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1. 如图，C是线段AB上一点，D为线段BC的中点，且AB=7 cm，BD=3 cm. 若点E在直线AB上，且AE=2 cm，则DE的长为 （
A.2 cm
B.9 cm
C.2 cm或9 cm
D.2 cm或6 cm
D
）A.2 cm
B.9 cm
C.2 cm或9 cm
D.2 cm或6 cm
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质求出BC的长度，进而得到AD的长度；由于点E在直线AB上，位置不唯一，需分E在点A的左侧、E在点A的右侧两种情况分类讨论，结合线段的和差关系分别计算DE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵D为线段BC的中点，BD=3 cm，
∴BC=2BD=2×3=6 cm，AD=AB-BD=7-3=4 cm。
已知点E在直线AB上，AE=2 cm，分两种情况讨论：
①当点E在点A的右侧（在线段AB上）时：
DE=AD-AE=4-2=2 cm；
②当点E在点A的左侧（在BA的延长线上）时：
DE=AE+AD=2+4=6 cm。
综上，DE的长为2 cm或6 cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段相关的计算，易错点是忽略“点E在直线AB上”的条件，只考虑E在线段AB上的情况导致漏解，做题时要注意区分“直线”和“线段”的不同表述。
【难度系数】
0.7
解题时先利用线段中点的性质求出BC的长度，进而得到AD的长度；由于点E在直线AB上，位置不唯一，需分E在点A的左侧、E在点A的右侧两种情况分类讨论，结合线段的和差关系分别计算DE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵D为线段BC的中点，BD=3 cm，
∴BC=2BD=2×3=6 cm，AD=AB-BD=7-3=4 cm。
已知点E在直线AB上，AE=2 cm，分两种情况讨论：
①当点E在点A的右侧（在线段AB上）时：
DE=AD-AE=4-2=2 cm；
②当点E在点A的左侧（在BA的延长线上）时：
DE=AE+AD=2+4=6 cm。
综上，DE的长为2 cm或6 cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段相关的计算，易错点是忽略“点E在直线AB上”的条件，只考虑E在线段AB上的情况导致漏解，做题时要注意区分“直线”和“线段”的不同表述。
【难度系数】
0.7
2. (2025浙江杭州拱墅区期末)如图,C是线段AB上一点,AC=12,CB=$\frac{1}{3}AC$,D是线段AC的中点.
(1)求线段DB的长;
(2)已知点E在线段AB上,且DE=$\frac{1}{5}DB$,求线段BE的长.
(1)求线段DB的长;
(2)已知点E在线段AB上,且DE=$\frac{1}{5}DB$,求线段BE的长.
答案
2. 解:(1) 因为 C 是线段 AB 上一点,AC = 12,CB = $\frac{1}{3}AC$,所以 $CB=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×12=4$.
因为 D 是线段 AC 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$,所以 $DB=DC+CB=6+4=10$.
(2) 因为 $DE=\frac{1}{5}DB$,所以 $DE=\frac{1}{5}×10=2$.
因为点 E 在线段 AB 上,所以当点 E 在点 D 左侧时, $BE=DB+DE=10+2=12$; 当点 E 在点 D 右侧时, $BE=DB-DE=10-2=8$.
综上所述,线段 BE 的长为 12 或 8.
因为 D 是线段 AC 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$,所以 $DB=DC+CB=6+4=10$.
(2) 因为 $DE=\frac{1}{5}DB$,所以 $DE=\frac{1}{5}×10=2$.
因为点 E 在线段 AB 上,所以当点 E 在点 D 左侧时, $BE=DB+DE=10+2=12$; 当点 E 在点 D 右侧时, $BE=DB-DE=10-2=8$.
综上所述,线段 BE 的长为 12 或 8.
