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1. 正数的任何次幂都是
正数
，负数的奇次幂是负数
，负数的偶次幂是正数
。答案
1. 正数 负数 正数
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合有理数乘法的符号规则推导乘方的符号规律：首先回忆乘方的定义，乘方表示几个相同因数的乘积。①对于正数来说，不管多少个正数相乘，乘积的符号始终为正，因此正数的任何次幂符号都为正；②对于负数的次幂，看次幂的奇偶性：如果是奇次幂，就代表有奇数个负数相乘，根据有理数乘法中“奇数个负因数相乘，积为负”的规则，结果是负数；如果是偶次幂，就代表有偶数个负数相乘，根据“偶数个负因数相乘，积为正”的规则，结果是正数。
【解析】
根据有理数乘方的符号性质：
1. 正数的任何次幂，都是若干个正数相乘，结果始终为正数；
2. 负数的奇次幂，是奇数个负数相乘，负因数个数为奇数，乘积为负数；
3. 负数的偶次幂，是偶数个负数相乘，负因数个数为偶数，乘积为正数。
依次填入对应结论即可。
【答案】
正数 负数 正数
【知识点】
1. 乘方的符号法则
2. 有理数乘法符号规律
【点评】
本题是对乘方基础性质的直接考察，属于基础概念类题目，该规律是进行有理数乘方运算的核心基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以结合有理数乘法的符号规则推导乘方的符号规律：首先回忆乘方的定义，乘方表示几个相同因数的乘积。①对于正数来说，不管多少个正数相乘，乘积的符号始终为正，因此正数的任何次幂符号都为正；②对于负数的次幂，看次幂的奇偶性：如果是奇次幂，就代表有奇数个负数相乘，根据有理数乘法中“奇数个负因数相乘，积为负”的规则，结果是负数；如果是偶次幂，就代表有偶数个负数相乘，根据“偶数个负因数相乘，积为正”的规则，结果是正数。
【解析】
根据有理数乘方的符号性质：
1. 正数的任何次幂，都是若干个正数相乘，结果始终为正数；
2. 负数的奇次幂，是奇数个负数相乘，负因数个数为奇数，乘积为负数；
3. 负数的偶次幂，是偶数个负数相乘，负因数个数为偶数，乘积为正数。
依次填入对应结论即可。
【答案】
正数 负数 正数
【知识点】
1. 乘方的符号法则
2. 有理数乘法符号规律
【点评】
本题是对乘方基础性质的直接考察，属于基础概念类题目，该规律是进行有理数乘方运算的核心基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
3. 一个大于10的数可以表示成
a×10ⁿ
的形式，其中1≤a＜10
，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。答案
3. a×10ⁿ 1≤a＜10
解析
【分析】
本题考查科学记数法的基础定义，解题时只需回忆科学记数法的相关规定即可：为了简便书写大于10的大数，我们规定了统一的记数格式，首先确定形式为a与10的n次幂相乘的格式，再明确a的取值必须满足大于等于1且小于10，n为正整数，对应填入题干空缺处即可。
【解析】
根据科学记数法的定义：一个大于10的数可以表示成$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。因此第一个空缺填$a × 10^n$，第二个空缺填$1 ≤ a ＜ 10$。
【答案】
$a × 10^n$；$1 ≤ a ＜ 10$
【知识点】
科学记数法的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，考察对科学记数法核心规则的记忆，属于数学中常用的基础工具类知识点，熟练掌握其定义规则是后续用科学记数法表示大数、进行相关运算的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法的基础定义，解题时只需回忆科学记数法的相关规定即可：为了简便书写大于10的大数，我们规定了统一的记数格式，首先确定形式为a与10的n次幂相乘的格式，再明确a的取值必须满足大于等于1且小于10，n为正整数，对应填入题干空缺处即可。
【解析】
根据科学记数法的定义：一个大于10的数可以表示成$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ a ＜ 10$，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。因此第一个空缺填$a × 10^n$，第二个空缺填$1 ≤ a ＜ 10$。
【答案】
$a × 10^n$；$1 ≤ a ＜ 10$
【知识点】
科学记数法的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，考察对科学记数法核心规则的记忆，属于数学中常用的基础工具类知识点，熟练掌握其定义规则是后续用科学记数法表示大数、进行相关运算的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式计算结果是0的是(
A.$-2^2 + (-2)^2$
