9. (2025广东佛山南海区期末)如图，$BC=6\ \mathrm{cm}$，C为线段AB的中点，点D在线段AC上且$AD:DC=1:2$，则线段AD的长是（）


A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm

9. B

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先C是线段AB的中点，根据线段中点的性质可先求出AC的长度；再根据AD与DC的比例关系，将AC按比例分配即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵C为线段AB的中点，$BC=6\ \mathrm{cm}$
∴$AC=BC=6\ \mathrm{cm}$
∵$AD:DC=1:2$，即$DC=2AD$
又
∵$AD+DC=AC$
∴$AD+2AD=6\ \mathrm{cm}$
即$3AD=6\ \mathrm{cm}$
解得$AD=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；比例的应用
【点评】
本题是线段运算的常规基础题，解题的关键是先利用中点性质求出AC的长度，再结合线段的比例关系计算目标线段，熟练掌握线段相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

10.如图，$AB=18\ \mathrm{cm}$，点$C$在线段$AB$上，点$P$，$Q$是线段$AC$的三等分点，点$M$，$N$是线段$BC$的三等分点，则线段$PN$的长为（）


A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$12\ \mathrm{cm}$
D.$15\ \mathrm{cm}$

10. C

【分析】
解题时先观察所求线段PN的构成，可拆分为PC与CN两段的和；再根据三等分点的定义，分别得出PC与AC的数量关系、CN与BC的数量关系；最后利用AC+BC=AB的线段和关系，整体代入已知的AB长度即可算出PN的长，无需单独求解AC、BC的长度，简化计算步骤。
【解析】
∵ 点P，Q是线段AC的三等分点
∴ $PC = \frac{2}{3}AC$
∵ 点M，N是线段BC的三等分点
∴ $CN = \frac{2}{3}BC$
∴ $PN = PC + CN = \frac{2}{3}AC + \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}(AC + BC)$
又
∵ 点C在线段AB上，$AC + BC = AB = 18\ \mathrm{cm}$
∴ $PN = \frac{2}{3} × 18 = 12\ \mathrm{cm}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段三等分点；线段和差计算；整体代入计算
【点评】
本题重点考查线段等分点的性质和线段和差的运算，解题的核心是将待求线段转化为与已知总线段相关的表达式，借助整体思想运算，规避分段求解的繁琐，是线段计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7

11. 易错（2026 山东青岛市北区期末）如图，两根木条的长度分别为8 cm和14 cm，在它们的中点处各打一个小孔M,N（木条的厚度、宽度及小孔的大小均忽略不计）.将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两个小孔间的距离MN为.

11. 11 cm 或 3 cm 解析 如图,设短的木条为AB,长的木条为CD,则 $AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$, $CN=DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm})$。 第一种情况:当B,C两点重合且点A在点B的左侧,点D在点C的右侧时, $MN = BM + CN = 4 + 7 = 11(\mathrm{cm})$。第二种情况:当A,C两点重合且点B在点A的右侧,点D在点C的右侧时, $MN = CN - AM = 7 - 4 = 3(\mathrm{cm})$。综上所述,两个小孔间的距离MN为11 cm或3 cm。

【分析】
本题需结合线段中点性质和分类讨论思想解题，首先先计算两根木条中点到各自端点的距离（即木条长度的一半）；由于题目未明确两根木条的放置方向，因此要分两种情况讨论：①两根木条在重合端点的两侧，此时两小孔的距离为两个半长之和；②两根木条在重合端点的同侧，此时两小孔的距离为两个半长之差，分别计算两种情况即可得到最终结果。
【解析】
设短木条$AB=8\ \mathrm{cm}$，长木条$CD=14\ \mathrm{cm}$，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，
$CN=DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm})$。

