登录
10.计算：
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$；
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$；
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$；
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$；
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$；
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$；
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
答案
解:(1)原式$=(-8)×9=-72$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3)原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3)原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
解析
【分析】
这四道题均为有理数乘方与乘除的混合运算，解题遵循"先算乘方，再算乘除"的运算顺序：第一步先计算各乘方项的值，计算乘方时要注意区分底数：带括号的负数乘方，底数是负数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正；不带括号的负号乘方（如$-2^4$），底数是正数，结果为负。第二步乘方计算完成后，按照有理数乘除运算法则，先确定结果的符号，再计算绝对值即可得到最终答案。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再计算乘法：
原式$=(-8)×9=-72$
(2) 先计算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再计算除法：
原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$
(3) 先计算乘方：$3^3=27$，再计算乘法：
原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$
(4) 先计算乘方：$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$
【答案】
(1)$-72$；(2)$-\dfrac{9}{16}$；(3)$-27$；(4)$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘除运算；幂的符号判断
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的顺序和运算法则，易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数，导致乘方结果的符号计算错误，熟练掌握乘方计算规则和乘除符号判断方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
这四道题均为有理数乘方与乘除的混合运算，解题遵循"先算乘方，再算乘除"的运算顺序：第一步先计算各乘方项的值，计算乘方时要注意区分底数：带括号的负数乘方，底数是负数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正；不带括号的负号乘方（如$-2^4$），底数是正数，结果为负。第二步乘方计算完成后，按照有理数乘除运算法则，先确定结果的符号，再计算绝对值即可得到最终答案。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再计算乘法：
原式$=(-8)×9=-72$
(2) 先计算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再计算除法：
原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$
(3) 先计算乘方：$3^3=27$，再计算乘法：
原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$
(4) 先计算乘方：$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$
【答案】
(1)$-72$；(2)$-\dfrac{9}{16}$；(3)$-27$；(4)$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘除运算；幂的符号判断
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的顺序和运算法则，易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数，导致乘方结果的符号计算错误，熟练掌握乘方计算规则和乘除符号判断方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
11.已知$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,\dots$。根据这个规律，试猜想$2^{204}$的末位数字，并说明理由。
答案
解:$2^{204}$的末位数字是6。理由如下：
204÷4=51,又由题知,$2^n$的末位数字以2,4,8,6四个一组循环,$2^{204}$的末位数字恰好是第4个,所以$2^{204}$的末位数字是6。
204÷4=51,又由题知,$2^n$的末位数字以2,4,8,6四个一组循环,$2^{204}$的末位数字恰好是第4个,所以$2^{204}$的末位数字是6。
解析
【分析】
要确定$2^{204}$的末位数字，首先观察题目给出的$2$的前几次幂的末位特征，寻找规律：先列举出$2^1$到$2^5$的末位数字分别为2、4、8、6、2，可发现末位数字以4个为一组循环出现。接下来只需计算指数204除以循环周期4的余数，根据余数就能对应找到末位数字：余1对应循环的第1个数字2，余2对应第2个数字4，余3对应第3个数字8，若整除则对应循环的最后1个数字6。
【解析】
解：由题中给出的$2^n$的计算结果可知，$2^n$的末位数字按2、4、8、6四个数字为一个周期循环出现。
计算204除以循环周期的结果：$204÷4=51$，无余数，说明$2^{204}$的末位数字是一个循环周期的最后一个数字。
因此$2^{204}$的末位数字是6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究；周期问题
【点评】
本题属于典型的数字规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知幂次的末位特征总结出循环周期，再结合整除性质定位对应末位数字，掌握该方法后可举一反三解决同类幂次末位求解问题。