B.$-2^2 - 2^2$
C.$-2^2 - (-2)^2$
D.$(-2)^2 - (-2^2)$
A
)。A.$-2^2 + (-2)^2$
B.$-2^2 - 2^2$
C.$-2^2 - (-2)^2$
D.$(-2)^2 - (-2^2)$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方与加减混合运算，解题思路如下：首先明确乘方的运算规则，区分负号在括号内和括号外的乘方的差异：$-a^2$表示$a$的平方的相反数，$(-a)^2$表示$a$的相反数的平方；其次按照“先算乘方，再算加减”的运算顺序，逐一计算四个选项的结果，最终筛选出结果为0的选项即可。
【解析】
先明确核心运算的结果：
$-2^2=-(2×2)=-4$，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$
逐一计算各选项：
A选项：$-2^2 + (-2)^2=-4+4=0$，符合要求；
B选项：$-2^2 - 2^2=-4-4=-8$，不符合要求；
C选项：$-2^2 - (-2)^2=-4-4=-8$，不符合要求；
D选项：$(-2)^2 - (-2^2)=4 - (-4)=8$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数加减运算
【点评】
本题的易错点是混淆乘方的底数，计算时要先判断负号是否属于乘方的底数，再按照运算规则计算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的乘方与加减混合运算，解题思路如下：首先明确乘方的运算规则，区分负号在括号内和括号外的乘方的差异：$-a^2$表示$a$的平方的相反数，$(-a)^2$表示$a$的相反数的平方；其次按照“先算乘方，再算加减”的运算顺序，逐一计算四个选项的结果，最终筛选出结果为0的选项即可。
【解析】
先明确核心运算的结果：
$-2^2=-(2×2)=-4$，$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$
逐一计算各选项：
A选项：$-2^2 + (-2)^2=-4+4=0$，符合要求；
B选项：$-2^2 - 2^2=-4-4=-8$，不符合要求；
C选项：$-2^2 - (-2)^2=-4-4=-8$，不符合要求；
D选项：$(-2)^2 - (-2^2)=4 - (-4)=8$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数加减运算
【点评】
本题的易错点是混淆乘方的底数，计算时要先判断负号是否属于乘方的底数，再按照运算规则计算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(-0.25)^{100} × (-4)^{101}$的值是（
A.2
B.4
C.$-4$
D.$-2$
C
）。A.2
B.4
C.$-4$
D.$-2$
答案
2. C
解析
【分析】观察算式的特点：两个乘方的底数-0.25与-4相乘的结果为1，且两个乘方的指数仅相差1。我们可以根据乘方的含义，将指数较大的$(-4)^{101}$拆成$(-4)^{100}×(-4)$，此时算式中两个乘方都有相同的指数100，对应100个-0.25和100个-4相乘，将每一组-0.25和-4配对相乘，每组乘积为1，100个1相乘仍为1，最后乘剩余的-4即可得到结果，计算时要注意符号的判断。
【解析】
解：$\begin{aligned}&(-0.25)^{100} × (-4)^{101}\\=&(-0.25)^{100} × (-4)^{100} × (-4)\\=&[(-0.25)×(-4)]^{100} × (-4)\\=&1^{100} × (-4)\\=&1×(-4)\\=&-4\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】乘方的意义、有理数乘法运算
【点评】本题考查乘方相关的简便运算，解题核心是通过拆分高次幂构造可以凑整的乘法组合，大幅简化计算量，运算过程中要尤其注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】0.7
【解析】
解：$\begin{aligned}&(-0.25)^{100} × (-4)^{101}\\=&(-0.25)^{100} × (-4)^{100} × (-4)\\=&[(-0.25)×(-4)]^{100} × (-4)\\=&1^{100} × (-4)\\=&1×(-4)\\=&-4\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】乘方的意义、有理数乘法运算
【点评】本题考查乘方相关的简便运算，解题核心是通过拆分高次幂构造可以凑整的乘法组合，大幅简化计算量，运算过程中要尤其注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】0.7
3.已知$n$表示正整数，则$\frac{1^n}{2}+\frac{(-1)^n}{2}$等于（