分两种情况讨论：
1. 当两根木条在重合端点的异侧时（例如B、C两点重合，AB向左侧延伸、CD向右侧延伸），
$MN = BM + CN = 4 + 7 = 11(\mathrm{cm})$；
2. 当两根木条在重合端点的同侧时（例如A、C两点重合，AB、CD都向右侧延伸），
$MN = CN - AM = 7 - 4 = 3(\mathrm{cm})$。
综上所述，两个小孔间的距离MN为11 cm或3 cm。
【答案】
11 cm 或 3 cm
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段运算的典型易错题，解题关键是掌握线段中点的计算方法，同时要注意当题目没有明确图形位置关系时，需主动分类讨论所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12.如图，AB=16，M是线段AB的中点，点N在线段MB上靠近点B的四等分点处，则线段AN的长为。

12. 14

【分析】
解题时首先根据线段中点的性质，先求出中点M分AB得到的MB的长度；再结合N是MB上靠近B的四等分点的条件，算出NB的长度；最后根据线段和差关系，用AB的总长度减去NB的长度，即可得到AN的长度，也可通过AM加MN的方式计算AN，两种思路均可。
【解析】
解：
∵M是线段AB的中点，AB=16，
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，
∵点N是线段MB上靠近点B的四等分点，
∴$NB=\frac{1}{4}MB=\frac{1}{4}×8=2$，
∴$AN=AB-NB=16-2=14$。
【答案】
14
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；线段等分点的概念
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心考查线段中点、等分点的性质以及线段和差的运算，解题关键是根据已知的线段关系逐步求出未知线段的长度，熟练掌握线段相关基本概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85

13.已知线段AD的长为a,B,C是线段AD上的两点,且$BC=3$.若a为整数,则以A,B,C,D中任意两点为端点构成的所有线段的长度之和不可能是 ()

A.27
B.30
C.32
D.36

13. C 解析 以A,B,C,D中任意两点为端点构成的所有线段为线段AB、线段BC、线段CD、线段AC、线段BD、线段AD。因为 $AB+BC+CD=AD=a$,$AC+BD=AB+BC+BC+CD=AD+BC=a+3$,所以 $AB+BC+CD+AC+BD+AD=a+(a+3)+a=3a+3=3(a+1)$,结果是3的倍数,四个选项中,只有32不符合题意。故选 C。

【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步先列举出A、B、C、D四个点能构成的所有线段，四个点共可得到6条线段；第二步把这些线段的长度和用已知的AD=a和BC=3表示，无需单独求AB、CD的长度，用整体转化的思路，把AC拆成AB+BC，BD拆成BC+CD，就能把所有线段的和合并为含a和3的代数式；第三步结合a是整数的条件，判断总和的数字特征，再对比选项找出不可能的结果。
【解析】
首先列出以A,B,C,D中任意两点为端点的所有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD。
分步计算线段和：
1. 基础线段和：$AB + BC + CD = AD = a$；
2. 跨点线段和：$AC + BD = (AB + BC) + (BC + CD) = (AB + BC + CD) + BC = AD + BC = a + 3$；
3. 最长线段AD长度为a。
因此所有线段的长度总和为：
$AB + BC + CD + AC + BD + AD = a + (a + 3) + a = 3a + 3 = 3(a + 1)$。
因为a是整数，所以$3(a+1)$一定是3的倍数。
观察选项：27、30、36均为3的倍数，只有32不是3的倍数，因此总和不可能是32。
【答案】
C
【知识点】
1.线段的和差运算 2.线段计数 3.整除判定
【点评】
本题解题核心是运用整体思想将多条线段的和转化为已知长度的线段表达式，无需单独计算未知线段的长度，简化了运算过程，再结合数的整除特性即可快速得出答案，很好地考察了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

14. 如图，M为线段AB的中点，点O在线段BM上. 下列结论：①$AM=BM$；②$MO=\frac{1}{2}(AO-BO)$；③$AO-BO=2BM$. 其中正确的有（）