解析
【分析】
（1）要求线段DB的长，观察图形可知DB=DC+CB，因此先分别计算CB和DC的长度即可：首先根据CB与AC的数量关系求出CB，再结合D是AC中点的条件求出DC，最后将两部分相加就能得到DB的长度。
（2）先根据DE和DB的数量关系算出DE的长度，由于题目仅说明E在线段AB上，未明确E相对D的位置，因此需要分两种情况讨论：①点E在D的左侧；②点E在D的右侧，分别结合线段的和差关系计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 已知$AC=12$，$CB=\frac{1}{3}AC$，代入得：
$CB=\frac{1}{3}×12=4$
因为D是线段AC的中点，根据线段中点的定义：
$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
结合线段和差关系得$DB=DC+CB$，代入数值得：
$DB=6+4=10$
(2) 已知$DE=\frac{1}{5}DB$，代入$DB=10$得：
$DE=\frac{1}{5}×10=2$
点E在线段AB上，位置不确定，分两种情况讨论：
①当点E在点D左侧时，$BE=DB+DE=10+2=12$；
②当点E在点D右侧时，$BE=DB-DE=10-2=8$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{12}$或$\boxed{8}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，第一问侧重对线段中点性质、线段和差关系的直接应用；第二问需要注意未明确点的相对位置时，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要求线段DB的长，观察图形可知DB=DC+CB，因此先分别计算CB和DC的长度即可：首先根据CB与AC的数量关系求出CB，再结合D是AC中点的条件求出DC，最后将两部分相加就能得到DB的长度。
（2）先根据DE和DB的数量关系算出DE的长度，由于题目仅说明E在线段AB上，未明确E相对D的位置，因此需要分两种情况讨论：①点E在D的左侧；②点E在D的右侧，分别结合线段的和差关系计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 已知$AC=12$，$CB=\frac{1}{3}AC$，代入得：
$CB=\frac{1}{3}×12=4$
因为D是线段AC的中点，根据线段中点的定义：
$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
结合线段和差关系得$DB=DC+CB$，代入数值得：
$DB=6+4=10$
(2) 已知$DE=\frac{1}{5}DB$，代入$DB=10$得：
$DE=\frac{1}{5}×10=2$
点E在线段AB上，位置不确定，分两种情况讨论：
①当点E在点D左侧时，$BE=DB+DE=10+2=12$；
②当点E在点D右侧时，$BE=DB-DE=10-2=8$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{12}$或$\boxed{8}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，第一问侧重对线段中点性质、线段和差关系的直接应用；第二问需要注意未明确点的相对位置时，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. (2026江苏泰州期末)如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的折线上,且该点把折线分成长度相等的两部分,那么把该点叫做折线的“折中点”.如图,点C是折线A-C-B的折中点.若折线A-C-D的长度为9(即AC与CD的长度之和为9),D为线段CB的中点,则线段DB的长度为 (
A.2
B.3
C.4.5
D.5
B
)A.2
B.3
C.4.5
D.5
答案
3. B 解析 设 DB = x. 因为 D 为线段 CB 的中点,所以 CD = DB = x,CB = 2DB = 2x. 因为点 C 是折线 A-C-B 的折中点,所以 AC = CB = 2x. 因为折线 A-C-D 的长度为 9,所以 AC+CD = 9,即 2x+x = 9,可得 x = 3,即 DB = 3. 故选 B.
解析
【分析】
首先要准确理解题目给出的“折中点”定义：点C是折线A-C-B的折中点，说明AC与CB的长度相等。已知D是CB的中点，因此CD和DB长度相等，要求DB的长度，我们可以通过设未知数的方式，将相关线段都用含同一个未知数的式子表示，再结合折线A-C-D长度为9的条件列方程求解即可。
【解析】
设DB的长度为x。
∵ D为线段CB的中点，
∴ CD = DB = x，CB = 2DB = 2x。
∵ 点C是折线A-C-B的折中点，
∴ AC = CB = 2x。
又
∵ 折线A-C-D的长度为9，即AC + CD = 9，
代入得：2x + x = 9，
解得x = 3，即DB = 3。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的性质，新定义理解，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合新定义考查线段和差的计算，解题的核心是正确理解“折中点”的含义，梳理清楚各线段之间的数量关系，通过设未知数列方程的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解题目给出的“折中点”定义：点C是折线A-C-B的折中点，说明AC与CB的长度相等。已知D是CB的中点，因此CD和DB长度相等，要求DB的长度，我们可以通过设未知数的方式，将相关线段都用含同一个未知数的式子表示，再结合折线A-C-D长度为9的条件列方程求解即可。
【解析】
设DB的长度为x。
∵ D为线段CB的中点，
∴ CD = DB = x，CB = 2DB = 2x。
∵ 点C是折线A-C-B的折中点，
∴ AC = CB = 2x。
又
∵ 折线A-C-D的长度为9，即AC + CD = 9，
代入得：2x + x = 9，
解得x = 3，即DB = 3。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的性质，新定义理解，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合新定义考查线段和差的计算，解题的核心是正确理解“折中点”的含义，梳理清楚各线段之间的数量关系，通过设未知数列方程的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
4. (2025 四川资阳安岳县期末)如图,已知$AB=40$,$M$为线段$AB$的中点,点$P$在线段$MB$上,$N$为线段$PB$的中点.