A.0
B.1
C.0或1
D.无法确定，随$n$值的不同而不同
C
）。A.0
B.1
C.0或1
D.无法确定，随$n$值的不同而不同
答案
3. C
解析
【分析】
本题需要结合$(-1)$的幂次的取值规律求解，因为$n$为正整数，可分为$n$是奇数、$n$是偶数两种情况，分别代入原式计算即可得到结果，解题时要注意分情况讨论不要漏项。
【解析】
已知$n$是正整数，分两种情况讨论：
1. 当$n$为偶数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=1$，代入原式得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
2. 当$n$为奇数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，代入原式得：
$\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0$
因此原式的结果为0或1。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，分类讨论思想，有理数加法
【点评】
解题的核心是明确$(-1)$的奇次幂为$-1$、偶次幂为$1$的规律，遇到含$(-1)^n$的题目优先考虑按$n$的奇偶性分类讨论，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题需要结合$(-1)$的幂次的取值规律求解，因为$n$为正整数，可分为$n$是奇数、$n$是偶数两种情况，分别代入原式计算即可得到结果，解题时要注意分情况讨论不要漏项。
【解析】
已知$n$是正整数，分两种情况讨论：
1. 当$n$为偶数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=1$，代入原式得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
2. 当$n$为奇数时：
$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，代入原式得：
$\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0$
因此原式的结果为0或1。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，分类讨论思想，有理数加法
【点评】
解题的核心是明确$(-1)$的奇次幂为$-1$、偶次幂为$1$的规律，遇到含$(-1)^n$的题目优先考虑按$n$的奇偶性分类讨论，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.用科学记数法表示的数$1.1× 10^{8}$，其原数是(
A.1 100 000
B.11 000 000
C.110 000 000
D.1 100 000 000
C
)。A.1 100 000
B.11 000 000
C.110 000 000
D.1 100 000 000
答案
4. C
解析
【分析】要将科学记数法表示的数还原为原数，首先明确科学记数法的形式为$a×10^n$（$1≤a＜10$，$n$为正整数），还原规则是把$a$的小数点向右移动$n$位，数位不够时补0即可。本题中$a=1.1$，$n=8$，按照规则移动小数点就能得到原数。
【解析】方法一：根据科学记数法还原规则，将$1.1$的小数点向右移动8位：移动1位是11，移动2位是110，……，移动8位后得到110000000。
方法二：先计算$10^8=100000000$，再计算$1.1×100000000=110000000$。
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】科学记数法还原原数
【点评】本题考查科学记数法的逆运算，属于基础题型，熟练掌握小数点移动规律或乘方的基本运算即可快速求解，解题时要注意数清0的个数避免出错。
【难度系数】0.9
【解析】方法一：根据科学记数法还原规则，将$1.1$的小数点向右移动8位：移动1位是11，移动2位是110，……，移动8位后得到110000000。
方法二：先计算$10^8=100000000$，再计算$1.1×100000000=110000000$。
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】科学记数法还原原数
【点评】本题考查科学记数法的逆运算，属于基础题型，熟练掌握小数点移动规律或乘方的基本运算即可快速求解，解题时要注意数清0的个数避免出错。
【难度系数】0.9
5.地球上水的总储量约为$1.39× 10^{18}\ \mathrm{m}^3$，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为$0.0107× 10^{18}\ \mathrm{m}^3$，因此我们要节约用水。将$0.0107× 10^{18}\ \mathrm{m}^3$用科学记数法表示是（