A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③

14. A 解析 因为 M 为线段 AB 的中点,所以 $AM=BM=\frac{1}{2}AB$,因此①正确;因为 $AO=AM+MO$,$BO=BM-MO$,$AM=BM$,所以 $AO-BO=(AM+MO)-(BM-MO)=2MO$,即 $MO=\frac{1}{2}(AO-BO)$,因此②正确;因为 $AO-BO=2MO$,而 $MO≠ BM$,所以 $AO-BO≠2BM$,因此③不正确。综上所述,正确的结论有①②。故选 A。

【分析】
解题时先结合已知条件明确线段中点的性质，再对三个结论逐一验证：第一步，根据“M是线段AB的中点”，可直接得到AM和BM的长度关系，判断结论①；第二步，要判断结论②，可将AO、BO分别拆分为含AM、BM、MO的和差形式，再结合AM=BM的条件对AO-BO进行化简，推导MO和AO-BO的关系；第三步，结合第二步推导的结果，对比AO-BO和2BM的关系，判断结论③是否正确。
【解析】
解：①因为M为线段AB的中点，根据线段中点的定义，可得$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，故①正确；
②由线段的和差关系可知：$AO=AM+MO$，$BO=BM-MO$，
又因为$AM=BM$，所以将两式作差得：
$AO-BO=(AM+MO)-(BM-MO)=AM+MO-BM+MO=2MO$，
变形可得$MO=\frac{1}{2}(AO-BO)$，故②正确；
③由②的推导可知$AO-BO=2MO$，因为点O在线段BM上，所以$MO＜BM$，因此$2MO＜2BM$，即$AO-BO≠2BM$，故③错误。
综上，正确的结论是①②，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的基础题，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，学会将未知线段拆分为已知线段的和或差，通过代数运算验证线段关系是否成立。
【难度系数】
0.7

15.线段AB被分成三部分,从左至右这三部分的长度比为2:3:4,最短的部分的中点与最长的部分的中点之间的距离为4.2 cm,则最长的部分的长为cm.

15. 2.8 解析 由题意可画图如图所示,$AC:CD:BD=2:3:4$,M是线段AC的中点,N是线段BD的中点(提示:根据题干条件作图,以便于解题)。设$AB=9x$,则$AC=2x$,$CD=3x$,$BD=4x$,所以 $CM=\frac{1}{2}AC=x$,$DN=\frac{1}{2}BD=2x$,$MN=CM+CD+DN=6x$,所以$6x=4.2$,可得$x=0.7$。因此$4x=2.8$,所以最长的部分的长为2.8 cm。

【分析】
解题时首先利用题干给出的线段分段比例2:3:4，设每一份的长度为x，即可将三段长度分别表示为2x、3x、4x，简化计算。接下来确定最短段是长度为2x的部分，最长段是长度为4x的部分，两个中点之间的距离由三部分组成：最短段长度的一半、中间长度为3x的段、最长段长度的一半，结合已知的中点距离4.2cm列方程求解x，最后计算4x即可得到最长段的长度。
【解析】
解：设线段AB被分成的三部分长度分别为$2x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$。
∵最短部分长$2x\ \mathrm{cm}$，M是最短部分的中点
∴$CM=\frac{1}{2}×2x=x\ \mathrm{cm}$
∵最长部分长$4x\ \mathrm{cm}$，N是最长部分的中点
∴$DN=\frac{1}{2}×4x=2x\ \mathrm{cm}$
结合图形可知，最短部分中点M到最长部分中点N的距离为：
$MN=CM+CD+DN=x+3x+2x=6x$
已知$MN=4.2\ \mathrm{cm}$，因此$6x=4.2$，解得$x=0.7$
∴最长部分的长度为$4x=4×0.7=2.8\ \mathrm{cm}$
【答案】
2.8
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段运算的典型题目，用设参数的方法处理比例类线段问题是常用解题技巧，结合图形分析线段之间的和差关系能让解题思路更清晰，有效避免出错。
【难度系数】
0.7

16. 易错 有一根长为25 cm的绳子,将这根绳子用线段AB表示,在AB上任意取两点M, N,将线段AM和线段BN分别沿过点M,N的直线折叠,使点A,B分别落在AB上的点A',B'处.当$A'B'=5$ cm时,线段MN的长为.