(1)图中共有
(2)若$NB=7$,求$MP$的长;
(3)若$AP=24$,求$MN$的长.
(1)图中共有
10
条线段;(2)若$NB=7$,求$MP$的长;
(3)若$AP=24$,求$MN$的长.
答案
4. 解:(1) 10
(2) 因为 NB = 7,N 为线段 PB 的中点,
所以 PB = 2NB = 2×7 = 14.
因为 AB = 40,M 为线段 AB 的中点,
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$,
所以 MP = MB-PB = 20-14 = 6.
(3) 因为 AP = 24,AB = 40,
所以 PB = AB-AP = 40-24 = 16.
因为 N 为线段 PB 的中点,
所以 $NB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×16=8$.
因为 M 为线段 AB 的中点,
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$,
所以 MN = MB-NB = 20-8 = 12.
(2) 因为 NB = 7,N 为线段 PB 的中点,
所以 PB = 2NB = 2×7 = 14.
因为 AB = 40,M 为线段 AB 的中点,
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$,
所以 MP = MB-PB = 20-14 = 6.
(3) 因为 AP = 24,AB = 40,
所以 PB = AB-AP = 40-24 = 16.
因为 N 为线段 PB 的中点,
所以 $NB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×16=8$.
因为 M 为线段 AB 的中点,
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$,
所以 MN = MB-NB = 20-8 = 12.
解析
【分析】
(1) 数线段可按左端点分类计数避免重复遗漏：线段上共有A、M、P、N、B共5个端点，以A为左端点的线段有4条，以M为左端点的线段有3条，以P为左端点的线段有2条，以N为左端点的线段有1条，相加即可得到总线段数；也可直接用n个端点的线段总数公式$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=5计算。
(2) 要求MP的长，观察图形可得$MP=MB-PB$，先根据线段中点的性质，由N是PB中点、$NB=7$求出PB的长度，再由M是AB中点、$AB=40$求出MB的长度，代入作差即可。
(3) 要求MN的长，观察图形可得$MN=MB-NB$，先由$AB=40$、$AP=24$求出PB的长度，再根据N是PB中点求出NB的长度，结合M是AB中点求出的MB长度，代入作差即可。
【解析】
(1) 线段总条数为$4+3+2+1=10$；
(2) 因为$NB = 7$，N为线段PB的中点，
所以$PB = 2NB = 2×7 = 14$，
因为$AB = 40$，M为线段AB的中点，
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，
所以 $MP = MB-PB = 20-14 = 6$；
(3) 因为 $AP = 24$，$AB = 40$，
所以 $PB = AB-AP = 40-24 = 16$，
因为N为线段PB的中点，
所以 $NB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×16=8$，
因为M为线段AB的中点，
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，
所以 $MN = MB-NB = 20-8 = 12$。
【答案】
(1) 10；(2) 6；(3) 12
【知识点】
线段计数；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段相关计算的基础题型，核心考查线段计数方法和线段中点性质的应用，解题时结合图形理清各线段之间的和差关系，熟练运用中点的倍分关系代入计算即可，注意计数线段时不要出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
(1) 数线段可按左端点分类计数避免重复遗漏：线段上共有A、M、P、N、B共5个端点，以A为左端点的线段有4条，以M为左端点的线段有3条，以P为左端点的线段有2条，以N为左端点的线段有1条，相加即可得到总线段数；也可直接用n个端点的线段总数公式$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=5计算。
(2) 要求MP的长，观察图形可得$MP=MB-PB$，先根据线段中点的性质，由N是PB中点、$NB=7$求出PB的长度，再由M是AB中点、$AB=40$求出MB的长度，代入作差即可。
(3) 要求MN的长，观察图形可得$MN=MB-NB$，先由$AB=40$、$AP=24$求出PB的长度，再根据N是PB中点求出NB的长度，结合M是AB中点求出的MB长度，代入作差即可。
【解析】
(1) 线段总条数为$4+3+2+1=10$；