A.$1.07× 10^{16}\ \mathrm{m}^3$
B.$0.107× 10^{17}\ \mathrm{m}^3$
C.$10.7× 10^{15}\ \mathrm{m}^3$
D.$1.07× 10^{17}\ \mathrm{m}^3$
A
）。A.$1.07× 10^{16}\ \mathrm{m}^3$
B.$0.107× 10^{17}\ \mathrm{m}^3$
C.$10.7× 10^{15}\ \mathrm{m}^3$
D.$1.07× 10^{17}\ \mathrm{m}^3$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。我们需要先把原式中的系数$0.0107$调整到符合$1 ≤ a ＜10$的范围，再根据“系数扩大多少倍，10的指数就对应缩小多少倍”的规律调整10的指数，保证数值大小不变，最后对应选项即可。
【解析】
科学记数法的标准形式是$a × 10^n$（$1≤ |a|＜10$，$n$是整数），对$0.0107 × 10^{18}$进行转化：
1. 调整系数：将$0.0107$的小数点向右移动2位，得到$a=1.07$，此时系数扩大了$10^2$倍；
2. 调整指数：为保证数值不变，10的指数需要减去2，即$10^{18} ÷ 10^2 = 10^{18-2}=10^{16}$。
因此$0.0107 × 10^{18}=1.07 × 10^{16}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题核心考查科学记数法的改写规则，只要牢记科学记数法的系数范围要求，调整系数时准确计算10的指数的变化量，就可以轻松得分，注意不要混淆指数的加减方向。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。我们需要先把原式中的系数$0.0107$调整到符合$1 ≤ a ＜10$的范围，再根据“系数扩大多少倍，10的指数就对应缩小多少倍”的规律调整10的指数，保证数值大小不变，最后对应选项即可。
【解析】
科学记数法的标准形式是$a × 10^n$（$1≤ |a|＜10$，$n$是整数），对$0.0107 × 10^{18}$进行转化：
1. 调整系数：将$0.0107$的小数点向右移动2位，得到$a=1.07$，此时系数扩大了$10^2$倍；
2. 调整指数：为保证数值不变，10的指数需要减去2，即$10^{18} ÷ 10^2 = 10^{18-2}=10^{16}$。
因此$0.0107 × 10^{18}=1.07 × 10^{16}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题核心考查科学记数法的改写规则，只要牢记科学记数法的系数范围要求，调整系数时准确计算10的指数的变化量，就可以轻松得分，注意不要混淆指数的加减方向。
【难度系数】
0.85
6.现规定一种新的运算“*”：$a * b = a^b$，如$3 * 2 = 3^2 = 9$，则$-\dfrac{1}{3} * 3 =$
$-\dfrac{1}{27}$
。答案
6. $-\dfrac{1}{27}$
解析
【分析】
解题首先要准确理解新运算“*”的规则，题目明确规定$a * b = a^b$，即运算结果等于运算符号前的数的运算符号后数的次方。解题时先确定本题中对应新运算里的$a$和$b$分别是$-\dfrac{1}{3}$和3，再将新运算转化为我们熟悉的有理数乘方运算，最后按照乘方计算法则算出结果即可。
【解析】
根据新运算的定义$a * b = a^b$，代入本题数据可得：
$-\dfrac{1}{3} * 3 = (-\dfrac{1}{3})^3$
根据有理数乘方的计算规则，负数的奇数次方为负，分子分母分别乘方：
$(-\dfrac{1}{3})^3 = -(\dfrac{1}{3})^3 = -\dfrac{1^3}{3^3} = -\dfrac{1}{27}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力和基础运算能力，只要能正确把新运算转化为已学的乘方运算，掌握有理数乘方的符号规律和计算方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解题首先要准确理解新运算“*”的规则，题目明确规定$a * b = a^b$，即运算结果等于运算符号前的数的运算符号后数的次方。解题时先确定本题中对应新运算里的$a$和$b$分别是$-\dfrac{1}{3}$和3，再将新运算转化为我们熟悉的有理数乘方运算，最后按照乘方计算法则算出结果即可。
【解析】
根据新运算的定义$a * b = a^b$，代入本题数据可得：
$-\dfrac{1}{3} * 3 = (-\dfrac{1}{3})^3$
根据有理数乘方的计算规则，负数的奇数次方为负，分子分母分别乘方：
