幂，二者相等，先将式子统一为含$(b-2)$的形式；第二步找到两项的公因式$(b-2)$，提取公因式后对剩余部分进行化简合并，再提取公因式$a$得到最简分解结果；最后将$a$、$b$的数值代入最简式计算，比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
解：$4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2$（根据偶次幂的性质，$(2-b)^2=(b-2)^2$）
$=(b-2)[4a+3a(b-2)]$（提取公因式$(b-2)$）
$=(b-2)(4a+3ab-6a)$（去括号展开括号内的乘法）
$=(b-2)(3ab-2a)$（合并同类项$4a-6a=-2a$）
$=a(b-2)(3b-2)$（提取括号内的公因式$a$，完成因式分解）
当$a=\frac{3}{2},b=6$时，代入最简式得：
原式$=\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)$
$=\frac{3}{2}×4×16$
$=6×16$
$=96$
【答案】
$96$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整式的混合运算
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，先分解再求值能大幅简化计算步骤，解题关键是准确识别式子中的公因式，熟练运用互为相反数的偶次幂相等的性质统一因式形式，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$△ ABC$是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点$O$是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即$OD=OE=OF=m$.$a,b,c$为$△ ABC$的三边$BC,AC,AB$的长，现测得$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m},c=25\ \mathrm{m}$.
(1)这块空地的面积用含$a,b,c,m$的代数式表示为
(2)利用因式分解求这块空地的面积.
(1)这块空地的面积用含$a,b,c,m$的代数式表示为
$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$
.(2)利用因式分解求这块空地的面积.
答案
8. 解 (1)$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$
(2)$S_{空地}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a+b+c)$。
当$m=8.48\ \mathrm{m},a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m},c=25\ \mathrm{m}$时，
原式$=\frac{1}{2}×8.48×(41+34+25)=424(\mathrm{m}^2)$。
故这块空地的面积为$424\ \mathrm{m}^2$。
(2)$S_{空地}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a+b+c)$。
当$m=8.48\ \mathrm{m},a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m},c=25\ \mathrm{m}$时，
原式$=\frac{1}{2}×8.48×(41+34+25)=424(\mathrm{m}^2)$。
故这块空地的面积为$424\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 求空地即△ABC的面积时，可利用分割法，将大三角形拆分为△OBC、△OAC、△OAB三个小三角形。已知点O到三边的距离均为m，三个小三角形的高均为m，底分别对应△ABC的三边a、b、c，分别计算三个小三角形的面积再求和，即可得到面积的代数式。
(2) 观察第一问得到的代数式，各项均含有公因式$\frac{1}{2}m$，先提取公因式完成因式分解，再代入数值计算，可简化运算过程，避免分别计算三项再求和的复杂运算。
【解析】
(1) 由面积的和差关系可得：$S_{空地}=S_{△OBC}+S_{△OAC}+S_{△OAB}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×OD=\frac{1}{2}ma$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×OE=\frac{1}{2}mb$，$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×OF=\frac{1}{2}mc$
因此空地面积的代数式为$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2) 对上述代数式提取公因式$\frac{1}{2}m$因式分解，得：
$S_{空地}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a+b+c)$
将$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m}$，$b=34\ \mathrm{m}$，$c=25\ \mathrm{m}$代入化简后的式子：
先计算$a+b+c=41+34+25=100$
再代入得：$S_{空地}=\frac{1}{2}×8.48×100=424(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$
(2) $424\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题结合几何面积计算和因式分解的应用，既考查了学生对割补法求面积的掌握，也考查了提公因式法在简化运算中的实际应用，解题关键是合理拆分图形，灵活运用因式分解简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求空地即△ABC的面积时，可利用分割法，将大三角形拆分为△OBC、△OAC、△OAB三个小三角形。已知点O到三边的距离均为m，三个小三角形的高均为m，底分别对应△ABC的三边a、b、c，分别计算三个小三角形的面积再求和，即可得到面积的代数式。
(2) 观察第一问得到的代数式，各项均含有公因式$\frac{1}{2}m$，先提取公因式完成因式分解，再代入数值计算，可简化运算过程，避免分别计算三项再求和的复杂运算。
【解析】
(1) 由面积的和差关系可得：$S_{空地}=S_{△OBC}+S_{△OAC}+S_{△OAB}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×OD=\frac{1}{2}ma$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×OE=\frac{1}{2}mb$，$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×OF=\frac{1}{2}mc$
因此空地面积的代数式为$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2) 对上述代数式提取公因式$\frac{1}{2}m$因式分解，得：
$S_{空地}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a+b+c)$
将$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m}$，$b=34\ \mathrm{m}$，$c=25\ \mathrm{m}$代入化简后的式子：
先计算$a+b+c=41+34+25=100$
再代入得：$S_{空地}=\frac{1}{2}×8.48×100=424(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$
(2) $424\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题结合几何面积计算和因式分解的应用，既考查了学生对割补法求面积的掌握，也考查了提公因式法在简化运算中的实际应用，解题关键是合理拆分图形，灵活运用因式分解简化计算。
【难度系数】
0.7