(2) 因为$NB = 7$，N为线段PB的中点，
所以$PB = 2NB = 2×7 = 14$，
因为$AB = 40$，M为线段AB的中点，
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，
所以 $MP = MB-PB = 20-14 = 6$；
(3) 因为 $AP = 24$，$AB = 40$，
所以 $PB = AB-AP = 40-24 = 16$，
因为N为线段PB的中点，
所以 $NB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×16=8$，
因为M为线段AB的中点，
所以 $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$，
所以 $MN = MB-NB = 20-8 = 12$。
【答案】
(1) 10；(2) 6；(3) 12
【知识点】
线段计数；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段相关计算的基础题型，核心考查线段计数方法和线段中点性质的应用，解题时结合图形理清各线段之间的和差关系，熟练运用中点的倍分关系代入计算即可，注意计数线段时不要出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
5. (2025四川成都简阳市期末)如图,C是线段AB上一点,AC=m,BC=n,D是线段AC的中点,E是线段BC的中点,F是线段DE的中点.
(1)若m,n满足$|m-6|+(n-10)^2=0$,请你分别求出线段DE和线段CF的长;
(2)若$AB=10CF$,求$\frac{AC}{BC}$的值.
备用图
(1)若m,n满足$|m-6|+(n-10)^2=0$,请你分别求出线段DE和线段CF的长;
(2)若$AB=10CF$,求$\frac{AC}{BC}$的值.
备用图
答案
5. 解:(1) 由题意得 m-6 = 0 且 n-10 = 0,
可得 m = 6,n = 10.
因为 AC = m,BC = n,
所以 AC = 6,BC = 10.
因为 D 是线段 AC 的中点,E 是线段 BC 的中点,
所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$,$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$,
所以 DE = CD+CE = 3+5 = 8.
因为 F 是线段 DE 的中点,
所以 $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×8=4$,
所以 CF = DF-CD = 4-3 = 1.
(2) 分两种情况讨论.
①如图,当 AC＜BC 时,
因为 AC = m,BC = n,D 是线段 AC 的中点,E 是线段 BC 的中点,
所以 AB = AC+BC = m+n,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$,$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$,
所以 $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$.
因为 F 是线段 DE 的中点,
所以 $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$,
所以 $CF=DF-CD=\frac{1}{4}(m+n)-\frac{1}{2}m=\frac{1}{4}(n-m)$.
因为 AB = 10CF,
所以 $m+n=10×\frac{1}{4}(n-m)$,整理,得 $m=\frac{3}{7}n$.
所以 $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{3}{7}n}{n}=\frac{3}{7}$.
②如图,当 AC＞BC 时,
因为 AC = m,BC = n,D 是线段 AC 的中点,E 是线段 BC 的中点,
所以 AB = AC+BC = m+n,$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$,$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$,
所以 $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$.
因为 F 是线段 DE 的中点,
所以 $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$,
所以 $CF=CD-DF=\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}(m+n)=\frac{1}{4}(m-n)$.
因为 AB = 10CF,
所以 $m+n=10×\frac{1}{4}(m-n)$,整理,得 $m=\frac{7}{3}n$.
所以 $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{7}{3}n}{n}=\frac{7}{3}$.