$(-\dfrac{1}{3})^3 = -(\dfrac{1}{3})^3 = -\dfrac{1^3}{3^3} = -\dfrac{1}{27}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力和基础运算能力，只要能正确把新运算转化为已学的乘方运算，掌握有理数乘方的符号规律和计算方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
7.太阳的半径约为696 000 km，将数字696 000用科学记数法表示为
$6.96×10^5$
。答案
7. $6.96×10^5$
解析
【分析】
本题考查科学记数法的表示，科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数。解题时可分两步进行：第一步调整原数的小数点位置，得到符合取值范围的$a$；第二步数小数点移动的位数，移动的位数就是$n$的取值，代入形式即可得到结果。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
将696000的小数点向左移动5位，可得到$a=6.96$，满足$1 ≤ 6.96 ＜ 10$的要求。
由于小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，696000用科学记数法表示为$6.96 × 10^5$。
【答案】
$6.96 × 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查科学记数法的表示规则，准确确定$a$和$n$的取值即可正确解题。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法的表示，科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数。解题时可分两步进行：第一步调整原数的小数点位置，得到符合取值范围的$a$；第二步数小数点移动的位数，移动的位数就是$n$的取值，代入形式即可得到结果。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
将696000的小数点向左移动5位，可得到$a=6.96$，满足$1 ≤ 6.96 ＜ 10$的要求。
由于小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，696000用科学记数法表示为$6.96 × 10^5$。
【答案】
$6.96 × 10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查科学记数法的表示规则，准确确定$a$和$n$的取值即可正确解题。
【难度系数】
0.9
8.若将一张纸按同一个方向连续对折n次,你可以得到多少条折痕?若按折痕将纸撕开,你可以得到多少张纸条?
答案
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
解析
【分析】
我们采用从特殊到一般的归纳思路解题：先计算对折1次、2次、3次等少量次数时的折痕数和纸条数，观察这两个量和对折次数的对应关系，再推广到对折n次的一般情形，最终得到通用结论。
【解析】
通过列举简单情形寻找规律：
① 对折1次（$n=1$）：
折痕数量为1条，满足$2^1-1=1$；
纸条数量为2张，满足$2^1=2$。
② 对折2次（$n=2$）：
折痕数量为3条，满足$2^2-1=3$；
纸条数量为4张，满足$2^2=4$。
③ 对折3次（$n=3$）：
折痕数量为7条，满足$2^3-1=7$；
纸条数量为8张，满足$2^3=8$。
……
以此类推，连续对折n次时，折痕总条数为$2^n-1$，按折痕撕开后得到的纸条总张数为$2^n$。
【答案】
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
【知识点】
1. 乘方的应用 2. 规律探究
【点评】
本题考查归纳推理能力，通过列举简单的对折情况总结通用规律是解题的核心，解题时要注意准确理解乘方的含义，避免将$2^n$和$2n$混淆。
【难度系数】
0.7
我们采用从特殊到一般的归纳思路解题：先计算对折1次、2次、3次等少量次数时的折痕数和纸条数，观察这两个量和对折次数的对应关系，再推广到对折n次的一般情形，最终得到通用结论。
【解析】
通过列举简单情形寻找规律：
① 对折1次（$n=1$）：
折痕数量为1条，满足$2^1-1=1$；
纸条数量为2张，满足$2^1=2$。
② 对折2次（$n=2$）：
折痕数量为3条，满足$2^2-1=3$；
纸条数量为4张，满足$2^2=4$。
③ 对折3次（$n=3$）：
折痕数量为7条，满足$2^3-1=7$；
纸条数量为8张，满足$2^3=8$。
……
以此类推，连续对折n次时，折痕总条数为$2^n-1$，按折痕撕开后得到的纸条总张数为$2^n$。
【答案】
$(2^n -1)$条折痕，$2^n$张纸条
【知识点】
1. 乘方的应用 2. 规律探究
【点评】
本题考查归纳推理能力，通过列举简单的对折情况总结通用规律是解题的核心，解题时要注意准确理解乘方的含义，避免将$2^n$和$2n$混淆。
【难度系数】
0.7
