用提公因式法分解因式的一般步骤
（1）确定；
（2）提出并确定另一个因式。

(1) 公因式 (2) 公因式

【分析】
要解决这个问题，我们需要梳理提公因式法分解因式的操作逻辑：首先要从待分解的多项式里找到各项都共同含有的因式，也就是公因式，这是提公因式法的前提，只有先准确确定公因式，后续操作才有依据；确定公因式后，就可以把公因式从多项式中提取出来，用原多项式除以公因式，得到的结果就是剩下的另一个因式，最终将多项式写成公因式与另一个因式相乘的形式，就完成了分解。
【解析】
根据提公因式法分解因式的基本步骤：
（1）第一步需要先确定多项式各项的公因式；
（2）第二步把确定好的公因式提出来，再用原多项式除以公因式即可得到另一个因式。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
(1) 公因式 (2) 公因式
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的概念
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础步骤，属于概念类基础题，熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

[典例1]把下列各式分解因式：
(1) $3x^2y - 6xy$；
(2) $5x^2y^3 - 25x^3y^2$；
(3) $-4m^3 + 16m^2 - 26m$。

解：
(1) $3x^2y - 6xy$
$=3xy · x - 3xy · 2$
$=3xy(x-2)$
(2) $5x^2y^3 - 25x^3y^2$
$=5x^2y^2 · y - 5x^2y^2 · 5x$
$=5x^2y^2(y-5x)$
(3) $-4m^3 + 16m^2 - 26m$
$=-2m · 2m^2 + (-2m) · (-8m) + (-2m) · 13$
$=-2m(2m^2 - 8m + 13)$

【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，若多项式首项为负，需要把负号纳入公因式一并提取；②把多项式的每一项拆成公因式乘剩余项的形式；③逆用乘法分配律，提取公因式，将剩余项合并成多项式写在括号内即可。
【解析】
(1) 先确定$3x^2y$和$-6xy$的公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同字母x的最低次幂为$x$，y的最低次幂为$y$，因此公因式为$3xy$：
$\begin{aligned}3x^2y - 6xy&=3xy · x - 3xy · 2\\&=3xy(x-2)\end{aligned}$
(2) 确定$5x^2y^3$和$-25x^3y^2$的公因式：系数5和25的最大公约数是5，相同字母x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y^2$，因此公因式为$5x^2y^2$：
$\begin{aligned}5x^2y^3 - 25x^3y^2&=5x^2y^2 · y - 5x^2y^2 · 5x\\&=5x^2y^2(y-5x)\end{aligned}$
(3) 多项式首项为负，先提取负号再确定公因式：系数4、16、26的最大公约数是2，相同字母m的最低次幂为$m$，因此公因式为$-2m$：
$\begin{aligned}-4m^3 + 16m^2 - 26m&=-2m · 2m^2 + (-2m) · (-8m) + (-2m) · 13\\&=-2m(2m^2 - 8m + 13)\end{aligned}$
【答案】
(1) $3xy(x-2)$
(2) $5x^2y^2(y-5x)$
(3) $-2m(2m^2 - 8m + 13)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题核心是准确确定公因式，需注意首项系数为负时优先提取负号，避免剩余项出现符号错误，提取公因式后要确认括号内的多项式没有公共因式，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8

2. 公因式为多项式的因式分解
[典例2]把下列各式分解因式：
(1)$(x-y)^3 - 3z(y-x)^2$；
(2)$a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)$；
(3)$m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)$。

解：
(1)
原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2)
原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$
(3)
原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$

【分析】
这三道题均为提公因式法分解因式的题型，公因式包含多项式形式，解题思路如下：
1. 统一多项式形式：互为相反数的多项式的偶次幂结果相等，可先把式子中底数不同的多项式转化为相同形式，方便查找公因式；
2. 精准确定公因式：从数字系数、字母、多项式因式三个维度找全各项的公共因式；
3. 提取后化简验查：提公因式后对剩余整式去括号、合并同类项，最后检查是否还有未提取的公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
(1) 利用偶次幂性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，提取公因式$(x-y)^2$：
原式$=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)-3z]$
$=(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) 对后两项括号提取负号，得到公因式$(a-b-c)$：
原式$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$
(3) 先提取公因式$m$，化简后再提取剩余的公因式$2a$，保证分解彻底：
原式$=m[(5ax+ay-1)-(3ax-ay-1)]$
$=m(5ax+ay-1-3ax+ay+1)$
$=m(2ax+2ay)$
$=2am(x+y)$
【答案】
(1) $(x-y)^2(x-y-3z)$
(2) $(a-b-c)^2$
(3) $2am(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解；多项式公因式提取；符号变换规律
【点评】
本组题重点考查提公因式法分解因式的应用，易错点为互为相反数的多项式的符号转换，以及因式分解不彻底，解题时要先统一多项式形式，找全公因式，最后核查结果是否能继续分解。
【难度系数】
0.7