综上所述,$\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{7}$或$\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先利用绝对值和偶次幂的非负性：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出m、n的值；再根据线段中点的定义，分别求出CD、CE的长度，二者相加得到DE的长度；接着求出DE中点F对应的DF长度，通过线段的差运算即可求出CF的长度。
(2) 由于AC和BC的长度大小不确定，点F相对于点C的位置有两种情况，需分类讨论：①当AC＜BC时，F在C的右侧，CF=DF-CD；②当AC＞BC时，F在C的左侧，CF=CD-DF。两种情况均先用m、n表示出AB和CF的长度，再结合AB=10CF的条件列等式，整理后就能求出$\frac{AC}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 由题意得$m-6 = 0$且$n-10 = 0$，解得$m = 6$，$n = 10$。
∵ $AC = m$，$BC = n$，
∴ $AC = 6$，$BC = 10$。
∵ D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
∴ $DE = CD+CE = 3+5 = 8$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $CF = DF-CD = 4-3 = 1$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当AC＜BC时，位置如图：
∵ $AC = m$，$BC = n$，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $AB = AC+BC = m+n$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$，
∴ $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$，
∴ $CF=DF-CD=\frac{1}{4}(m+n)-\frac{1}{2}m=\frac{1}{4}(n-m)$。
∵ $AB = 10CF$，
∴ $m+n=10×\frac{1}{4}(n-m)$，整理得 $m=\frac{3}{7}n$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{3}{7}n}{n}=\frac{3}{7}$。
② 当AC＞BC时，位置如图：
∵ $AC = m$，$BC = n$，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $AB = AC+BC = m+n$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$，
∴ $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$，
∴ $CF=CD-DF=\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}(m+n)=\frac{1}{4}(m-n)$。
∵ $AB = 10CF$，
∴ $m+n=10×\frac{1}{4}(m-n)$，整理得 $m=\frac{7}{3}n$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{7}{3}n}{n}=\frac{7}{3}$。
综上所述，$\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{7}$或$\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $DE=8$，$CF=1$；
(2) $\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{7}$或$\frac{7}{3}$，对应位置图：
【知识点】
非负数的性质；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型考题，第一问侧重基础知识点的综合应用，结合非负数性质和线段中点、和差运算即可求解；第二问需要根据线段长度的大小关系分类讨论，避免因漏考虑F的位置导致漏解，能够有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用绝对值和偶次幂的非负性：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出m、n的值；再根据线段中点的定义，分别求出CD、CE的长度，二者相加得到DE的长度；接着求出DE中点F对应的DF长度，通过线段的差运算即可求出CF的长度。
(2) 由于AC和BC的长度大小不确定，点F相对于点C的位置有两种情况，需分类讨论：①当AC＜BC时，F在C的右侧，CF=DF-CD；②当AC＞BC时，F在C的左侧，CF=CD-DF。两种情况均先用m、n表示出AB和CF的长度，再结合AB=10CF的条件列等式，整理后就能求出$\frac{AC}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 由题意得$m-6 = 0$且$n-10 = 0$，解得$m = 6$，$n = 10$。
∵ $AC = m$，$BC = n$，
∴ $AC = 6$，$BC = 10$。
∵ D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
∴ $DE = CD+CE = 3+5 = 8$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $CF = DF-CD = 4-3 = 1$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当AC＜BC时，位置如图：
∵ $AC = m$，$BC = n$，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $AB = AC+BC = m+n$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$，
∴ $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$，
∴ $CF=DF-CD=\frac{1}{4}(m+n)-\frac{1}{2}m=\frac{1}{4}(n-m)$。
∵ $AB = 10CF$，
∴ $m+n=10×\frac{1}{4}(n-m)$，整理得 $m=\frac{3}{7}n$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{3}{7}n}{n}=\frac{3}{7}$。
② 当AC＞BC时，位置如图：
∵ $AC = m$，$BC = n$，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴ $AB = AC+BC = m+n$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}n$，
∴ $DE=CD+CE=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}(m+n)$。
∵ F是线段DE的中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(m+n)=\frac{1}{4}(m+n)$，
∴ $CF=CD-DF=\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}(m+n)=\frac{1}{4}(m-n)$。
∵ $AB = 10CF$，
∴ $m+n=10×\frac{1}{4}(m-n)$，整理得 $m=\frac{7}{3}n$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{m}{n}=\frac{\frac{7}{3}n}{n}=\frac{7}{3}$。
综上所述，$\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{7}$或$\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $DE=8$，$CF=1$；
(2) $\frac{AC}{BC}$的值为$\frac{3}{7}$或$\frac{7}{3}$，对应位置图：
【知识点】
非负数的性质；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型考题，第一问侧重基础知识点的综合应用，结合非负数性质和线段中点、和差运算即可求解；第二问需要根据线段长度的大小关系分类讨论，避免因漏考虑F的位置导致漏解，能够有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