16. 15 cm 或 10 cm 解析 分两种情况讨论。①当点$A'$落在点$B'$的左侧时,如图。 因为 $AB=25$,$A'B'=5$,所以 $AA'+BB'=AB-A'B'=25-5=20$。由折叠的性质得$A'M=AM$,$B'N=BN$,所以 $A'M+B'N=\frac{1}{2}AA'+\frac{1}{2}BB'=\frac{1}{2}(AA'+BB')=\frac{1}{2}×20=10$,所以 $MN=A'M+A'B'+B'N=10+5=15$。②当点$A'$落在点$B'$的右侧时,如图。 因为 $AA'+BB'=AB+A'B'=25+5=30$,所以 $AM+BN=\frac{1}{2}AA'+\frac{1}{2}BB'=\frac{1}{2}(AA'+BB')=\frac{1}{2}×30=15$,所以 $MN=AB-(AM+BN)=25-15=10$。综上所述,当$A'B'=5$ cm时,线段MN的长为15 cm或10 cm。

【分析】
这是线段折叠类的计算问题，解题首先要明确折叠的核心性质：折叠前后对应线段长度相等；其次由于M、N是任意选取的两点，折叠后A'和B'的相对位置有两种可能：A'在B'左侧、A'在B'右侧，需要分类讨论两种情况分别计算。计算时先求出AA'与BB'的长度和，再结合折叠性质得到对应线段的和，最后结合线段的和差关系算出MN的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点$A'$落在点$B'$的左侧时，如图：
已知$AB=25\mathrm{cm}$，$A'B'=5\mathrm{cm}$，因此$AA'+BB' = AB - A'B' = 25 - 5 = 20\mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：$A'M = AM = \frac{1}{2}AA'$，$B'N = BN = \frac{1}{2}BB'$，
所以$A'M + B'N = \frac{1}{2}(AA'+BB') = \frac{1}{2}×20 = 10\mathrm{cm}$，
因此$MN = A'M + A'B' + B'N = 10 + 5 = 15\mathrm{cm}$。
② 当点$A'$落在点$B'$的右侧时，如图：
此时$AA'+BB' = AB + A'B' = 25 + 5 = 30\mathrm{cm}$，
由折叠的性质可得：$AM = \frac{1}{2}AA'$，$BN = \frac{1}{2}BB'$，
所以$AM + BN = \frac{1}{2}(AA'+BB') = \frac{1}{2}×30 = 15\mathrm{cm}$，
因此$MN = AB - (AM + BN) = 25 - 15 = 10\mathrm{cm}$。
综上，线段MN的长为15cm或10cm。
【答案】
15 cm 或 10 cm
【知识点】
折叠的性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段运算的典型易错题，易错点为容易忽略A'和B'的相对位置关系，导致漏解。解题的关键是熟练掌握折叠前后对应线段相等的性质，结合分类讨论思想分析不同位置下的线段和差关系，进而求解。
【难度系数】
0.6

17.(2026河北石家庄平山县期末)如图,点A,B,C在同一条直线上,点D在线段AC的延长线上,且$CD=AB$.
(1)请用圆规在图中确定点D的位置;
(2)比较线段的长短:$AC$$BD$;(填“＞”“＜”或“=”)
(3)若$AB:BC=1:3$,$AC=12$,求$AD$的长.