【难度系数】
0.7
要确定$2^{204}$的末位数字，首先观察题目给出的$2$的前几次幂的末位特征，寻找规律：先列举出$2^1$到$2^5$的末位数字分别为2、4、8、6、2，可发现末位数字以4个为一组循环出现。接下来只需计算指数204除以循环周期4的余数，根据余数就能对应找到末位数字：余1对应循环的第1个数字2，余2对应第2个数字4，余3对应第3个数字8，若整除则对应循环的最后1个数字6。
【解析】
解：由题中给出的$2^n$的计算结果可知，$2^n$的末位数字按2、4、8、6四个数字为一个周期循环出现。
计算204除以循环周期的结果：$204÷4=51$，无余数，说明$2^{204}$的末位数字是一个循环周期的最后一个数字。
因此$2^{204}$的末位数字是6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究；周期问题
【点评】
本题属于典型的数字规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知幂次的末位特征总结出循环周期，再结合整除性质定位对应末位数字，掌握该方法后可举一反三解决同类幂次末位求解问题。
【难度系数】
0.7
12.【数学文化】我们平常用的数是十进制的数，如$2639=2× 10^3+6× 10^2+3× 10^1+9$，表示十进制的数要用十个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。在计算机中用的是二进制，只要两个数码:0和1。如二进制中$101=1× 2^2+0× 2^1+1$，与十进制的5相等。二进制中的1101等于十进制中的哪个数？
答案
12. 13
解析
【分析】
首先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字，乘对应数位的2的幂次（最右侧数位的幂次为$2^0$，往左依次幂次加1），再将所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。我们只需按照这个规则，对二进制1101的每一位分别计算后求和即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则可得：
$1101=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
先计算每一项的乘方结果：
$2^3=8$，$2^2=4$，$2^1=2$，$2^0=1$
代入算式计算：
$\begin{aligned}原式&=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=8+4+0+1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题属于新定义类题型，结合计算机二进制的数学文化背景，考查对新规则的理解与运用能力，只要准确掌握题目给出的换算方法，结合基础的乘方、加法计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
首先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：二进制数的每一位数字，乘对应数位的2的幂次（最右侧数位的幂次为$2^0$，往左依次幂次加1），再将所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。我们只需按照这个规则，对二进制1101的每一位分别计算后求和即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则可得：
$1101=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
先计算每一项的乘方结果：
$2^3=8$，$2^2=4$，$2^1=2$，$2^0=1$
代入算式计算：
$\begin{aligned}原式&=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=8+4+0+1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题属于新定义类题型，结合计算机二进制的数学文化背景，考查对新规则的理解与运用能力，只要准确掌握题目给出的换算方法，结合基础的乘方、加法计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
13.【数学文化】13世纪数学家斐波纳奇的《计算之书》中有这样一个问题：在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘，则刀鞘数为(
A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
C
)。A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
答案
13. C
解析
【分析】
要计算刀鞘的总数，需先理清各物品之间的数量关系：每一层物品的数量都是上一层的7倍，我们可以逐步推导数量，再转化为乘方形式。首先从已知的老妇人数量出发，依次乘以7得到毛驴、口袋、面包、餐刀的数量，最后再乘以7得到刀鞘数，数清楚一共乘了几个7，即可对应乘方的指数。
【解析】
我们逐层计算物品总数：
1. 老妇人数量：7位；
2. 毛驴总数：$7 × 7 = 7^2$ 头；
3. 口袋总数：$7^2 × 7 = 7^3$ 只；
4. 面包总数：$7^3 × 7 = 7^4$ 个；
5. 餐刀总数：$7^4 × 7 = 7^5$ 把；
6. 刀鞘总数：$7^5 × 7 = 7^6$ 只。
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C.$7^6$
【知识点】
乘方的意义，有理数的乘法
【点评】
本题结合经典数学文化背景考查乘方的实际应用，解题核心是梳理清楚不同物品的数量倍数关系，准确统计相同因数的个数即可快速求解，易错点是容易多数或少数相同因数的个数。
【难度系数】
0.7
要计算刀鞘的总数，需先理清各物品之间的数量关系：每一层物品的数量都是上一层的7倍，我们可以逐步推导数量，再转化为乘方形式。首先从已知的老妇人数量出发，依次乘以7得到毛驴、口袋、面包、餐刀的数量，最后再乘以7得到刀鞘数，数清楚一共乘了几个7，即可对应乘方的指数。
【解析】
我们逐层计算物品总数：
1. 老妇人数量：7位；
2. 毛驴总数：$7 × 7 = 7^2$ 头；
3. 口袋总数：$7^2 × 7 = 7^3$ 只；
4. 面包总数：$7^3 × 7 = 7^4$ 个；
5. 餐刀总数：$7^4 × 7 = 7^5$ 把；
6. 刀鞘总数：$7^5 × 7 = 7^6$ 只。
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C.$7^6$
【知识点】
乘方的意义，有理数的乘法
【点评】
本题结合经典数学文化背景考查乘方的实际应用，解题核心是梳理清楚不同物品的数量倍数关系，准确统计相同因数的个数即可快速求解，易错点是容易多数或少数相同因数的个数。
【难度系数】
0.7
