登录
9.山西省文旅启动“跟着悟空游山西”主题活动，山西省各大景区游客接待量实现井喷式增长，某景区某天共接待游客12.66万人次。12.66万用科学记数法表示为
$1.266×10^5$
。答案
9. $1.266×10^5$
解析
【分析】
解题时首先要明确“万”对应的单位换算关系，先将“12.66万”转化为不带单位的普通整数，再回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。接下来先确定$a$的数值，再根据原数的大小和小数点移动的位数确定$n$的值，即可得到结果。
【解析】
第一步：进行单位换算，因为$1万=10000$，所以$12.66万=12.66×10000=126600$。
第二步：按照科学记数法的规则表示126600：
① 确定$a$的值：将126600的小数点向左移动5位，得到$a=1.266$，满足$1≤1.266＜10$的要求。
② 确定$n$的值：原数的小数点一共向左移动了5位，且原数大于10，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题的关键是先完成单位换算，再严格按照科学记数法的规则确定$a$和$n$的数值，易错点是单位换算时漏算0的个数，或者计算小数点移动位数时出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“万”对应的单位换算关系，先将“12.66万”转化为不带单位的普通整数，再回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。接下来先确定$a$的数值，再根据原数的大小和小数点移动的位数确定$n$的值，即可得到结果。
【解析】
第一步：进行单位换算，因为$1万=10000$，所以$12.66万=12.66×10000=126600$。
第二步：按照科学记数法的规则表示126600：
① 确定$a$的值：将126600的小数点向左移动5位，得到$a=1.266$，满足$1≤1.266＜10$的要求。
② 确定$n$的值：原数的小数点一共向左移动了5位，且原数大于10，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题的关键是先完成单位换算，再严格按照科学记数法的规则确定$a$和$n$的数值，易错点是单位换算时漏算0的个数，或者计算小数点移动位数时出错。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个孙悟空摇身一变，又各变成2个，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，又变成了8个孙悟空……假设孙悟空一连变了80次，那么一共有
$2^{80}$
个孙悟空。答案
10. $2^{80}$
解析
【分析】
我们可以先列举前几次变化后孙悟空的数量，寻找变化规律：每次变化后，孙悟空的数量都是变化前的2倍，符合乘方的计数特征。先推导出变化n次对应的数量表达式，再代入n=80即可得到结果。
【解析】
解：观察每次变化后的孙悟空数量：
第1次变后：$2 = 2^1$ 个；
第2次变后：$2 × 2 = 2^2 = 4$ 个；
第3次变后：$4 × 2 = 2^3 = 8$ 个；
……
由此可归纳规律：变n次后，孙悟空的总数量为 $2^n$ 个。
当$n=80$时，总数量为 $2^{80}$ 个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
1. 乘方的意义 2. 数字规律探究
【点评】
本题以经典文学内容为背景，趣味性较强，侧重考查学生从特例中总结普遍规律的能力，以及对乘方定义的应用，只要找准每次变化的倍数关系，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
我们可以先列举前几次变化后孙悟空的数量，寻找变化规律：每次变化后，孙悟空的数量都是变化前的2倍，符合乘方的计数特征。先推导出变化n次对应的数量表达式，再代入n=80即可得到结果。
【解析】
解：观察每次变化后的孙悟空数量：
第1次变后：$2 = 2^1$ 个；
第2次变后：$2 × 2 = 2^2 = 4$ 个；
第3次变后：$4 × 2 = 2^3 = 8$ 个；
……
由此可归纳规律：变n次后，孙悟空的总数量为 $2^n$ 个。
当$n=80$时，总数量为 $2^{80}$ 个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
1. 乘方的意义 2. 数字规律探究
【点评】
本题以经典文学内容为背景，趣味性较强，侧重考查学生从特例中总结普遍规律的能力，以及对乘方定义的应用，只要找准每次变化的倍数关系，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
11.已知下列等式：
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
。答案
11. $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
解析
【分析】
我们可以分别观察等式左右两边的变化规律推导结果：首先看等式左边，第①个等式是1个正整数的立方，第②个是前2个正整数的立方和，第③个是前3个正整数的立方和，以此类推，第n个等式的左边就是前n个正整数的立方和；再看等式右边，都是平方数，观察底数：第①个底数1=1，第②个底数3=1+2，第③个底数6=1+2+3，第④个底数10=1+2+3+4，可知右边的底数就是左边所有立方数的底数的和。要求第⑤个等式，对应n=5，按上述规律计算即可。
【解析】
1. 确定左边的表达式：第⑤个等式是前5个正整数的立方和，即$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$。
2. 确定右边的底数：右边的底数为前5个正整数的和，计算得$1+2+3+4+5=15$，因此右边为$15^2$。
3. 组合得到第⑤个等式。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题关键是分开观察等式左右两边的特征，找到右边底数和左边各底数之和的对应关系，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
我们可以分别观察等式左右两边的变化规律推导结果：首先看等式左边，第①个等式是1个正整数的立方，第②个是前2个正整数的立方和，第③个是前3个正整数的立方和，以此类推，第n个等式的左边就是前n个正整数的立方和；再看等式右边，都是平方数，观察底数：第①个底数1=1，第②个底数3=1+2，第③个底数6=1+2+3，第④个底数10=1+2+3+4，可知右边的底数就是左边所有立方数的底数的和。要求第⑤个等式，对应n=5，按上述规律计算即可。
【解析】
1. 确定左边的表达式：第⑤个等式是前5个正整数的立方和，即$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$。
2. 确定右边的底数：右边的底数为前5个正整数的和，计算得$1+2+3+4+5=15$，因此右边为$15^2$。
3. 组合得到第⑤个等式。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题关键是分开观察等式左右两边的特征，找到右边底数和左边各底数之和的对应关系，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
12.计算：
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2)$(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3)$4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2)$(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3)$4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
