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14.计算：$15^2=$
$35^2=$
$55^2=$
(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^2,95^2$的结果。
225
；$25^2=$625
；$35^2=$
1 225
；$45^2=$2 025
；$55^2=$
3 025
。(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^2,95^2$的结果。
答案
14. 解:225 625 1 225 2 025 3 025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225,95^2=9\ 025$。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225,95^2=9\ 025$。
解析
【分析】
首先按照有理数乘方的定义计算出15²到55²的结果，再观察计算结果的结构特征，对比结果和底数的关联，归纳总结出个位为5的整数的平方的计算规律，最后运用得到的规律直接计算85²和95²的结果即可。
【解析】
先计算各数的平方：
$15^2=15×15=225$
$25^2=25×25=625$
$35^2=35×35=1225$
$45^2=45×45=2025$
$55^2=55×55=3025$
(1)观察上述结果可发现：所有结果的末两位都是25；再看结果末两位之前的数位：15去掉个位5后剩余的数是1，$1×(1+1)=2$，对应225末两位前的数2；25去掉个位5后剩余的数是2，$2×(2+1)=6$，对应625末两位前的数6；同理$3×4=12$对应1225末两位前的数12，$4×5=20$对应2025末两位前的数20，$5×6=30$对应3025末两位前的数30。由此可总结规律。
(2)根据规律计算：
计算$85^2$时，先算$8×(8+1)=72$，在72后拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$时，先算$9×(9+1)=90$，在90后拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$，$95^2=9025$
【知识点】
1.有理数乘方运算 2.数字规律探究
【点评】
本题通过计算特殊数字的乘方结果引导学生归纳通用计算规律，既巩固了乘方运算的基础，又锻炼了观察、归纳与推理能力，总结出的规律可以大幅提升个位为5的数的平方的计算效率。
【难度系数】
0.85
首先按照有理数乘方的定义计算出15²到55²的结果，再观察计算结果的结构特征，对比结果和底数的关联，归纳总结出个位为5的整数的平方的计算规律，最后运用得到的规律直接计算85²和95²的结果即可。
【解析】
先计算各数的平方：
$15^2=15×15=225$
$25^2=25×25=625$
$35^2=35×35=1225$
$45^2=45×45=2025$
$55^2=55×55=3025$
(1)观察上述结果可发现：所有结果的末两位都是25；再看结果末两位之前的数位：15去掉个位5后剩余的数是1，$1×(1+1)=2$，对应225末两位前的数2；25去掉个位5后剩余的数是2，$2×(2+1)=6$，对应625末两位前的数6；同理$3×4=12$对应1225末两位前的数12，$4×5=20$对应2025末两位前的数20，$5×6=30$对应3025末两位前的数30。由此可总结规律。
(2)根据规律计算：
计算$85^2$时，先算$8×(8+1)=72$，在72后拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$时，先算$9×(9+1)=90$，在90后拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$，$95^2=9025$
【知识点】
1.有理数乘方运算 2.数字规律探究
【点评】
本题通过计算特殊数字的乘方结果引导学生归纳通用计算规律，既巩固了乘方运算的基础，又锻炼了观察、归纳与推理能力，总结出的规律可以大幅提升个位为5的数的平方的计算效率。
【难度系数】
0.85
15.【综合与实践】已知：$(a×b)^2=a^2×b^2$；
$(a×b)^3=a^3×b^3$；
$(a×b)^4=a^4×b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1,b=-2$）。
（2）猜想：$(a×b)^{100}=$
$(a×b)^n=$
（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n×b^n=(a×b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$。
$(a×b)^3=a^3×b^3$；
$(a×b)^4=a^4×b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1,b=-2$）。
（2）猜想：$(a×b)^{100}=$
$a^{100}×b^{100}$
；$(a×b)^n=$
$a^n×b^n$
。（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n×b^n=(a×b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$。
答案
1. 略
2. $a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
3. $(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=6$
2. $a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
3. $(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=6$
解析
【分析】
（1）验证等式成立的思路是将指定的a、b值分别代入等式左右两边计算，对比两边结果是否相等即可完成验证。（2）根据给出的3个特殊次幂的运算规律，可归纳得出一般规律，直接写出对应结果即可。（3）计算时观察到两个幂的指数相近，可将指数较大的$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，使两个因式指数相同，再逆用积的乘方公式简化计算，最后根据乘方性质求出结果即可。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时：
①验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：左边=$(1×(-2))^2=(-2)^2=4$，右边=$1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
②验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：左边=$(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$，右边=$1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：左边=$(1×(-2))^4=(-2)^4=16$，右边=$1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立。
（2）根据已知等式的规律可猜想：$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$。
（3）计算$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$：
先拆分$6^{2027}=6^{2026}×6$，则原式=$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6$
逆用积的乘方公式得：原式=$(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=(-1)^{2026}×6=1×6=6$
【答案】
（1）上述等式均成立；（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$；（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算；幂的运算逆用；有理数乘方计算
【点评】
本题以规律探究的形式考查积的乘方相关运算，既锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，也考查了公式的灵活运用能力，拆分同指数幂是逆用积的乘方公式的常用技巧，掌握运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
（1）验证等式成立的思路是将指定的a、b值分别代入等式左右两边计算，对比两边结果是否相等即可完成验证。（2）根据给出的3个特殊次幂的运算规律，可归纳得出一般规律，直接写出对应结果即可。（3）计算时观察到两个幂的指数相近，可将指数较大的$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，使两个因式指数相同，再逆用积的乘方公式简化计算，最后根据乘方性质求出结果即可。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时：
①验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：左边=$(1×(-2))^2=(-2)^2=4$，右边=$1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
②验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：左边=$(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$，右边=$1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：左边=$(1×(-2))^4=(-2)^4=16$，右边=$1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立。
（2）根据已知等式的规律可猜想：$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$。
（3）计算$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}$：
先拆分$6^{2027}=6^{2026}×6$，则原式=$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6$
逆用积的乘方公式得：原式=$(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=(-1)^{2026}×6=1×6=6$
【答案】
（1）上述等式均成立；（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$；（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算；幂的运算逆用；有理数乘方计算
【点评】
本题以规律探究的形式考查积的乘方相关运算，既锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，也考查了公式的灵活运用能力，拆分同指数幂是逆用积的乘方公式的常用技巧，掌握运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