17. 解:(1)如图。 (2) = (3) 设$AB=x$,则$BC=3x$。因为$AC=AB+BC=12$,即$x+3x=12$,可得$x=3$。所以$CD=AB=3$,因此$AD=AC+CD=12+3=15$。

【分析】
解题时按照小问逐一思考：
1. 第一问要确定点D且满足CD=AB，可利用尺规作图中作等长线段的方法，先量出AB的长度，再以C为端点在AC延长线上截取和AB等长的线段即可得到D。
2. 第二问比较AC和BD的长度，可将两条线段都拆分为公共部分加另外一段：AC=AB+BC，BD=BC+CD，结合已知CD=AB，即可推出二者大小关系。
3. 第三问已知AB和BC的比例与AC的总长度，可先通过设未知数，利用线段和的关系求出AB的长度，再结合CD=AB的条件，用AC+CD即可算出AD的长度。
【解析】
(1) 作图步骤：先将圆规两脚张开，使两脚间距等于线段AB的长度，再以点C为圆心，AB长为半径在线段AC的延长线上画弧，弧与延长线的交点即为点D，作图结果如下：
(2) 由线段和差关系可得：$AC=AB+BC$，$BD=BC+CD$，已知$CD=AB$，因此$AC=AB+BC=CD+BC=BD$，故填“=”。
(3) 设$AB=x$，由$AB:BC=1:3$可得$BC=3x$。
已知$AC=AB+BC=12$，代入得：
$x+3x=12$
$4x=12$
解得$x=3$，即$AB=3$。
由题意得$CD=AB=3$，因此$AD=AC+CD=12+3=15$。
【答案】
(1) 如图。
(2) =
(3) $AD$的长为15。
【知识点】
尺规作等长线段，线段的和差运算，比例线段计算
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，重点考查线段和差关系的应用、尺规作图的基本操作以及利用比例设参数求解线段长度的方法，掌握基础的线段运算规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

18.如图,射线OM上有A,B,C三点,满足OA=30 cm,AB=20 cm,BC=10 cm.点P从点O出发,沿OM方向以4 cm/s的速度匀速运动,2 s后点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,当点Q运动到点O时,点P,Q均停止运动.当点P运动到线段AB的中点D时,点Q距离到达点D还差4 cm,则点Q的运动速度是cm/s.

18. 2 解析 设点 Q 的运动速度是 x cm/s。因为当点 P 运动到线段 AB 的中点 D 时,点 Q 距离到达点 D 还差 4 cm,可得$(\frac{30+20÷2}{4}-2)· x=10+\frac{20}{2}-4$。解得 $x=2$。故点 Q 的运动速度是 2 cm/s。

【分析】
解题时首先定位线段AB的中点D的位置，先计算D到O、D到C的距离：①先利用中点定义求出AD、BD的长度，再结合已知线段长度算出OD、CD的长度；②根据点P的运动速度，算出点P从O运动到D的总时间；③由于点Q比点P晚出发2秒，可得出此时点Q的运动时长；④分析此时Q的运动路程：Q从C出发，距D还差4cm，因此运动路程为CD长度减4cm；最后根据行程公式“路程=速度×时间”列方程求解即可。
【解析】
设点Q的运动速度是$x$ cm/s。
1. 计算中点D对应的线段长度：
因为D是AB中点，$AB=20\mathrm{cm}$，所以$AD=BD=\frac{1}{2}AB=10\mathrm{cm}$。
则$OD=OA+AD=30+10=40\mathrm{cm}$，$CD=BC+BD=10+10=20\mathrm{cm}$。
2. 计算点P运动到D的时间：
点P速度为$4\mathrm{cm/s}$，所以运动时间为$\frac{OD}{4}=\frac{40}{4}=10\mathrm{s}$。
3. 计算点Q的运动时间和路程：
点Q比P晚出发2s，所以此时Q的运动时间为$10-2=8\mathrm{s}$；
此时Q距D还差4cm，因此Q运动的路程为$CD-4=20-4=16\mathrm{cm}$。
4. 列方程求解：
根据“路程=速度×时间”，可得：
$8x=16$
解得$x=2$。
【答案】
2
【知识点】
线段中点的定义，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题将线段的和差计算与行程问题结合，核心是梳理清楚两个动点的运动时间差、对应运动路程的数量关系，解题时先确定静态线段的长度，再对应到动态运动的路程和时间，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6