答案
解:(1)原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷(\dfrac{4}{5})^3=-1÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$。
(2)原式$=3^3×\dfrac{32}{25}÷4^2×1=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
(2)原式$=3^3×\dfrac{32}{25}÷4^2×1=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
解析
【分析】
本题为有理数混合运算题目，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，同级运算从左到右依次计算。解题时首先要注意乘方的符号区分：如$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为负；负数的奇次幂为负、偶次幂为正，$(-1)$的奇次幂为$-1$、偶次幂为$1$；其次乘除运算中可先确定整体符号，将小数转化为分数简化计算；最后$0$乘任何数都得$0$，相关项可直接消去减少计算量。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$-2^2=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$0.8^3=(\dfrac{4}{5})^3=\dfrac{64}{125}$，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各乘方项：$(-3)^3=-27$，$-4^2=-16$，$(-1)^{25}=-1$，先确定运算符号再计算数值：
原式$=(-27)×(-\dfrac{32}{25})÷(-16)×(-1)=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$
(3) 先计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$3^3=27$，$(-1)^{2027}=-1$，$0×(-2)^3=0$，再按顺序计算：
原式$=4-4-27÷(-1)+0=0+27+0=27$
【答案】
(1)$-\dfrac{125}{64}$；(2)$\dfrac{54}{25}$；(3)$27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；符号运算规则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序与符号处理能力，解题易错点是混淆带负号的乘方的结果符号，牢记运算规则、注意细节即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题为有理数混合运算题目，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，同级运算从左到右依次计算。解题时首先要注意乘方的符号区分：如$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为负；负数的奇次幂为负、偶次幂为正，$(-1)$的奇次幂为$-1$、偶次幂为$1$；其次乘除运算中可先确定整体符号，将小数转化为分数简化计算；最后$0$乘任何数都得$0$，相关项可直接消去减少计算量。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$-2^2=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$0.8^3=(\dfrac{4}{5})^3=\dfrac{64}{125}$，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各乘方项：$(-3)^3=-27$，$-4^2=-16$，$(-1)^{25}=-1$，先确定运算符号再计算数值：
原式$=(-27)×(-\dfrac{32}{25})÷(-16)×(-1)=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$
(3) 先计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$3^3=27$，$(-1)^{2027}=-1$，$0×(-2)^3=0$，再按顺序计算：
原式$=4-4-27÷(-1)+0=0+27+0=27$
【答案】
(1)$-\dfrac{125}{64}$；(2)$\dfrac{54}{25}$；(3)$27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；符号运算规则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序与符号处理能力，解题易错点是混淆带负号的乘方的结果符号，牢记运算规则、注意细节即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】科学家研究发现，每公顷森林每天可以吸收二氧化碳约1 500 kg，某人造林累计面积达48 000 000公顷，那么该人造林每天可以吸收二氧化碳多少吨？（用科学记数法表示）
答案
13. 解:$1\ 500×48\ 000\ 000=7.2×10^{10}(\mathrm{kg})=7.2×10^7(\mathrm{t})$。
解析
【分析】
解题时先明确核心数量关系：人造林每天吸收的二氧化碳总质量=每公顷森林每天吸收的二氧化碳质量×人造林总面积。首先根据该数量关系计算出总质量（单位为kg），再依据1吨=1000kg的进率完成单位换算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可，注意科学记数法要求$1≤ a＜10$，$n$为整数。
【解析】
解：先计算该人造林每天吸收二氧化碳的总千克数：
$1500× 48000000=72000000000\mathrm{kg}=7.2× 10^{10}\mathrm{kg}$
再进行单位换算，已知$1\mathrm{t}=10^3\mathrm{kg}$，因此：
$7.2× 10^{10}\mathrm{kg}=(7.2× 10^{10})÷10^3\mathrm{t}=7.2× 10^7\mathrm{t}$
【答案】
$7.2× 10^7\mathrm{t}$
【知识点】
有理数乘法运算；单位换算；科学记数法
【点评】
本题结合生态环保的实际场景命题，既考察基础运算能力，也要求学生熟练掌握科学记数法的规范表示，解题时需留意单位转换的进率，避免因换算失误失分。
【难度系数】
0.8
解题时先明确核心数量关系：人造林每天吸收的二氧化碳总质量=每公顷森林每天吸收的二氧化碳质量×人造林总面积。首先根据该数量关系计算出总质量（单位为kg），再依据1吨=1000kg的进率完成单位换算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可，注意科学记数法要求$1≤ a＜10$，$n$为整数。
【解析】
解：先计算该人造林每天吸收二氧化碳的总千克数：
$1500× 48000000=72000000000\mathrm{kg}=7.2× 10^{10}\mathrm{kg}$
再进行单位换算，已知$1\mathrm{t}=10^3\mathrm{kg}$，因此：
$7.2× 10^{10}\mathrm{kg}=(7.2× 10^{10})÷10^3\mathrm{t}=7.2× 10^7\mathrm{t}$
【答案】
$7.2× 10^7\mathrm{t}$
【知识点】
有理数乘法运算；单位换算；科学记数法
【点评】
本题结合生态环保的实际场景命题，既考察基础运算能力，也要求学生熟练掌握科学记数法的规范表示，解题时需留意单位转换的进率，避免因换算失误失分。
【难度系数】
0.8
